數(shù)學(xué)建模論文長(zhǎng)江水質(zhì)的研究與預(yù)測(cè)(自寫(xiě))

1、長(zhǎng)江水質(zhì)的研究與預(yù)測(cè)摘要本文首先設(shè)定水質(zhì)評(píng)價(jià)指標(biāo)z，在水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)限值表中，將各個(gè)物質(zhì)的含量值標(biāo)準(zhǔn)化，用獨(dú)立性權(quán)數(shù)法得出標(biāo)準(zhǔn)化后的值的權(quán)重。對(duì)長(zhǎng)江流域主要城市水質(zhì)監(jiān)測(cè)報(bào)告進(jìn)行分析，將各個(gè)物質(zhì)的含量值標(biāo)準(zhǔn)化后，取權(quán)重，得出每個(gè)地區(qū)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，進(jìn)而可以計(jì)算出每個(gè)月長(zhǎng)江流域的評(píng)價(jià)指標(biāo)。通過(guò)污染物流量隨時(shí)間的變化關(guān)系建立了微分方程模型，先計(jì)算出每月每段的高錳酸鹽和氨氮的量，再對(duì)六個(gè)污染源近一年所排放的污染物的數(shù)量求期望，分析得出污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要集中在宜昌至岳陽(yáng)之間。然后考慮到灰色預(yù)測(cè)模型在很少的數(shù)據(jù)下可得到較高的預(yù)測(cè)精度，用GM(1,1)模型對(duì)未來(lái)十年的水質(zhì)變化做出預(yù)測(cè)，得出未來(lái)每年各

2、類(lèi)水所占百分比。問(wèn)題四建立廢水排放量與各類(lèi)水百分比之間的二元線性回歸模型，對(duì)未來(lái)十年的廢水排放量進(jìn)行預(yù)測(cè)，確定其與各類(lèi)水所占百分比之間的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出在滿(mǎn)足題目要求的情況下，長(zhǎng)江所能承受的最大污水排放量，將這個(gè)排放量與預(yù)測(cè)的排放量進(jìn)行比較，多出來(lái)的部分就是需要每年處理掉的。最后得到的未來(lái)十年需要處理的污水量見(jiàn)下表：年份2005200620072008200920102011201220132014需處理79.0992.6105.4114.5132144153.7170.1182.3195.4問(wèn)題五我們從教育、法律、科技這三個(gè)方面，針對(duì)長(zhǎng)江的現(xiàn)狀，提出了具體的預(yù)防和治理長(zhǎng)江污染的措施。關(guān)鍵詞：

3、獨(dú)立性權(quán)系數(shù)法 GM(1,1)模型 微分方程一 問(wèn)題重述長(zhǎng)江是我國(guó)第一、世界第三大河流，長(zhǎng)江水質(zhì)的污染程度日趨嚴(yán)重，已引起了相關(guān) 政府部門(mén)和專(zhuān)家們的高度重視。為了保護(hù)長(zhǎng)江水資源，必須對(duì)長(zhǎng)江水質(zhì)進(jìn)行評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè) 進(jìn)而采取措施來(lái)治理水質(zhì)的污染，根據(jù)題意，本文要解決的問(wèn)題有：1. 對(duì)長(zhǎng)江近兩年多的水質(zhì)情況做出定量的綜合評(píng)價(jià)，并分析各地區(qū)水質(zhì)的污染狀況。2. 研究、分析長(zhǎng)江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的主要污染源的位置。3. 在不采取有效治理措施的情況下，根據(jù)過(guò)去 10 年的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)長(zhǎng)江未來(lái)水質(zhì) 污染的發(fā)展趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)分析。4. 根據(jù)(3)預(yù)測(cè)分析，確定每年處理的污水量使長(zhǎng)江干流的類(lèi)

4、和類(lèi)水的比例控制在20%以?xún)?nèi)，且沒(méi)有劣類(lèi)水。5. 對(duì)解決長(zhǎng)江水質(zhì)污染問(wèn)題提出切實(shí)可行的建議和意見(jiàn)。二 基本假設(shè)1. 假設(shè)干流的自然凈化能力是均勻的；2. 假設(shè)兩個(gè)觀測(cè)站之間河段的平均流速是等于兩個(gè)觀測(cè)站流速的平均值；3. 假設(shè)廢水的處理對(duì)各類(lèi)污染程度的河流的影響是均勻的。三 模型建立與求解3.1對(duì)水質(zhì)做出定量的分析并評(píng)估各地區(qū)的污染狀況3.2.1問(wèn)題分析長(zhǎng)江的質(zhì)量是由多個(gè)指標(biāo)來(lái)進(jìn)行測(cè)量評(píng)估的，為了使得建立的模型能夠?qū)﹂L(zhǎng)江水質(zhì)進(jìn)行全面的評(píng)價(jià)，要求必須可以確定不同的指標(biāo)對(duì)水質(zhì)的影響。于是我們?cè)O(shè)定一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，越大表示水質(zhì)越好，a稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)差值。其中，=某種物質(zhì)實(shí)際含量與其最高（低）標(biāo)準(zhǔn)限值的差值/

5、（最高標(biāo)準(zhǔn)限值-最低標(biāo)準(zhǔn)限值），是對(duì)應(yīng)的權(quán)重。由于溶解氧的含量是越大越好，那評(píng)價(jià)一處的水質(zhì)，=（該處溶氧量-最低標(biāo)準(zhǔn)限值）/（最高標(biāo)準(zhǔn)限值-最低標(biāo)準(zhǔn)限值）；高錳酸鉀指數(shù)和氨氮含量均是越小越好，則=（最高標(biāo)準(zhǔn)限值-該處高錳酸鉀指數(shù)）/（最高標(biāo)準(zhǔn)限值-最低標(biāo)準(zhǔn)限值），則=（最高標(biāo)準(zhǔn)限值-該處高氨氮含量）/（最高標(biāo)準(zhǔn)限值-最低標(biāo)準(zhǔn)限值）。而其對(duì)應(yīng)的權(quán)重是未知的，我們就要根據(jù)已知標(biāo)準(zhǔn)限值表中的數(shù)據(jù)來(lái)確定權(quán)重，下面考慮權(quán)重確定的方法。有很多傳統(tǒng)的系統(tǒng)評(píng)估方法比如加權(quán)評(píng)估法、專(zhuān)家評(píng)估法、綜合評(píng)分法以及層次分析法都不免受到主觀因素不同程度的影響。本文使用基于獨(dú)立性權(quán)數(shù)法構(gòu)造的評(píng)估機(jī)制則可以避免主觀因素對(duì)評(píng)估

6、的影響，使得評(píng)估結(jié)果客觀的反應(yīng)系統(tǒng)狀況。3.2.1模型建立與求解獨(dú)立性權(quán)系數(shù)法是根據(jù)各指標(biāo)與其他指標(biāo)之間的共線性強(qiáng)弱來(lái)確定指標(biāo)權(quán)重的。步驟如下：Step1：計(jì)算各指標(biāo)的與其他指標(biāo)的復(fù)相關(guān)系數(shù)。設(shè)=,計(jì)算指標(biāo)與其他指標(biāo)的復(fù)相關(guān)系數(shù)時(shí)，其他的2組指標(biāo)記為。 復(fù)相關(guān)系數(shù)。例如計(jì)算時(shí)，為對(duì)應(yīng)的5組數(shù)據(jù)，、分別為、對(duì)應(yīng)的5組數(shù)據(jù)，、有線性關(guān)系，做線性回歸得、，有通過(guò)Excel的回歸分析，分三次得到各指標(biāo)的復(fù)相關(guān)系數(shù)如下表：表1 復(fù)相關(guān)系數(shù)表0.993130.985550.99596Step2：為各指標(biāo)進(jìn)行賦權(quán)求各指標(biāo)與其他指標(biāo)復(fù)相關(guān)系數(shù)的倒數(shù)，再進(jìn)行歸一化處理，即得到各指標(biāo)的權(quán)重，即表2 各指標(biāo)權(quán)重0.

7、33280.33540.3318step3：對(duì)各物質(zhì)含量加權(quán)計(jì)算水質(zhì)評(píng)價(jià)指標(biāo)z。后面我們?cè)u(píng)價(jià)每地的水質(zhì)情況即是在已知step1、step2求得的的情況下重復(fù)此步驟。此處因?yàn)槲覀儙胗?jì)算的5組數(shù)據(jù)恰是水體的5種分類(lèi)，故可分別計(jì)算這5組數(shù)據(jù)的z值并排名，以檢驗(yàn)我們的權(quán)重是科學(xué)合理的。表3 標(biāo)準(zhǔn)差值的5組數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)編號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差值評(píng)價(jià)指數(shù)z1111.00004/5.511/131.5/1.850.79493/5.59/131/1.850.59311/5.55/130.5/1.850.27920000表中可看出，按照評(píng)價(jià)指數(shù)從高到低排名，恰是水質(zhì)分類(lèi)從到（表示水質(zhì)由好到壞的排布）要評(píng)價(jià)兩年來(lái)各個(gè)地

8、點(diǎn)的水質(zhì)情況，對(duì)每個(gè)地點(diǎn)，求其月平均評(píng)價(jià)指數(shù)，然后對(duì)月平均評(píng)價(jià)指數(shù)大小進(jìn)行排序，從而對(duì)污染狀況進(jìn)行比較。表4 各城市2年來(lái)水質(zhì)排序地點(diǎn)評(píng)價(jià)指數(shù)水質(zhì)情況排序江西南昌滁槎 0.7264175061四川瀘州沱江二橋 0.6580549842湖北武漢宗關(guān) 0.6404757523四川宜賓涼姜溝 0.6401373474四川攀枝花0.6105279595江西九江蛤蟆石 0.5865280456四川樂(lè)山岷江大橋 0.5864008157湖北宜昌南津關(guān) 0.5845043488安徽安慶皖河口 0.5779961149重慶朱沱&#

9、160;0.56762817110江蘇南京林山 0.53174562111湖北丹江口胡家?guī)X 0.51172439312湖南岳陽(yáng)岳陽(yáng)樓 0.51159021713江蘇揚(yáng)州三江營(yíng) 0.51131922214湖南長(zhǎng)沙新港 0.49483412815湖南岳陽(yáng)城陵磯 0.4882959716江西九江河西水廠 0.45802727417注：排序1表示水質(zhì)最好4.2研究污染源在哪些地區(qū)4.2.1模型的符號(hào)說(shuō)明地點(diǎn)k的水流量：，k站點(diǎn)到j(luò)站點(diǎn)的距離：k站點(diǎn)到j(luò)站點(diǎn)的水流速：k站點(diǎn)到j(luò)站點(diǎn)的水流到達(dá)時(shí)間：k站點(diǎn)的水質(zhì)污染的監(jiān)測(cè)值（濃度）： 站

10、點(diǎn)k到站點(diǎn)k+1段的污染產(chǎn)生數(shù)量：站點(diǎn)k的污染值經(jīng)過(guò)降解后到達(dá)站點(diǎn)k+1的值（濃度）：河流的降解系數(shù)：4.2.2模型的建立;安徽安慶2787湖南岳陽(yáng)2123湖北宜昌1728四川攀枝花950重慶朱沱3251江蘇南京2623江西九江首先將7個(gè)站點(diǎn)分成6段，每段的河流長(zhǎng)度為相鄰的站點(diǎn)的坐標(biāo)差，根據(jù)題目要求，河流的降解系數(shù)取0.2(單位：1/天)。則每個(gè)區(qū)間段可用下圖模型表示：污染源下游水域上游水域下面對(duì)其中的一段進(jìn)行分析。下游觀測(cè)點(diǎn)所得的污染物數(shù)據(jù)由兩方面構(gòu)成：(1)上游觀測(cè)點(diǎn)的污染物經(jīng)過(guò)自然降解后到達(dá)的數(shù)量。(2)從污染源排放出來(lái)的污水?dāng)?shù)量。由于河流的降解系數(shù)取=0.2(單位：1/天)。則：求解得

11、：同時(shí)，k站點(diǎn)到k+1站點(diǎn)的水流到達(dá)時(shí)間： 則整理可知：利用MATLAB編程可以得到各區(qū)間段污染源13個(gè)月產(chǎn)生的污染數(shù)量的期望值如下表：（單位：g/s）攀枝花至朱沱朱沱至宜昌宜昌至岳陽(yáng)岳陽(yáng)至九江九江至安慶安慶至南京高猛酸鹽33269.648721.868588.456739.757888.856989.8氨氮2875.34032.26243.24926.84782.32366.7從上表的數(shù)據(jù)可以看出：宜昌至岳陽(yáng)的高錳酸鹽和氨氮的數(shù)量最多，攀枝花至朱沱的高錳酸鹽數(shù)量最少，氨氮的數(shù)量在安慶至南京這個(gè)區(qū)間段最少。因此，長(zhǎng)江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要集中在宜昌至岳陽(yáng)之間。4.

12、2.3結(jié)果的分析：?jiǎn)栴}二用長(zhǎng)江干流7個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)將長(zhǎng)江分為6個(gè)江段，通過(guò)污染物流量隨時(shí)間的變化關(guān)系建立了微分方程模型，先計(jì)算出每月每段的高錳酸鹽和氨氮的量，再對(duì)六個(gè)污染源近一年所排放的污染物的數(shù)量求期望，分析得出污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要集中在宜昌至岳陽(yáng)之間。4.3對(duì)未來(lái)10年水質(zhì)的預(yù)測(cè)4.3.1問(wèn)題分析為了分析問(wèn)題的方便，得到總概性的結(jié)論，一下分析了從19952004年這十年水文年長(zhǎng)江全流域的各類(lèi)水的百分比。將江水分為四類(lèi)，可應(yīng)用水（、類(lèi)）、類(lèi)、類(lèi)、劣類(lèi)，以這四類(lèi)水的百分比來(lái)刻畫(huà)長(zhǎng)江的水質(zhì)情況。利用已有數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)長(zhǎng)江未來(lái)10年這四類(lèi)水所占的百分比。由已知19952004年，這十年的上

13、述四類(lèi)水各自所占的的百分比，運(yùn)用灰色預(yù)測(cè)方法，建立GM(1,1)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)十年這四種水各自所占的百分比。4.3.2模型的建立為了由過(guò)去十年的這四種水所占百分比來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)它們各自的百分比，建立灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型：1） 原始四種水各自序列： （其中i=1,2,3,4 分別代表這四類(lèi)水）對(duì)原始序列做1-AGO(一次累加生成)得： 其中2） 對(duì) 做緊均值生成， 構(gòu)造矩陣B: 由最小二乘法估計(jì)參數(shù)列 ，其中a為發(fā)展系數(shù)，u為灰色作用量。3） 一階微分方程： ；時(shí)間響應(yīng)式： （連續(xù)型）對(duì)等間隔取樣的離散值 ，則為：（離散型）繼而得的模擬值：進(jìn)一步得到的模擬值 ：4.3.3求解與分析求未來(lái)十年四

14、種水的百分比原來(lái)各種水百分比序列： 按以上GM(1,1)模型建立步驟，用matlab求解得：運(yùn)用上面的式子得到已知這十年的模擬值（以作為代表）：19952004年飲用水的百分比模擬值年份1995199619971998199920002001200220032004實(shí)際值93.185.380.788.480.27473.776.777.568模擬值93.183.81.870.078.176.476.374.672.971.2相對(duì)殘差 05.66-4.12-9.62.73.03-3.22.84.2-3.1由上表知：相對(duì)殘差小于0.1，認(rèn)為達(dá)到較高要求。故由以上檢驗(yàn)結(jié)果，可用灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)未來(lái)四

15、種水的百分比。預(yù)測(cè)未來(lái)10年水文年全流域各類(lèi)水的百分比年份2005200620072008200920102011201220132014飲用水69.613868.0242766.4710364.9532563.4701462.0208960.6047259.220957.8686756.5473212.0273212.1577712.2896412.4229412.5576912.693912.8315812.9707613.1114513.253666.7721057.5133778.335799.24822310.2605311.3836512.629714.0121415.545911

16、7.24756劣11.5867812.3045812.9035413.3755813.7116413.9015713.93413.796213.4739712.95146從上表可以看出，十年后，飲用水比例急劇減少，不可飲用水比例將近50%。而這一結(jié)果與材料中提到的十年后“癌變”長(zhǎng)江基本相符。由此看出，對(duì)于長(zhǎng)江水的治理已是迫在眉睫，如不采取一定的有效措施，長(zhǎng)江勢(shì)必將是第二條黃河，后果不堪設(shè)想，治理長(zhǎng)江乃是功在當(dāng)代，利在千秋的大業(yè)，急需要全員的行動(dòng)。4.4每年處理污水的量4.4.1問(wèn)題分析問(wèn)題四要預(yù)測(cè)出未來(lái)十年每年需要處理的污水量。而觀察長(zhǎng)江十年的水流總量可以發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)江水流總量的變化較小，所以可以

17、忽略長(zhǎng)江總流量的變化。先建立廢水排放量與各類(lèi)水百分比之間的二元線性回歸模型，對(duì)未來(lái)十年的廢水排放量進(jìn)行預(yù)測(cè)，確定其與各類(lèi)水所占百分比之間的函數(shù)關(guān)系式。計(jì)算出在滿(mǎn)足題目要求的情況下，長(zhǎng)江所能承受的最大污水排放量，將這個(gè)排放量與預(yù)測(cè)的排放量進(jìn)行比較，多出來(lái)的部分就是需要每年處理掉的。4.4.2模型四的與求解通過(guò)問(wèn)題三的灰色預(yù)測(cè)模型可以預(yù)測(cè)出未來(lái)10年長(zhǎng)江每年的排污總量X?？紤]未來(lái)10年長(zhǎng)江干流的類(lèi)和類(lèi)水的比例控制在20%以?xún)?nèi)，且沒(méi)有劣類(lèi)水，那么可以假設(shè)滿(mǎn)足此條件下，長(zhǎng)江允許的最大排污量為x,因此，每年需要處理的污水量為x. 滿(mǎn)足條件的污水量x只與、劣類(lèi)水之間有關(guān)系，由于、類(lèi)的總和不大于20%，那么

18、可以綜合考慮、類(lèi)水的百分比之和y1與排污量，劣類(lèi)水的百分比y2與排污量的關(guān)系?？紤]到第、劣類(lèi)水質(zhì)之間是相互作用、相互轉(zhuǎn)化的，因此直接建立x與y1，Y2之間的線性回 歸模型:問(wèn)題四的求解根據(jù)上述公式，利用MATLAB編程（程序見(jiàn)附錄）求解可得：同時(shí)可求出其顯著性水平為0.13346，因此其置信水平為86.654%，則可說(shuō)明此回歸方程較為準(zhǔn)確。又因?yàn)樵试S排入長(zhǎng)江的污水量滿(mǎn)足y1<20且y2=0，所以有即：X<=210.92也就是未來(lái)十年每年最多可以排放到長(zhǎng)江里去的污水為210.92億噸。最后得到的未來(lái)十年需要處理的污水量見(jiàn)下表：年份200520062007200820092010201

19、1201220132014需處理79.0992.6105.4114.5132144153.7170.1182.3195.4從上表可以看出，每年需要處理的污水?dāng)?shù)量是不斷增加的。這是因?yàn)槊磕昱欧诺奈鬯坑忻黠@的增長(zhǎng)趨勢(shì)。說(shuō)明水污染越來(lái)越嚴(yán)重，應(yīng)該引起足夠的重視。4.4.3問(wèn)題四的結(jié)果分析通過(guò)建立廢水排放量與各類(lèi)水百分比之間的二元線性回歸模型，計(jì)算出在滿(mǎn)足題目要求的情況下，長(zhǎng)江所能承受的最大污水排放量為210.92億噸，將這個(gè)排放量與預(yù)測(cè)的排放量作差，可得到未來(lái)十年每年需要處理的污水量。分析可得：隨著年限的增加，每年需要處理的污水?dāng)?shù)量有不斷上升的趨勢(shì)，而每年污水的排放量也在快速增長(zhǎng)，應(yīng)采取合理的治理措施，保護(hù)水資源。4.5解決長(zhǎng)江水質(zhì)污染問(wèn)題的意見(jiàn) 長(zhǎng)江作為我國(guó)第一大河流，其水質(zhì)污染程度日趨嚴(yán)重，有關(guān)專(zhuān)家稱(chēng)扼殺長(zhǎng)江的主要?dú)⑹职?括水土流失、船舶污染、工業(yè)和生活污水、庫(kù)區(qū)消落帶等4個(gè)方面。要解決長(zhǎng)江流域的水污染問(wèn)題要從多方面綜合考慮，堅(jiān)持“預(yù)防為主，防治結(jié)合”的總方針，特提