導(dǎo)數(shù)壓軸題題型(學(xué)生版)

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題題型【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)已知 f(x) ax ln x 2x2 1, a R. x(I)討論f(x)的單調(diào)性；(II)當(dāng)a 1時(shí)，證明f(x)>fx 3對(duì)于任意的x 1,2成立.21. 高考命題回顧例 1.已知函數(shù) f(x)ae2x+(a - 2) ex x.1)討論 f (x) 的單調(diào)性；2)f (x) 有兩個(gè)零點(diǎn)，求a 的取值范圍.2例 2.( 21)(本小題滿分12 分)已知函數(shù)f x x 2 ex a x 1 有兩個(gè)零點(diǎn)(I)求a的取值范圍;(II)設(shè)xi,x2是f x的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x22.例3.(本小題滿分12分)31已知函數(shù) f (x

2、) =x ax ，g(x) In x4(I)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y f(x)的切線;(n )用 minm,n 表示 m,n 中的最小值，設(shè)函數(shù) h(x) min f (x), g(x) (x 0),討論h (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例4.(本小題滿分13分)已知常數(shù)a 0,函數(shù)f(x) ln(1 ax)2xx 2(I )討論f (x)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性；(n )若f (x)存在兩個(gè)極值點(diǎn) ox2,且f(xj fj) 0,求a的取值范圍例 5 已知函數(shù) f(x) = ex ln(x+ m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求 m ,并討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng) m<2 時(shí)，證明 f(

3、x)>0.例6 已知函數(shù) f(x)滿足 f(x) f'(1)ex1 f(0)x 1x22(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；1 2(2)若 f(x) -x ax b,求(a 1)b 的最大值。a In x b例7已知函數(shù)f(x) -,曲線y f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x 1 xx 2y 3 0。(i )求a、b的值；In x k(n)如果當(dāng)x 0,且x 1時(shí)，f(x) ，求k的取值范圍。x 1 x例 8 已知函數(shù) f(x) = (x3+3x2+ax+b)e x若a=b=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(8, & ),(2,單噂增加，在(&

4、 ,2),(西碉減少，證明3-6.2.在解題中常用的有關(guān)結(jié)論X 曲線y f (x)在x xo處的切線的斜率等于 f (xo),且切線方程為y f (xo)(x x。) f(x。)。(2)若可導(dǎo)函數(shù)y f (x)在x xo處取得極值，則f (xo) 0。反之，不成立。對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，不等式f (x) 0(。的解集決定函數(shù) f (x)的遞增(減)區(qū)間。(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是:x I f (x) 0( 0)恒成立(f (x) 不恒為0).函數(shù)f (x)(非常量函數(shù))在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于f (x)在區(qū)間I上有極值，則可等 價(jià)轉(zhuǎn)化為方程f (x) 0在區(qū)間I上有實(shí)根且

5、為非二重根。(若 f (x)為二次函數(shù)且 I=R,則有0)。(6) f (x)在區(qū)間I上無極值等價(jià)于 f (x)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而彳#到f (x) 0或 f (x) 0在I上恒成立若 x I, f (x)0恒成立，則f (x)min 0；若x I , f(x)0恒成立，則f ( x) max 0(8)x。If(x0) 0 f (x)max 0x0 If(x0) 0,則f(x)min 0.(9)設(shè)f (x)與g(x)的定義域的交集為 D,若 x D f(x) g(x) 恒成立，則有0.f(X)g min(10)若對(duì)XiI1、X2 I2 , f(Xl)g(X2)恒成立，則 f (X)min

6、g(x)max .若對(duì)XiIi ,X2I2,使得 f(Xi)g(X2)，則 f(X)min g(X)min .若對(duì)XiIi ,X2I2,使得 f (Xi)g(X2),則 f (X)maX g(X)maX.(11)已知f (X)在區(qū)間I1上的值域?yàn)锳, g(X)在區(qū)間I2上值域?yàn)锽,若對(duì)X1I1,X212 ,使得 f (Xi) = g(X2)成立，則 A B。(13)證題中常用的不等式： In x x 1 (x 0)Xe 1 x® In x x 1 /(x 1)x 12x x?1Vn(x+1 x (x 1)Xe 1 xD 1nx1X222x2 (x0)(12)若三次函數(shù)f(X)有三個(gè)零

7、點(diǎn)，則方程 f (X) 0有兩個(gè)不等實(shí)根 X、X2,且極大值 大于0,極小值小于 0.3.題型歸納導(dǎo)數(shù)切線、定義、單調(diào)性、極值、最值、的直接應(yīng)用(構(gòu)造函數(shù)，最值定位)(分類討論，區(qū)間劃分)(極值比較)(零點(diǎn)存在性定理應(yīng)用) (二階導(dǎo)轉(zhuǎn)換)1 a 例2(最值問題，兩邊分求)已知函數(shù)f(x) lnx ax 1 (a R).x1 一、當(dāng)aw 一時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性； 2一.2_.1 .設(shè)g(x) x 2bx 4.當(dāng)a 一時(shí)，右對(duì)任意x (0,2),存在x?1,2 ,使4f (x1)> g(x2),求實(shí)數(shù)b取值范圍.交點(diǎn)與根的分布3_2_ _一一例3 （切線交點(diǎn)）已知函數(shù)f x ax bx

8、3x a,b R在點(diǎn)1,f 1處的切線方程 為 y 2 0.求函數(shù)f x的解析式；若對(duì)于區(qū)間2,2上任意兩個(gè)自變量的值 x1，x2都有f x1f x2c,求實(shí)數(shù)c的最小值；若過點(diǎn)M 2, m m 2可作曲線y f x的三條切線，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.,3 2f(x) ln(2 3x) x例4 (綜合應(yīng)用)已知函數(shù)2求f(x)在0,1上的極值;1 1 一一一x 一,一,不等式 |a lnx| ln f (x) 3x 0若對(duì)任意6 3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若關(guān)于x的方程f(x) 2x b在0, 1上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù) b的取值 范圍.不等式證明例5 (變形構(gòu)造法)已知函數(shù)(x)x 1

9、, a為正常數(shù).9若f(x) 1nx (x),且a 2 ,求函數(shù)W刈的單調(diào)增區(qū)間；在中當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)y f (x)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)Ax1，y1 , Bx2,y2 ,線段AB的中點(diǎn)為C(x0，y0),記直線AB的斜率為k,試證明：k f(沏).g(x2) g 若 g(x) 11nxi(x),且對(duì)任意的 x1，x20，2 , x1 x2,都有x2 x1求a的取值范圍.2例6 (高次處理證明不等式、取對(duì)數(shù)技巧)已知函數(shù)f(x) x ln(ax)(a 0).(1)若f'(x) x2對(duì)任意的x 0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；、 f(x)/1g(x)xi，x2(- ,1), xi x2(2

10、)當(dāng)al時(shí)，設(shè)函數(shù)x ，若ex1x2 (x1 x2)4例7 (絕對(duì)值處理)已知函數(shù)f(x) x3 ax2 bx c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x 1處取 得極大值.(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2a 3)2(II)右萬程f(x) 恰好有兩個(gè)不同的根，求 f(x)的解析式；9(III)對(duì)于(II)中的函數(shù) f(x),對(duì)任意 、 R,求證：|f(2sin ) f(2sin )| 81.例8 (等價(jià)變形) 已知函數(shù)f (x) ax 1 ln x (a R).(I )討論函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(n )若函數(shù)f(x)在x 1處取得極值，對(duì)x (0,),f(x) bx 2恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值

11、范圍；(出)當(dāng)0 x y e2且x e時(shí)，試比較與1 1n y的大小.x 1 1n x例9 (前后問聯(lián)系法證明不等式)12f(x) 1nx,g(x) -x 已知27, mx 一(m 0)2 ，直線1與函數(shù)f(x),g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1。(I)求直線1的方程及m的值；(II)若h(x) f(x 1) g'(x)(其中g(shù)'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)h(x)的最 大值。b af(a b) f(2a) ba(III)當(dāng)0 b a時(shí)，求證：2a例10 (整體把握，貫穿全題)已知函數(shù)f 叱 1. x(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)

12、設(shè)m 0,求f (x)在m,2m上的最大值；(3)試證明：對(duì)任意n N* ,不等式ln(L)e 5都成立(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) n n111 n2(出)證明：± 1-_n_ .a1a2ann 1例11 (數(shù)學(xué)歸納法)已知函數(shù)f(x)ln(x 1) mx ,當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)已知結(jié)論：若函數(shù)f (x) ln(x 1) mx在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且a 1 , 則存在x0 (a,b),使得f (x0)f (b) f (a) .試用這個(gè)結(jié)論證明：若b a1 x1 x2 ,函數(shù) g(x)f (x1)一f (x2) (x xj f (x1),

13、則對(duì)任意x1 x2x (x1, x2),都有 f(x) g(x);(3)已知正數(shù)1, 2,L , n,滿足12 L n 1 ,求證：當(dāng)n 2, n N時(shí)，對(duì)任意大于 1 ,且互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,L ,xn ,都有f( 182x2 Lnxn)1f(x1)2f(x2) L nf(xn).恒成立、存在性問題求參數(shù)范圍例12 (分離變量)已知函數(shù)f (x) x a1nx (a為實(shí)常數(shù)).(1)若a 2,求證：函數(shù)f(x)在(1,+ 8)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)f(x)在1,e上的最小值及相應(yīng)的 x值；若存在x 1，e,使得f(x) (a 2)x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍例13 (先猜后證技巧)已知

14、函數(shù)f (x)1 1 n(x 1)x(I )求函數(shù)f (x)的定義域(n )確定函數(shù)f (x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論心 一，k(出)右x>0時(shí)f (x) 恒成立，求正整數(shù)k的最大值.x 1例14(創(chuàng)新題型)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的極值點(diǎn)，求a的值；(n )當(dāng) a=1 時(shí)，設(shè) P(xi,f(xi), Q(x2, g(x 2)(xi>0,X2>0),且 PQ/x 軸，求 P、Q 兩點(diǎn)間的最短 距離；(出)若*川日,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F( x)的圖象上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2

15、例15(圖像分析，綜合應(yīng)用)已知函數(shù)g(x) ax2ax 1 b(a 0，b 1) ，在區(qū)間2, 3f(x)幽上有最大值4,最小值1,設(shè)x .(I )求a，b的值;(n)不等式 f(2x) k 2x0在x 11上恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍;求實(shí)數(shù)k的范圍.皿方程f(12x11) k(3)0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,導(dǎo)數(shù)與數(shù)列 例16 (創(chuàng)新型問題) 設(shè)函數(shù)f(x) (x a)2(x b)ex, a、b R, x a是f(x)的一個(gè) 極大值點(diǎn) 若 a 0，求b 的取值范圍；當(dāng)a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè) xn x2, x3是f(x)的3個(gè)極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù) b ,可 找 到x4R ， 使 得x1，x2，x3，

16、x4的 某 種 排 列xi1 , xi2 , xi3 , xi4( 其 中八i2,i3,i4= 1,2,3,4)依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應(yīng)的人；若不存在，說明理由導(dǎo)數(shù)與曲線新題型1例17 (形數(shù)轉(zhuǎn)換)已知函數(shù)f (x) ln x , g(x) -ax2 bx (a 0).若a 2,函數(shù)h(x) f(x) g(x)在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；在的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)(x)=e 2x+bex,x C 0,ln2, 求函數(shù) (x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象Ci與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過線段PQ的中點(diǎn)R作x 軸的垂線分別交 Ci、Q于點(diǎn)M、N，問是否存在點(diǎn) R使

17、Ci在M處的切線與C2在N 處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.(0x2).例18 (全綜合應(yīng)用)已知函數(shù)f(x) 1 ln(1)是否存在點(diǎn)M(a,b),使得函數(shù)y f(x)的圖像上任意一點(diǎn) P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)yf(x)的圖像上 *存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；2n 1(2)定義Sn12f(-) f ,2n1. .* 一f ()淇中 n N ,求 S2013 ；n(3)在(2)的條件下，令Sn1 2an，若不等式a 一m2(an)1對(duì) n N且n 2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合2例 19(換元替代，消除三角)設(shè)函數(shù) f (x) x(x a) ( x R )，其中a R (i)當(dāng)a 1時(shí)，求曲線y f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程；(n )當(dāng)a 。時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；(出)當(dāng)a 3, k 1 0時(shí)，若不等式f(k 8sxp f(k2 cos' x)對(duì)任意的 x R 恒成立 ,