數(shù)學(xué)解題思維策略

1、數(shù)學(xué)解題思維策略數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是指從理解問(wèn)題開始，從經(jīng)過(guò)探索思路，轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題，進(jìn)行回顧的全過(guò)程的思維活動(dòng)。 對(duì)于數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程，G . 波利亞提出了四個(gè)階段*（見(jiàn)附錄），即弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段的思維過(guò)程實(shí)質(zhì)可以用下列八個(gè)字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。第一階段的理解問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的開始。 第二階段的轉(zhuǎn)換問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是思維策略的選擇和調(diào)整過(guò)程。 第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過(guò)程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部

2、分。 第四階段的反思問(wèn)題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開始。例題精析：例1：已知x滿足32x-90 *3x+729<0,函數(shù)y=的最大值為0，最小為 -1/8，試求a的值。例2：設(shè)A（x，y）為曲線y=|上的任意的一點(diǎn)，B（0，b），（b1）為y軸上的定點(diǎn)，A與B的距離為d，寫出d的最小值的解析式f(a)。例3：若方程lg(4x2+4ax)-lg(4x-a+1)=0有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí)： 1、若同時(shí)滿足不等式x2-x-2>0和2x2+(5+2a)x+5a<0的x的整數(shù)值只有 -2，

3、求a的取值范圍。2、已知sin3+cos3=1,求sin3+cos3。3、已知函數(shù)f(x)=，g(x)=x+2，若方程f(x+a)=g(x)有兩個(gè)不等的實(shí)根，求a的范圍。數(shù)學(xué)解題的策略 為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于變換，即把面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過(guò)對(duì)新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，常用的解題策略有熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。一、 熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒(méi)有接觸過(guò)的陌生題目

4、時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過(guò)的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來(lái)分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問(wèn)題）兩個(gè)方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的途徑有：（一）、充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型：按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問(wèn)題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問(wèn)題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問(wèn)題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問(wèn)題。例1、已知f(x)=(a>0且a1)，（1）、求f(x)的定義域；

5、（2）、判斷f(x)的奇偶性并證明；（3）、求使f(x)>0的的取值范圍。例2、已知sin-2cos=0，求3sin2+3sincos-2cos2。例3、已知f(x)=2+log3x(1x9)，求函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x的值。（二）、全方位、多角度分析題意：對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問(wèn)題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。例1、 如果cos2+2msin-2m-2<0對(duì)任意的總成立，求常數(shù)m的范圍。（三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素： 數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常常可以有

6、不同的表現(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問(wèn)題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問(wèn)題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。 數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見(jiàn)的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。例： PA、PB、PC是空間從P引出的三條射線， 若APB=BPC=CPA=45°，求二面角B-PA-C的平面角的余弦值。例： 解方程log2(x2-5)+=81x+log24x.二、簡(jiǎn)單化策略所謂簡(jiǎn)單化策略，就是當(dāng)我們面

7、臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡(jiǎn)單、易于解答的新題，以便通過(guò)對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡(jiǎn)馭繁，解出原題。簡(jiǎn)單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說(shuō)來(lái)，我們對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。解題中，實(shí)施簡(jiǎn)單化策略的途徑是多方面的，常用的有: 尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡(jiǎn)化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。1、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡(jiǎn)單的基本題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條

8、件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的一條重要途徑。例1、 已知sin-cos=，（1）求tg+ctg的值(2)求sin4+cos4的值。例2、若sinx=，cosx=，則tgx= 。2、分類考察討論：在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類問(wèn)題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡(jiǎn)單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例1、 設(shè)函數(shù)y=sin2x+acosx+(0x)的最大值為1，求a的值。例2、求函數(shù)y=的值域.例3、設(shè)f(x)=3+mcosx的值域?yàn)?2，8，如果tgm>0，求m的值。3、簡(jiǎn)單化已知條件：

9、有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡(jiǎn)化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開不顧，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題。這樣簡(jiǎn)單化了的問(wèn)題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。例1、 已知兩點(diǎn)P（0，1），Q（2，3），一次函數(shù)的圖象L過(guò)P，Q兩點(diǎn)，若二次函數(shù)f(x)=x2+ax+2的圖象L在P，Q之間的部分有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。4、恰當(dāng)分解結(jié)論：有些問(wèn)題，解題的主要困難，來(lái)自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來(lái)，這時(shí)，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。例1、直線AB與直二面角-l-的兩個(gè)半平面分別相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B，如果直線

10、AB與所成角分別是1，2，則1+2的取值范圍是 （ ）A、0<1+2< B、1+2=C、1+2> D、0<1+2三、直觀化策略： 所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問(wèn)題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對(duì)象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。（一）、圖表直觀： 有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。對(duì)于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對(duì)具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解

11、題線索。例1、A，B，C，D，E五個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每個(gè)隊(duì)都要其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)），當(dāng)比賽到一定階段時(shí)，統(tǒng)計(jì)A，B，C，D四個(gè)球隊(duì)已經(jīng)比賽過(guò)的場(chǎng)數(shù)，依次為：A隊(duì)4場(chǎng)，B隊(duì)3場(chǎng)，C隊(duì)2場(chǎng)，D隊(duì)1場(chǎng)，請(qǐng)你判斷哪些球隊(duì)之間已互相比賽過(guò)？其中E隊(duì)已比賽過(guò)幾場(chǎng)？（二）、圖形直觀：有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡(jiǎn)捷、合理的解題途徑。例1、 設(shè)正三棱錐S-ABC中,ASB=40°,SA=2cm, 過(guò)A作截面與SB, SC分別交于D, E, 求截面三角形ADE周長(zhǎng)的最小值。（三）、圖象直

12、觀：不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡(jiǎn)馭繁，獲取簡(jiǎn)便，巧妙的解法。例1、 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程：（x+1）|x-1|-a=0例2、 判斷方程2x+1+x2=3的解的個(gè)數(shù)例3、 對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)x，設(shè)f(x)是4x+1, x+2和 -2x+4三個(gè)函數(shù)中的最小值，那么f(x)的最大值。四、特殊化策略所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡(jiǎn)單的特殊問(wèn)題，以便從特殊問(wèn)題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。例1、設(shè)為第二象限角，則tg,sin,cos的大小關(guān)系是 （ ） A、

13、sin>cos>tg B、tg>sin>cos C、cos>sin>tg D、tg >cos> sin例2、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，f(1)=a (a>0)，且f(x)m=f(mx), mR，求f(x)并證明a>1。五、一般化策略所謂一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問(wèn)題時(shí)，要設(shè)法把特殊問(wèn)題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題。例1、 設(shè)f(x)的定義域?yàn)閤|x,kZ，且f(x+1)= ，如果f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)=

14、4x求f()。例2、 計(jì)算：六、整體化策略所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問(wèn)題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問(wèn)題的途徑和辦法。例1、 甲、乙兩個(gè)酒杯中，分別裝有紅、白葡萄酒，現(xiàn)將甲杯中的紅葡萄酒倒一部分到乙杯中，然后再?gòu)囊冶够赝瑯訑?shù)量的混合酒到甲杯中，試問(wèn)：這時(shí)甲杯中的白葡萄酒和乙杯中的紅葡萄酒哪個(gè)多？為什么？例2、 如果正四棱錐的側(cè)面是正三角形，求證：它的相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角是側(cè)面和底面所成二面角的2倍。七、間接化策略所謂間接化策略，就是當(dāng)我們

15、面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場(chǎng)合甚至找不到解題依據(jù)的題目時(shí)，要隨時(shí)改變思維方向，從結(jié)論（或問(wèn)題）的反面進(jìn)行思考，以便化難為易解出原題。例、設(shè)三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)參數(shù)a的取值范圍。數(shù)學(xué)解題思維策略 數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是指從理解問(wèn)題開始，從經(jīng)過(guò)探索思路，轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題，進(jìn)行回顧的全過(guò)程的思維活動(dòng)。 在數(shù)學(xué)中，通?？蓪⒔忸}過(guò)程分為四個(gè)階段： 第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識(shí)信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之

16、間的聯(lián)系，為解題作好知識(shí)上的準(zhǔn)備。 第二階段是尋求解題途徑。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃。 第三階段是實(shí)施計(jì)劃。將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過(guò)與已知條件所選擇的根據(jù)作對(duì)比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^(guò)程的方法，并且書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。探討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識(shí)。將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的開始。 第二階段的轉(zhuǎn)換問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)

17、現(xiàn)過(guò)程，是思維策略的選擇和調(diào)整過(guò)程。 第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過(guò)程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。 第四階段的反思問(wèn)題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開始。通過(guò)以下探索途徑來(lái)提高解題能力：（1） 研究問(wèn)題的條件時(shí)，在需要與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因?yàn)檫@意味著你對(duì)題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解。（2） 清晰地理解情境中的各個(gè)元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。（3） 深入地分析并思考習(xí)題

18、敘述中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有重要發(fā)現(xiàn)。（4） 盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過(guò)類似題目。（5） 仔細(xì)考慮題意是否有其他不同理解。題目的條件有無(wú)多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？（6） 認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。通過(guò)目標(biāo)找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。（7） 如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語(yǔ)言表示題的元素，以利于解題思路的展開。 以上途徑特別有利于開始解題者能迅速“登堂入室”，找到解題的起步點(diǎn)。在制

19、定計(jì)劃尋求解法階段，最好利用下面這套探索方法：（1） 設(shè)法將題目與你會(huì)解的某一類題聯(lián)系起來(lái)?；蛘弑M可能找出你熟悉的、最符合已知條件的解題方法。（2） 記?。侯}的目標(biāo)是尋求解答的主要方向。在仔細(xì)分析目標(biāo)時(shí)即可嘗試能否用你熟悉的方法去解題。（3） 解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問(wèn)題的條件、結(jié)論作比較。用這種辦法檢查解題途徑是否合理，以便及時(shí)進(jìn)行修正或調(diào)整。（4） 嘗試能否局部地改變題目，換種方法敘述條件，故意簡(jiǎn)化題的條件（也就是編擬條件簡(jiǎn)化了的同類題）再求其解。再試試能否擴(kuò)大題目條件（編一個(gè)更一般的題目），并將與題有關(guān)的概念用它的定義加以替代。（5） 分解條件，盡可能將分成部分重新組合，擴(kuò)大騍條件

20、的理解。（6） 嘗試將題分解成一串輔助問(wèn)題，依次解答這些輔助問(wèn)題即可構(gòu)成所給題目的解。（7） 研究題的某些部分的極限情況，考察這樣會(huì)對(duì)基本目標(biāo)產(chǎn)生什么影響。（8） 改變題的一部分，看對(duì)其他部分有何影響；依據(jù)上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果，嘗試能否對(duì)題的目標(biāo)作出一個(gè)“展望”。（9） 萬(wàn)一用盡方法還是解不出來(lái)，你就從課本中或科普數(shù)學(xué)小冊(cè)子中找一個(gè)同類題，研究分析其現(xiàn)成答案，從中找出解題的有益啟示。* 附錄說(shuō)明：波利亞給出了詳細(xì)的“怎樣解題”表，在這張表中啟發(fā)你找到解題途徑的一連串問(wèn)句與建議，來(lái)表示思維過(guò)程的正確搜索程序，其解題思想的核心在于不斷地變換問(wèn)題，連續(xù)地簡(jiǎn)化問(wèn)題，把數(shù)學(xué)解題看成為問(wèn)題化歸的過(guò)程，即最終歸結(jié)為熟悉的基本問(wèn)題加以解決。 怎樣解題 G . 波 利 亞第一：你必須弄清問(wèn)題弄清問(wèn)題：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充