中考數(shù)學——圓的綜合的綜合壓軸題專題復習及答案

1、中考數(shù)學一一圓的綜合的綜合壓軸題專題復習及答案一、圓的綜合1 .如圖，以。為圓心，4為半徑的圓與 x軸交于點 A, C在。上，/OAC=60°.(1)求/ AOC的度數(shù)；(2) P為x軸正半軸上一點，且 PA=OA連接PC,試判斷PC與。的位置關系，并說明 理由；(3)有一動點 M從A點出發(fā)，在。上按順時針方向運動一周，當Samao=Scao時，求動點M所經(jīng)過的弧長，并寫出此時 M點的坐標.【答案】(1) 60。； (2)見解析；(3)對應的M點坐標分別為：Mi(2, 2灰)、M2 (-2, - 2#)、M3 (-2, 2囪)、M4(2, 273) .【解析】【分析】(1)由于Z O

2、AC=60,易證得OAC是等邊三角形，即可得 / AOC=60 .(2)由(1)的結論知：OA=AC,因此 OA=AC=AP即OP邊上的中線等于 OP的一半，由此可證得OCP是直角三角形，且 /OCP=90,由此可判斷出 PC與。O的位置關系.(3)此題應考慮多種情況，若 MAO、4OAC的面積相等，那么它們的高必相等，因此 有四個符合條件的 M點，即：C點以及C點關于x軸、y軸、原點的對稱點，可據(jù)此進行 求解.【詳解】(1) OA=OC, Z OAC=60 ,.OAC是等邊三角形，故 / AOC=60 .(2)由(1)知：AC=OA 已知 PA=OA 即 OA=PA=AC. AC=2 OP,

3、因此 OCP是直角三角形，且 / OCP=90°,而OC是。的半徑，故PC與O O的位置關系是相切.(3)如圖；有三種情況：0-取C點關于x軸的對稱點，則此點符合2點）；點的要求，此時點的坐標為:Mi (2,劣弧MA的長為：60一4 180 取C點關于原點的對稱點,-2,3）；4此點也符合點的要求，此時點的坐標為:M2 (-2,一 1204劣弧MA的長為：180取C點關于y軸的對稱點, 26）；83 ；此點也符合點的要求，此時點的坐標為:M3 (-2,八一 2404優(yōu)弧MA的長為：士404180163 ，當C、M重合時，C點符合M點的要求，此時 M4 （2, 2J3）；優(yōu)弧MA的長為

4、：300一4180203 ，綜上可知：當Sa mao=Sxcao時，動點M所經(jīng)過的弧長為 4一, 8, 16一,竺一對應的M點坐 3333標分別為：Mi （2, -2 石）、M2 （-2, 2石）、M3（ 2, 2百）、M4 （2,2 .3） .【點睛】本題考查了切線的判定以及弧長的計算方法，注意分類討論思想的運用，不要漏解.2.如圖，已知 4ABC內(nèi)接于OO, BC交直徑AD于點E,過點C作AD的垂線交AB的延長 線于點G,垂足為F.連接OC.(2)(3)/G=48 ,求/ACB的度數(shù)；AB=AE,求證：/BAD=/ COF;（2）的條件下，連接 OB,設4AOB的面積為Si, 4ACF的面

5、積為8.若1 ，、蟲.tan Z CAF=-,求 的值.2S2D3【答案】(1) 48。(2)證明見解析(3)4【解析】 【分析】(1)連接CD,根據(jù)圓周角定理和垂直的定義可得結論；(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：/ABE=/ AEB,再證明Z BCG=Z DAC,可得Cd Pb Pd ,則所對的圓周角相等，根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角的關系可得結 論；(3)過 O作 OG，AB于 G,證明 ACOFAOAG,則 OG=CF=x AG=OF,設 OF=a,則OA=OC=2x-a根據(jù)勾股定理列方程得：(2x-a) 2=x2+a2,則a=3 x,代入面積公式可得結 4論.【詳解】(1)連接CD,

6、.AD是。的直徑，/ ACD=90 ； / ACB+/ BCD=90 .ADXCG, ./AFG=/ G+/BAD=90 ； / BAD=Z BCD,/ ACB=Z G=48 ;(2) AB=AE / ABE=Z AEB,. /ABC=/G+/BCG, / AEB=Z ACB+Z DAC,由(1)得：/G=/ACB,/ BCG=Z DAC,Cd Pb ,.AD 是。的直徑，AD± PC,Cd ?d ,Cd ?b ?d ,Z BAD=2/ DAC, / COF=2Z DAC, / BAD=Z COF;(3)過 O作 OG±AB于 G,設 CF=x1 CF. tanZ CAF=

7、,2 AF.AF=2x,. OC=OA,由(2)得：/COF=/OAG, / OFC玄 AGO=90 ； .,.COFAOAG, ，OG=CF=x AG=OF, 設 OF=a,貝U OA=OC=2x- a,RRCOF 中,CC2=Cf2+OF2, (2x-a) 2=x2+a2,a=3x,43.OF=AG=-x,4-. OA=OB, OG± AB, .AB=2AG=3x,2圓的綜合題，考查了三角形的面積、垂徑定理、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定以及解直角三角形，解題的關鍵是：（1）根據(jù)圓周角定理找出 /ACB+/ BCD=90；（2）根據(jù)外角的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得：Cd Pb Pd

8、； （ 3）利用三角函數(shù)設未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程解決問題.3.如圖，在銳角 4ABC中，AC是最短邊.以 AC為直徑的O 0,交BC于D,過O作0E/ BC,交 0D 于 E,連接 AD、AE、CE(1)求證：/ACE之 DCE;(2)若/B=45, / BAE=15,求/EA0的度數(shù)；S CDF 2，一(3)若 AC=4, - ,求 CF的長.S COE 3【答案】(1)證明見解析，(2) 60。； (3) 迪333【解析】 【分析】(1)易證 /OEG/OCE /OEG/ECD 從而可知 Z OCE=Z ECD,即 / ACE=/DCE;(2)延長AE交BC于點G,易證ZAGC=ZB+

9、ZBAG=60°,由于OE/ BC,所以/AEO=/AGC=60 ；所以 /EAO=/AEO=60 ;(3)易證 SVCOE1 ,由于 SV。"2 ,所以 SV。"=1,由圓周角定理可知SVCAE2SVCOE3SVCAE 3ZAEC=ZFDC=90 ；從而可證明 CDQ4CEA利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】(1) OC=OE,ZOEC=Z OCE1.OE/ BC, ./OEG/ECD/ OCE=/ECD 即 / ACE=/DCE(2)延長AE交BC于點G. / AGC是 ABG 的外角，Z AGC=ZB+Z BAG=60 :1. OE/ BC,/ AE

10、O=Z AGC=60 :. OA=OE,/ EAO=Z AEO=60 :(3) :。是AC中點,SvCOESVCAESVCDFSvCOESVCDF1SvCAE3, AC是直徑，/AEC=/FDC=90 : Z ACE=ZFCD,ACDFACEA0=73 Ca- 3.CFCA=W【點睛】本題考查了圓的綜合問題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，需要學生靈活運用所學知識.4.定義：有一個角是其鄰角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓內(nèi)倍角四邊形.(1)如圖1,四邊形 ABCD內(nèi)接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求證：四邊形 ABCD為圓內(nèi)

11、 接倍角四邊形；(2)在(1)的條件下，。半徑為5. 若AD為直徑，且sinA=,求BC的長；5 若四邊形ABCD中有一個角為60°,且BC=CD則四邊形 ABCD的面積是；(3)在(1)的條件下，記 AB=a, BC=b, CD=g AD=d,求證：d2-b2=ab+cd.Si備用圖備用圖【答案】(1)見解析；(2)BC=6,Z5Y3或75； (3)見解析44【解析】【分析】(1)先判斷出ZADC=180° -2ZA,進而判斷出/ABC=2/A,即可得出結論；(2) 先用銳角三角函數(shù)求出BD,進而得出AB,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出結論；分兩種情況：利用面積

12、和差即可得出結論；(3)先得出 BE=BC=b, DE=DA=b,進而得出 CE=d - c,再判斷出 EBCEDA,即可得出 結論.【詳解】(1)設/A=a,則 /DCB=180°- a. Z DCB- Z ADC=Z A, . . / ADC=/DCB / A=180 - a- a =180-2 a, ./ABC=180 -ZADC=2 a =2 A,二.四邊形ABCD是。內(nèi)接倍角四邊形；(2)連接BD. AD 是。的直徑，Z ABD=90 :在 RtABD 中，AD=2 X 5=10sin/A=：,BD=8,根據(jù)勾股定理得： AB=6,設 / A=a,/ ADB=90°

13、; -若/ ADC=60 °時./ BDC=90° - %Z ADB=Z BDC,BC=AB=6；四邊形ABCD是圓內(nèi)接倍角四邊形，/ BCD=120或/ BAD=30 :I、當 /BCD=120 時，如圖 3,連接 OA, OB, OC, OD.1 , BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60 ；/ CDO=60 ； ，AD 是。O2的直徑，（為了說明 AD是直徑，點O沒有畫在AD上） / ADC+Z BCD=180 : BC/ AD, BC=CD, .1. AB=BC=CD, . .OAB, abccf3Saaob=3X 2= 7

14、5/ .AB=CD. BOC, ACOD是全等的等邊三角形，S四邊形n、當/ BAD=30時，如圖4,連接OA, OB, OC, OD.四邊形 ABCD是圓內(nèi)接四邊形，/ BCD=180 - / BAD=150 :BC=CD,/ BOC=Z COD,/ BCO=Z DCO=- / BCD=75 ；/ BOC=Z DOC=30 ；2，/OBA=45；，/AOB=90：連接 AC, / DAC=1 / BAD=15 ：2 / ADO=Z OAB- / BAD=15 : ：. D DAC=/ADO, . .OD/ AC, . Soad=Saocd.過點C作CHI± OB于H.在 RtZxO

15、CH中，CH=OC= ,二 S四邊形 abcd=Szcod+Sboc+SaobSaaod=Sboc+Saob= - X 5+- X 5X 5=.2 224故答案為：豆或75；44D般4圖4(3)延長DC, AB交于點E.1 ,四邊形 ABCD是。的內(nèi)接四邊形，/BCE=/ A=/ABC.2 Z ABC=Z BCEfZ A,Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c./ 八 /""CE BC d c b _2. /BCE=/A, /E=/E, .-.AEBCAEDA,. ,/. -,，d2-AE AD a b d本題是圓的綜合題，

16、主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，新定義，相似三角形的判定和性 質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.5.如圖，在4ABP中,C是BP邊上一點，/PAO/PBA。是4ABC的外接圓，AD是。的 直徑，且交BP于點E.（1）求證：PA是。的切線；（2）過點C作C。AD,垂足為點F,延長CF交AB于點G,若AG?AB=12,求AC的長.【答案】（1）證明見解析（2） 2 J3【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出 /ACD=90以及利用/PAC=/ PBA得出/ CAD+Z PAC=90進而得出答案；(2)首先得出CA84BAC,進而得出 Ad=AGAB,求出AC即可.試題

17、解析：(1)連接CD,如圖，.AD是。O的直徑,/ ACD=90 ; / CAD+Z D=90 ; / PAG / PBA, / D=Z PBA, / CAD+Z PAC=90 ;即 / PAD=90°, PAX AD, .PA是。O的切線；(2) CF71 AD, / ACF+Z CAF=90 ； Z CAD+Z D=90 ； / ACF=Z D,/ ACF=Z B, 而 / CAG=Z BAC,.ACGAABC, .AC: AB=AG: AC, .AC2=AG?AB=12,AC=2 3 - 6.如圖，已知AB是。O的直徑，點C為圓上一點，點 D在OC的延長線上，連接 DA, 交B

18、C的延長線于點 E,使得/ DAC=Z B.(1)求證：DA是。O切線；(2)求證：ACEDAACD;(3)若 OA=1, sinD=1 ,求 AE的長.3D【答案】（1）證明見解析；（2） 我【解析】分析：（1）由圓周角定理和已知條件求出AD± AB即可證明DA是。O切線;（2）由/DAG/DCE / D=/D 可知DECDCA;（3）由題意可知 AO=1, OD=3, DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到 DC2=DE?AD,故此可求得 DE的長，于是可求得 AE的長.詳解：（1） .AB 為。的直徑，/ACB=90°,ZCABZ B=90°./DA

19、C=/B Z CABZ DAC=90°ADXAB OA是。O半徑，DA為。的切線；（2）OB=OC,ZOCB=Z B. ./DCE=/OCR ，/DCE=/B. ZDAC=ZB, . . / DAC=/DCE(3)在 RtAOD 中，OA=1,i sinD=, 3 ./D=/D,ACEDIA ACD;-OD=-OA-=3, .-.CD=OD- OC=2. sinDAD= Tod2OA=2 V2 -CDDE,DE=CDi=v2,AD ,ADX ACEDAACD, CDAE=AD - DE=2 匹-&=.點睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應用、相似三角形的性

20、質(zhì) 和判定，證得 DESDCA是解題的關鍵.7 .如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧Ab .1用直尺和圓規(guī)作出 Ab所在圓的圓心°；（要求保留作圖痕跡，不寫作法 ）2若Ab的中點C到弦AB的距離為20m, AB 80m ,求AB所在圓的半徑.【答案】(1)見解析；(2) 50m【解析】分析：1連結AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如圖1;2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,根據(jù)垂徑定理的推論，由 C為AB的中點得 1到 OC AB , AD BD -AB 40 ,則 CD 20,設 e O 的半徑為 r,在 RtVOAD 2中利用勾股定理

21、得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.詳解：1如圖1,點O為所求；2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,QC為AB的中點，OC AB ,1AD BD - AB 40 ,2設e O的半徑為r,則OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,r2 (r 20)2 402,解得 r 50,即AB所在圓的半徑是50m.點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用，在利用數(shù)學知識解決實際問題時，要善" 把實際問題與數(shù)學中的理論知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學問題.8 .如圖1,在RtABC中，/ABC=90°, BA=

22、BC,直線MN是過點A的直線CD，MN于點D,連接BD.(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC, AD, BD之間有什么數(shù)量關系.經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1,過點B作B已BD,交MN于點E,進而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究證明將直線MN繞點A順時針旋轉到圖2的位置寫出此時線段 DC, AD, BD之間的數(shù)量關系， 并證明(3)拓展延伸在直線MN繞點A旋轉的過程中，當 ABD面積取得最大值時，若 CD長為1 ,請直接寫【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC, AD, BD之間的數(shù)量關系(2)過點B作BEX BD,交MN于點E. AD交BC于O,證明 CDB0 AEB

23、 ,得到 CD AE , EB BD ,根據(jù) BED為等腰直角三角形，得到 DE J2BD ,再根據(jù)DE AD AE AD CD ,即可解出答案.(3)根據(jù)A、B、C、D四點共圓，得到當點 D在線段AB的垂直平分線上且在 AB的右側 時，4ABD的面積最大.在DA上截取一點 H,使得CD=DH=1,則易證ch ah J2, 由BD AD即可得出答案.【詳解】解：(1)如圖1中,，AE=CD, BE=BD，CD+AD=AD+AE=DE BDE是等腰直角三角形, -DE= 2 BD, . DC+AD= 2 BD,故答案為J2.(2)AD DC V2BD -EBCCBDEBC,ABEE. AD 交

24、BC于 O.ABECBDBAEAOBBCD COD 90 , AOB COD ,BAEBCDABEAB CB ,CDB0AEB,CD AE , EBBD. BD為等腰直角三角形,DE V2bd DE AD AE AD AD DC >/2BD -B、C、D四點共圓，當點 D在線段AB的垂直平分線上且在AB(3)如圖3中，易知A、的右側時，ABD的面積最大.H圖3此時DG，AB, DB=DA,在DA上截取一點 H,使得CD=DH=1,則易證 ch ahBD AD 2 1-【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應用，正確作輔助線 和熟悉圖形特性是解題的關鍵 .9.

25、如圖，AB為。的直徑，DA、DC分別切。于點A, C,且AB=AD.(1)求 tan/AOD 的值.(2) AC, OD交于點E,連結BE.求/ AEB的度數(shù)；連結BD交。于點H,若BC=1 ,求CH的長.【答案】(1) 2; ( 2) /AEB= 135° CH 2【解析】【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)可得 /BAD=90,由題意可得 AD=2A0,即可求tan/AOD的值；(2) 根據(jù)切線長定理可得 AD=CD, 0D平分/ADC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DOXAC, AE=CE根據(jù)圓周角定理可求 /ACB=90°,即可證/ ABC=/ CAD,根據(jù)"AAST證

26、 AB8 4DAE,可得 AE=BC=EC可求/ BEC=45；即可求 /AEB的度數(shù)；由BC=1,可求AE=EC=1 BE J2 ,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求/ ABE=/ HBC,可證AB&4HBC,可求CH的長.【詳解】(1) DA是。0 切線，./BAD=90.1 . AB=AD, AB=2AO, . . AD=2A0, ，tan/AOD 幽 2;AO(2)DA、DC 分別切。O 于點 A, C,AD=CD, OD 平分 / ADC, . DO, AC,AE=CE2 AB 是直徑，/ ACB=90 ,°/ BAC+/ ABC=90，且/ BAC+/ CAD=90 ；

27、，/ABC=/ CAD,且 AB=AD, / ACB=/ AED=90 AB8 DAE (AAS) , . CB=AE3 . CE=CB 且 / ACB=90 ,°/ BEC=45=°Z EBC,. / AEB=135 ,° 如圖，BC=1,且 BC=AE=CE AE=EC=BC=1 . BE AD=AB, / BAD=90 / ABD=45，且/ EBC=45,/ ABE=Z HBC,且 / BAC=Z CHB,1 CH2一 CH .212本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三 角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈

28、活運用相關的性質(zhì)定理、綜合運用知識 是解題的關鍵.10.如圖，已知 AB為。的直徑，AB=8,點C和點D是。O上關于直線 AB對稱的兩個點，連接OC AC,且/BOC< 90。，直線BC和直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點 F,與直線 AD相交于點G,且/ GAF= / GCE(1)求證：直線CG為。的切線；(2)若點H為線段OB上一點，連接 CH,滿足CB= CH,CBIHOBC求OH+HC的最大值【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；5.【解析】分析：(1)由題意可知：/CAB=/ GAF,由圓的性質(zhì)可知：/CAB=/ OCA,所以/OCA=/ GC

29、E，從而可證明直線 CG是。O的切線；(2) 由于CB=CH所以/CBH=/ CHB,易證/ CBH=/ OCB,從而可證明 CBH OBC;BC HBBC2OC BCBC= HB ,所以HB=,由于BC=HC所以BC2OH+HC的最大值.OH+HC=4-1+BC,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出詳解：（1）由題意可知： /CAB=/ GAF,.AB是。的直徑,/ ACB=90 ,.OA=OC,Z CAB=Z OCA, / OCA+Z OCB=90 ； / GAF=Z GCE / GCE吆 OCB=Z OCA+Z OCB=90 ； OC是。的半徑， 直線CG是。的切線；(2)CB=CFi / CBH

30、=/ CHB, .OB=OC,/ CBH=/OCB, .CBHAOBC由CBWOBC可知:BC _ HBOCBC,.AB=8, BC2=HB?OC=4HB，HB二火4，OH=OB-HB=4-應4-.CB=CHBC2 .OH+HC=4+BC,當 / BOC=90 , 此時BC=42 / BOC< 90 ；.0< BCv 472 ，令 BC=x貝U CH=x,2BH= 4441 2 OH HC -x x當x=2時，.OH+HC可取得最大值，最大值為 5點睛：本題考查圓的綜合問題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所知識.11 .

31、如圖，AB為e O的直徑，C、D為e O上異于A、B的兩點，連接CD ,過點C 作CE DB ,交CD的延長線于點 E ,垂足為點E ,直徑AB與CE的延長線相交于點 F .(1)連接 AC、AD,求證： DAC ACF 180.若 ABD 2 BDC.求證：CF是e O的切線.一一一3 ，當BD 6 , tan F 時，求CF的長.420【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；CF 3.3【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理證得 /ADB=90,即AD± BD,由CE! DB證彳導AD/CF,根據(jù)平行線 的性質(zhì)即可證得結論；(2) 連接OC.先根據(jù)等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)得出/

32、3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,則OC/ DB,再由CE1 DB,得到OCCF,根據(jù)切線的判定即可 證明CF為。O的切線； 由 CF/ AD,證出 ZBAD=ZF,得出 tan Z BAD=tanZ F=-BD =-,求出 AD=4 BD=8,利 AD 43OC 3 用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC= 5,再由tanF="=,即可求出CF.CF 4【詳解】解：(1) AB是e O的直徑，且D為e O上一點，ADB 90 ,QCE DB, DEC 90 ,CF /AD ,DAC ACF 180 .(2)如圖，連接OC.Q OA OC ,12.Q 312,3

33、2 1.Q 4 2 BDC , BDC 1,4 2 1,43,OC /DB.QCE DB, OC CF .又QOC為e O的半徑,CF為e O的切線.D由（1）知 CF /AD ,BAD F ,3 tan BAD tanF -, 4BD 3. AD 4Q BD 64AD - BD 8 , 3AB62 8210，OB OC 5.QOC CF ,OCF 90 ,tanFOC CF解得CF203本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要運用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結果.12.如圖，已知 AB是。的直徑，BC是弦，弦 BD

34、平分/ABC交AC于F,弦DELAB于H,交AC于G.求證：AG= GD; 當/ABC滿足什么條件時， 4DFG是等邊三角形？3 -若 AB=10, sin/ABD=，求 BC 的長.5【答案】(1)證明見解析；(2)當/ABC= 60。時，4DFG是等邊三角形.理由見解析； ，一 ，14(3) BC的長為一.5【解析】【分析】(1)首先連接AD,由DE±AB, AB是e O的直徑，根據(jù)垂徑定理，即可得到AD AE ,然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，證得/ADE=/ABD,又由弦BD平分/ABC,可得/DBC=/ABD,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，即可證得AG=GD;(

35、2)當/ABC=60時，4DFG是等邊三角形，根據(jù)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角與三角形的外角的性質(zhì)，易求得 /DGF=/ DFG=60 ,即可證得結論；34(3)利用二角函數(shù)先求出 tan Z ABD 3, cos/ abd=,再求出DF、BF,然后即可求出45BC.【詳解】(1)證明：連接AD,. DEXAB, AB是。的直徑，Ad Ae ,/ ADE= / ABD, .弦BD平分/ ABC,/ DBC= / ABD, / DBC= / DAC,/ ADE= / DAC, .AG=GD;(2)解：當/ABC= 60°時，4DFG是等邊三角形.理由：二,弦BD平分/ ABC,/

36、DBC= ZABD=30 °,.AB是。的直徑，/ ACB= 90 ；/ CAB= 90 - / ABC= 30 ；/ DFG= / FAB吆 DBA= 60 °, .DEXAB,/ DGF= / AGH= 90 - / CAB= 60 °, .DGF是等邊三角形；(3)解：.AB是。的直徑，/ ADB= / ACB= 90 ； / DAC= / DBC= / ABD,3 . AB= 10, sin/ABD=一，5 在 RtMBD 中，AD= AB?sin/ABD= 6, BD= TAbBD=8，AD 3BD 4 tan / ABD= - , cos/ ABD=

37、一,BD4AB 539在 RtA ADF 中，DF= AD?tan / DAF= AD?tan / ABD= 6 X=,4297 BF= BD DF= 8 ，22_ ，_ 7 414.二在 RtBCF中，BC= BF?cos/ DBC= BF?cosZ ABD=- - =.2 55BC的長為： 5【點睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理等 知識.此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是掌握數(shù)形結合思想與轉化思想的應用， 注意輔助線的作法.13 .如圖所示，ABC內(nèi)接于圓O, CD AB于D；(1)如圖1,當AB為直徑，求證： OBC ACD;(2)如圖

38、2,當AB為非直徑的弦，連接 OB,則(1)的結論是否成立？若成立請證明, 不成立說明由；(3)如圖3,在(2)的條件下，作 AEBC于E,交CD于點F,連接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的長度.S3一141)見解析；(2)成立；(3) 一5【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即 可；(2)根據(jù)圓周角定理求出 /BOC=2Z A,求出/OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；CG(3)分別延長 AE、CD交。于H、K,連接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延長交AK于M,延長

39、KO交。O于N,連接CN、AN,求出關于a的方程，再求出 a即可. 【詳解】(1)證明：.AB為直徑,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;(2)成立，證明：連接OC,由圓周角定理得：BOC 2 A ,OC OB ,1 1802 A 90 A ,21“OBC 180 BOC 2ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分別延長 AE、CD交。于H、K,連接 HK、CH、AK,AE BC, CD BA ,AEC ADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFE DFA ,BCD BA

40、H ,根據(jù)圓周角定理得：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形內(nèi)角和定理得：CHE CFE,CH CF,EH EF,同理DF DK ,DE 3,HK 2DE 6 ,在AD上取DG BD ,延長CG交AK于M,則AG AD BD 2DE 6,BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90 ，延長KO交。O于N,連接CN、AN, 則 NAK 90 CMK , CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG ,四邊形CGAN是平行四邊形,AG CN 6,作OT CK于T,則T為CK的中點,.O為KN的中點,八 1 一 . OT CN 3,2OTC 90 , OC由勾股定

41、理得：CT5,4,CK 2CT 8,作直徑HS,連接KGHK 6, HS 10,.由勾股定理得:KS8,HSKtanEAB設BD13CDtan ADBD2ED6,DK11-AD -a 2, 33. CDDK3a1a 2 38,解得:DK135CFCK2DK265145【點睛】本題考查了垂徑定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識 點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵，綜合性比較強，難度偏大.14 .如圖，BD為ABC外接圓。的直徑，且 /BAE=/C.(1)求證：AE與。相切于點A;(2)若 AE/ BC, BC= 2J3, AC= 2,求 AD 的長.E【答案】(1)證明見解析；(2) 273(1)根據(jù)題目中已出現(xiàn)切點可確定用連半徑，證垂直”的方法證明切線，連接 AO并延長交。O于點F,連接BF,則AF為直徑，ZABF= 90。，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，則可得 到/BA巳/F,既而得到 AE與。相切于點A.(2)連接OC,先由平行和已知可得 /ACB=/ABC,所以AC= AB,則/ AOG / AOB, 從而利用垂徑定理可得 AH=1,在RtOBH中，設OB= r,利用勾股定理解得 r=2,在 RtA ABD中，即可求得 AD的長為2 Q .【詳解】解：(1)連接AO并延長交。于點F