漫談數(shù)學(xué)的兩重性

1、漫談數(shù)學(xué)的兩重性張小平（發(fā)表于數(shù)學(xué)通報(bào)的文章，值得一讀。） 摘要：數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明的進(jìn)程中發(fā)揮了巨大的作用，人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展也應(yīng)該是多視角的。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)多個(gè)側(cè)面的考察分析，揭示了數(shù)學(xué)在不同方面都折射出兩重性的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)是演繹的科學(xué)，也是歸納的事實(shí)；數(shù)學(xué)的真理性和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中存在著裂縫；數(shù)學(xué)是工具，也是文化；數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的，也是發(fā)明的；數(shù)學(xué)是抽象的，也是直觀的。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 演繹 歸納 真理 文化 發(fā)現(xiàn) 發(fā)明 抽象 直觀 數(shù)學(xué)在人類(lèi)社會(huì)的歷史演化中發(fā)揮著巨大的作用，數(shù)學(xué)是人類(lèi)思維智慧的結(jié)晶，是人類(lèi)文化和文明的思想瑰寶。數(shù)學(xué)理論的形成過(guò)程，就是人類(lèi)對(duì)科學(xué)真理不斷探索和追求的過(guò)程。巴爾

2、扎克曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們整個(gè)文明大廈將坍塌成碎片。數(shù)學(xué)作為人類(lèi)心靈最崇高和獨(dú)特的作品，永恒矗立在人類(lèi)理性發(fā)展的巔峰之上。 人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展與時(shí)俱進(jìn)。關(guān)于數(shù)學(xué)的定義，最為引人注目的有兩個(gè)，一個(gè)是恩格斯在十九世紀(jì)給出的：數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。一個(gè)是數(shù)學(xué)的當(dāng)代定義：數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和秩序的科學(xué)。前一個(gè)直觀，后一個(gè)抽象，人們對(duì)此見(jiàn)仁見(jiàn)智。我們認(rèn)為，這兩個(gè)定義的觀點(diǎn)是一種繼承關(guān)系，是數(shù)學(xué)發(fā)展歷史積淀的必然結(jié)果。前者反映了數(shù)學(xué)的本源，后者是從數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程和抽象結(jié)構(gòu)方面對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的闡釋?zhuān)从沉藬?shù)學(xué)發(fā)展的當(dāng)代水平。 美國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯朗（CourantR）在數(shù)學(xué)是

3、什么中揭示了數(shù)學(xué)具有兩重性的特點(diǎn)。他寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)作為人類(lèi)思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评砗蛯?duì)完美境界的追求。它的基本要素是邏輯和直覺(jué)、分析和推理、一般性和特殊性。雖然不同的流派各自強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)不同的側(cè)面，然而，正是這些相互對(duì)立的側(cè)面之間相互滲透和相互辨析，才構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命力、實(shí)用性和崇高價(jià)值?！?因此，對(duì)數(shù)學(xué)的兩重性，我們應(yīng)該有一個(gè)深入的了解。 一、數(shù)學(xué)是演繹的，也是歸納的 一般說(shuō)來(lái)，人們認(rèn)識(shí)客觀世界的方式有兩種，一是由認(rèn)識(shí)個(gè)別的、特殊的事物，進(jìn)而認(rèn)識(shí)一般的事物，這種認(rèn)識(shí)方法稱(chēng)為歸納法。一是由認(rèn)識(shí)一般的事物，過(guò)渡到認(rèn)識(shí)特殊、個(gè)別的事物，這種認(rèn)識(shí)方法稱(chēng)為演繹法。認(rèn)識(shí)的深

4、化，是在歸納和演繹的交替過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的。歸納把對(duì)許多事物的特殊屬性的認(rèn)識(shí)發(fā)展為對(duì)于一類(lèi)事物的共同屬性的認(rèn)識(shí)。演繹把從歸納得出的一般結(jié)論作為依據(jù)，去研究其它個(gè)別事物的特性。因此，歸納是演繹的基礎(chǔ)，而演繹是歸納的深化。 美國(guó)的數(shù)學(xué)教育家波利亞（PólyaG）曾精辟地指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué)。另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，卻像是一門(mén)試驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！?美國(guó)數(shù)學(xué)家馮·諾依曼（Von NeumannJ）認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)具有兩個(gè)側(cè)面，就是數(shù)學(xué)理論的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和形式化與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的直觀性、經(jīng)驗(yàn)性和歸納性。 幾何原

5、本是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第一座理論豐碑。歐幾里得(Euclidean)將原有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理提煉，把理論的起點(diǎn)建立在人們的直覺(jué)上，找出少數(shù)最直觀的原始概念和公設(shè)、公理，借助人類(lèi)思維的先進(jìn)邏輯推理模式，逐條推演出以后的命題，采用演繹法的體系建構(gòu)了平面幾何理論，從而確立了公理化思想，確立了演繹推理的范式。人們對(duì)數(shù)學(xué)演繹體系的推崇，表達(dá)了對(duì)科學(xué)理論方法的絕對(duì)信服。數(shù)學(xué)從此步入發(fā)展的坦途。公理體系使得數(shù)學(xué)具有鮮明的學(xué)科特點(diǎn)，清晰的邏輯起點(diǎn)，明確的概念，正確的判斷。是演繹推理使得數(shù)學(xué)內(nèi)容條理清晰，基礎(chǔ)敦實(shí)，結(jié)論正確，因而顯示出巨大的力量。演繹可以引導(dǎo)歸納，當(dāng)演繹推理出現(xiàn)阻礙時(shí)，就是向歸納提出問(wèn)題，促使歸納超

6、越模糊、零散和殘缺。 然而，由邏輯演繹構(gòu)筑起的理論體系制約著思維的自由，因?yàn)轶w系里面多是同語(yǔ)反復(fù)，只能環(huán)流，不能前進(jìn)。這就是歐式幾何理論成為長(zhǎng)期制約非歐幾何產(chǎn)生的藩籬的重要原因。由此看出，邏輯演繹的主要功能不是發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，而是架構(gòu)基本概念、基本運(yùn)算和基本命題之間的必然聯(lián)系。邏輯演繹擅長(zhǎng)的是檢驗(yàn)這些聯(lián)系之間的途徑是否有效，卻難以確定通往正確方向的途徑，因?yàn)榇_定通往正確方向的途徑是需要做出選擇的，而這恰恰是歸納法之所長(zhǎng)。 用公理化思想呈現(xiàn)出的數(shù)學(xué)理論，實(shí)際上也不是邏輯演繹的一統(tǒng)天下，其中的原始概念就是歸納的結(jié)果。甚至邏輯推理本身也不能說(shuō)就完全是演繹的，它的發(fā)展路徑是需要選擇的，這只能靠歸納法來(lái)完

7、成。如果沒(méi)有歸納法的參與，演繹法將寸步難行。另外，數(shù)學(xué)中的公理是不能用演繹法證明的，它是基于數(shù)學(xué)家的觀念歸納出來(lái)的。演繹法所用的形式邏輯也是不能用演繹法證明的，它是基于人類(lèi)思維經(jīng)驗(yàn)的積淀和哲學(xué)信念的選擇。由此看來(lái)，演繹法的過(guò)程須臾也離不開(kāi)歸納，更不要說(shuō)數(shù)學(xué)里的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造了。 費(fèi)爾馬大定理是在1637年由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬(Pierre de Fermat)提出的一個(gè)猜想。在猜想提出以后的三百多年里，一批天才的數(shù)學(xué)家都在研究它，盡管他們都是演繹推理的大師，也認(rèn)識(shí)到要徹底解決這個(gè)難題是需要特殊理論工具的，但是苦于找不到這個(gè)工具，或者這個(gè)工具當(dāng)時(shí)就沒(méi)有誕生，所有嘗試去證明它的努力都付諸東流。英國(guó)數(shù)學(xué)家

8、安德魯·懷爾斯(Andrew J. Wiles)自小就立志要證明費(fèi)爾馬大定理。恰恰是他認(rèn)識(shí)到谷山志村猜想與費(fèi)爾馬大定理之間的聯(lián)系是突破這個(gè)難題的關(guān)鍵，而且選擇了他非常熟悉的有理數(shù)域上的橢圓曲線(xiàn)理論作為工具， 在1994年攻克了這個(gè)數(shù)學(xué)難題。他說(shuō)“那是1986年夏末的一個(gè)傍晚，我正在一個(gè)朋友家中飲茶。談話(huà)間他隨意告訴我，肯·里貝特已經(jīng)揭示了谷山-志村猜想與費(fèi)爾馬大定理之間的聯(lián)系。我感到極大的震動(dòng)。我記得那個(gè)時(shí)刻，那個(gè)改變我生命歷程的時(shí)刻，因?yàn)檫@意味著為了證明費(fèi)爾馬大定理，我必須做的一切就是證明谷山志村猜想?！庇纱丝梢?jiàn)，懷爾斯找到實(shí)現(xiàn)他童年夢(mèng)想的道路首先應(yīng)該取決于歸納法。 我們

9、在完成對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明和計(jì)算之前，往往是通過(guò)歸納推理建立猜想，探究證明的途徑和計(jì)算的程序，形成較為成熟的思路，而后才用演繹法把它呈現(xiàn)出來(lái)。歸納法通過(guò)試驗(yàn)、觀察和聯(lián)想，總能得到有別于邏輯的判斷，因此，歸納法成為人們探索和發(fā)現(xiàn)真理的主要工具。要?jiǎng)?chuàng)造新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，就要有新的觀念，開(kāi)拓新的領(lǐng)域，創(chuàng)立新的方法，提出新的概念。在這些方面，演繹法都是望塵莫及的，試驗(yàn)、類(lèi)比、觀察、推廣、概括、檢驗(yàn)等歸納方法卻起著不可替代的作用。坐標(biāo)系的建立，集合論的發(fā)現(xiàn)，微積分的確立等幾乎所有數(shù)學(xué)里程碑的矗立，無(wú)一不是歸納的結(jié)果。如此看來(lái)，歸納法是數(shù)學(xué)理論的助產(chǎn)士，它不僅不會(huì)影響數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且還增強(qiáng)了人們對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性

10、的信心，使人們對(duì)數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性深信不疑。 歸納是演繹的基礎(chǔ)，演繹是歸納的升華。歸納與演繹是人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界的兩個(gè)基本方法，他們相互影響，相互補(bǔ)充，相得益彰。 例如，在證明恒等式=，可以將的三個(gè)特殊值代入進(jìn)行檢驗(yàn)，如果等號(hào)都成立，就能肯定它是恒等式。這是歸納法。那么為什么只用三個(gè)特殊值就能證明這個(gè)恒等式呢？這就需要用演繹法證明，因?yàn)槎畏匠套疃嘀挥袃蓚€(gè)根。在這個(gè)具體問(wèn)題上，演繹法支持了歸納法，演繹法證明了歸納法的有效性。中國(guó)古代的數(shù)學(xué)不可謂不發(fā)達(dá)，但是卻只是停留在歸納的層次上，沒(méi)有出現(xiàn)像歐幾里德幾何原本那樣嚴(yán)密邏輯演繹的著作。歷史告訴我們，沒(méi)有邏輯演繹是可以有數(shù)學(xué)的，沒(méi)有歸納法就一定不會(huì)有數(shù)學(xué)。但是

11、沒(méi)有邏輯演繹不會(huì)有成熟的數(shù)學(xué)。中國(guó)古代的數(shù)學(xué)沒(méi)有形成理論系統(tǒng)，就是因?yàn)橹袊?guó)沒(méi)有邏輯演繹的傳統(tǒng)。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，應(yīng)該說(shuō)歸納法是居于主導(dǎo)地位的，演繹則居于主體地位，它們共同組成了數(shù)學(xué)騰飛的雙翼。中學(xué)數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，當(dāng)然兼具歸納和演繹的特征，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中既要培養(yǎng)學(xué)生演繹思維的縝密，又要培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、推廣、猜想、實(shí)驗(yàn)等合情推理的思維習(xí)慣，在教證明之前，先教好猜想。在數(shù)學(xué)教材中，對(duì)知識(shí)的呈現(xiàn)形式大多都采用演繹的方式。我們的教師在做教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，大多情況下，都有必要將數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)形式改造成歸納的方式，以利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)教學(xué)的功夫要用

12、在研究歸納法的教學(xué)上，當(dāng)然，這樣做決不能以淡化演繹法的教學(xué)做交換。 二、數(shù)學(xué)的真理性和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的裂縫 數(shù)學(xué)作為一門(mén)邏輯嚴(yán)密的科學(xué)，雖然都認(rèn)為它是數(shù)學(xué)家心智自由的創(chuàng)造物，但是還沒(méi)有任何一位嚴(yán)肅的自然科學(xué)家提出，數(shù)學(xué)的真理性必須經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)后，才能應(yīng)用于其它科學(xué)領(lǐng)域。這不僅僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)植根于客觀世界，深刻揭示了客觀世界的必然規(guī)律，極大地推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步。還因?yàn)閿?shù)學(xué)理論是建立在邏輯的基礎(chǔ)之上，根據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行演繹推理，形成了抽象的形式。邏輯是人類(lèi)公認(rèn)的對(duì)客觀世界進(jìn)行思維的正確方法和理論，數(shù)學(xué)中所反映的抽象結(jié)構(gòu)、秩序和變化，是客觀世界里最基本的概念和最本質(zhì)的關(guān)系。所以，數(shù)學(xué)的本質(zhì)具備了客觀性和

13、真理性。 但是，數(shù)學(xué)自身并沒(méi)有孤芳自賞，數(shù)學(xué)從來(lái)不忌諱自身的瑕疵。二十世紀(jì)初，巍然屹立的數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了裂縫，最著名的就是羅素（Russell）悖論。于是，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始關(guān)注和審視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問(wèn)題。 德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（Cantor）在十九世紀(jì)下半葉創(chuàng)立了集合論，初期曾經(jīng)遭到一些數(shù)學(xué)家的詰難。但是也有一些數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)和康托集合論出發(fā)，可能建立起數(shù)學(xué)理論的大廈。在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊(Jules Henri Poincaré)就宣稱(chēng)：“借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。今天，我們可以說(shuō)絕對(duì)的邏輯嚴(yán)密性已經(jīng)達(dá)到了”。 德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特(Dav

14、id Hilbert）一直堅(jiān)信“人類(lèi)理性提出的問(wèn)題，人類(lèi)的理性一定能夠回答”的理念，他在大會(huì)上提出了二十三個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中第二個(gè)就是關(guān)于確立數(shù)學(xué)體系的協(xié)調(diào)性，即無(wú)矛盾性。然而，僅僅過(guò)了三年，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素就在集合論里發(fā)現(xiàn)了漏洞，提出了羅素悖論。所有集合可以分為兩類(lèi)：第一類(lèi)的集合以其自身為元素，即P=AAA，第二類(lèi)的集合不以自身為元素，Q=AAA。顯然PQ=。那么，集合Q作為元素，應(yīng)該屬于P 呢？還是 屬于Q呢？ 若QP，那么根據(jù)第一類(lèi)集合的定義，必有QQ，引出矛盾。若QQ，根據(jù)第二類(lèi)集合的定義，QQ，還是矛盾。 羅素悖論被通俗地稱(chēng)為理發(fā)師悖論。某個(gè)城市里有一位理發(fā)師，他為且僅為城市里所有不給自

15、己刮臉的人刮臉。那么，他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉。如果他給自己刮臉呢，他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。 羅素悖論所涉及的只是集合論中最基本的概念和關(guān)系，簡(jiǎn)潔明了，卻使集合論產(chǎn)生了悖論，這極大地震動(dòng)了數(shù)學(xué)界。 這時(shí)，希爾伯特經(jīng)過(guò)思考，提出了一個(gè)元數(shù)學(xué)方案，希望能構(gòu)造一個(gè)有關(guān)自然數(shù)的有限公理系統(tǒng)，從若干公理出發(fā)，用邏輯演繹的方法，經(jīng)過(guò)有限步驟將系統(tǒng)形式化，以克服悖論給數(shù)學(xué)帶來(lái)的危機(jī)，一勞永逸地消除對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)推理方法真理性的懷疑。繼而建立起實(shí)數(shù)和分析的協(xié)調(diào)性方案，最后構(gòu)建整個(gè)形式主義的數(shù)學(xué)體系。 這樣就要求，數(shù)學(xué)

16、理論系統(tǒng)要滿(mǎn)足獨(dú)立性，還要滿(mǎn)足完備性和協(xié)調(diào)性。獨(dú)立性是指系統(tǒng)里的公理之間不能互相推出；完備性是指在系統(tǒng)里，一個(gè)命題一定是可以證明或者證偽的；協(xié)調(diào)性是指系統(tǒng)里不能存在矛盾。 希爾伯特的想法鼓舞了奧地利數(shù)學(xué)家哥德?tīng)?(K.Gödel）。哥德?tīng)?1930年獲得博士學(xué)位之后，為了取得在大學(xué)的授課資格，必須要做一個(gè)數(shù)學(xué)研究課題，他就選擇了研究希爾伯特的這個(gè)問(wèn)題。他開(kāi)始完全是沿著希爾伯特制定的方案路線(xiàn)，首先考慮建立自然數(shù)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，然后再建立實(shí)數(shù)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性。然而，歷史卻開(kāi)了一個(gè)玩笑，哥德?tīng)柕玫降慕Y(jié)論完全出乎意外。他在1931年1月發(fā)表了論數(shù)學(xué)原理及有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題（I）一

17、文，向世人宣告了兩個(gè)令人驚奇的定理，一舉粉碎了希爾伯特的美麗構(gòu)想，證明了自然數(shù)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性不能用有限步驟證明。 哥德?tīng)柕谝徊煌陚涠ɡ恚喝魏伟俗匀粩?shù)的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，就是不完備的。 即一個(gè)沒(méi)有矛盾的數(shù)學(xué)系統(tǒng)里面必定存在不可判定真假的命題。數(shù)學(xué)真理原來(lái)并不總是可以證明的。希爾伯特希望建立完備性數(shù)學(xué)系統(tǒng)的愿望落空了。 哥德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ恚喝魏伟俗匀粩?shù)的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，其協(xié)調(diào)性在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。 即一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)里的無(wú)矛盾性不能用它自身的理論來(lái)證明。希爾伯特希望建立協(xié)調(diào)性數(shù)學(xué)系統(tǒng)的愿望也落空了。 這兩個(gè)定理實(shí)際上表明，希爾伯特要構(gòu)建的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)要么是不完備

18、的，要么是不協(xié)調(diào)的。它明白無(wú)誤地向我們昭示了數(shù)學(xué)演繹推理方法的局限性。法國(guó)數(shù)學(xué)家外爾(Hermann Weyl)由此發(fā)出了幽默的感嘆：“上帝是存在的，因?yàn)閿?shù)學(xué)無(wú)疑是協(xié)調(diào)的；魔鬼也是存在的，因?yàn)槲覀儾荒茏C明這種協(xié)調(diào)性?！?數(shù)學(xué)能夠發(fā)現(xiàn)和正視自身的局限性，這恰恰表明了數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展到了非常成熟的階段。不過(guò)，要說(shuō)明的是，不能證明自然數(shù)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，并不是說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)就不是協(xié)調(diào)的，在一個(gè)更大的系統(tǒng)里就能證明它。事實(shí)上，它就被德國(guó)數(shù)學(xué)家根茨（G.Gentaen）在1936年使用蘊(yùn)涵著非演繹邏輯的超限歸納法所證明。只是根茨用以證明自然數(shù)公理系統(tǒng)協(xié)調(diào)性的系統(tǒng)，卻又不能在它自身的系統(tǒng)里得到證明。 建立一個(gè)協(xié)調(diào)

19、性的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，是數(shù)學(xué)家們的美好愿望。策梅洛1904年發(fā)表的論文給出了選擇公理（也稱(chēng)為策梅洛公理），他在1908年建立了第一個(gè)集合論公理系統(tǒng)，給出了外延、空集合、并集合、冪集合、分離、無(wú)窮與選擇等公理，A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗又作了改進(jìn)，增加了替換公理，馮·諾伊曼進(jìn)一步提出了正則公理，后經(jīng)策梅洛的總結(jié)構(gòu)成了著名的集合論公理系統(tǒng)ZF，形成了公理集合論的主要基礎(chǔ)。 1924年，波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫和塔斯基運(yùn)用選擇公理證明了一個(gè)分球怪論：將一個(gè)三維實(shí)心球分成有限部分，然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移重新組合，可以得到兩個(gè)體積和原來(lái)相同的球。 如此違反常識(shí)的數(shù)學(xué)結(jié)論無(wú)疑增加了人們對(duì)選擇公理的排斥。人

20、們希望用ZF系統(tǒng)里的其它公理證明選擇公理是錯(cuò)的，從而把選擇公理排除出去。可是，1940年哥德?tīng)枀s出人意料地證明，ZF系統(tǒng)里的其它公理和選擇公理并不矛盾，是彼此相容的。承認(rèn)選擇公理，就會(huì)出現(xiàn)分球怪論。而不承認(rèn)選擇公理，情況會(huì)更糟糕，平均每年會(huì)出現(xiàn)一個(gè)怪定理，例如連續(xù)函數(shù)會(huì)變得不連續(xù)，一個(gè)空間會(huì)有兩個(gè)維數(shù)，不可測(cè)集變成了可測(cè)集等等。一向被譽(yù)為完美無(wú)缺的數(shù)學(xué)大廈竟存在著如此明顯的矛盾。由此不難知道，人類(lèi)思維之謎僅靠數(shù)學(xué)體系自身的邏輯是無(wú)法自圓其說(shuō)的。 恰恰是數(shù)學(xué)家們指出，數(shù)學(xué)的理論體系并不就是絕對(duì)真理。真理是不懼怕批評(píng)和質(zhì)疑的，任何拒絕批評(píng)和質(zhì)疑的理論都是偽善的。數(shù)學(xué)竟然可以在一片鶯歌燕舞的氛圍里，

21、高舉起自我批判的大旗，審視自身的缺陷，一旦發(fā)現(xiàn)了悖論，并不回避，立刻公布。這該是一種何等寬闊的理論胸襟和高貴的理論品質(zhì)??！由于數(shù)學(xué)自己都在質(zhì)疑自己的邏輯基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，我們就完全沒(méi)有必要拘泥于數(shù)學(xué)教學(xué)形態(tài)的邏輯嚴(yán)密性，尤其是現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)，已經(jīng)淡化了邏輯線(xiàn)索，每個(gè)教學(xué)模塊之間的邏輯聯(lián)系也是疏散的。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，不要刻意渲染數(shù)學(xué)教學(xué)形態(tài)的邏輯嚴(yán)密性，重點(diǎn)要放在體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的教育價(jià)值上，關(guān)注情感態(tài)度價(jià)值觀方面的教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并不取決于數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性。數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦是要體現(xiàn)出讓學(xué)生經(jīng)歷感受、體驗(yàn)和思考的過(guò)程，通過(guò)自己的觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、概括等活動(dòng)，建立起對(duì)數(shù)學(xué)的理解力，

22、經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，從根本上掌握數(shù)學(xué)的計(jì)算和證明方法。 三、數(shù)學(xué)是工具，也是文化 數(shù)學(xué)是科學(xué)的仆人，是打開(kāi)科學(xué)之門(mén)的鑰匙。這是說(shuō)數(shù)學(xué)是一種技術(shù)，是一個(gè)工具。數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)理論的抽象和概括，形成了獨(dú)特的思想方法，在對(duì)人類(lèi)生產(chǎn)生活實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)等方面進(jìn)行定性描述和定量刻畫(huà)中，數(shù)學(xué)技術(shù)顯示出了巨大的威力，有著最為廣泛的用途。普及數(shù)學(xué)知識(shí)，利用和發(fā)展數(shù)學(xué)技術(shù)，成為當(dāng)今世界各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)主題。 早在1959年5月，數(shù)學(xué)大師華羅庚在大哉數(shù)學(xué)之為用的文章中就精辟地提到數(shù)學(xué)的各種應(yīng)用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁等各個(gè)方面，無(wú)處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)。

23、宇宙空間存在許多有趣的問(wèn)題，天文科學(xué)家利用數(shù)學(xué)模擬研究太陽(yáng)和其它恒星的消亡過(guò)程。數(shù)學(xué)模型已經(jīng)證實(shí)，太陽(yáng)系在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)是穩(wěn)定的，至少在10億年內(nèi)不會(huì)消亡。太陽(yáng)消亡的結(jié)果，是演化成一顆白矮星。當(dāng)代最偉大的物理學(xué)家霍金(Stephen Hawking)用數(shù)學(xué)研究宇宙的黑洞現(xiàn)象，也取得了舉世矚目的成就。海王星是距太陽(yáng)系最遠(yuǎn)的行星之一，它是在數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的。1845年，英國(guó)數(shù)學(xué)家亞當(dāng)斯經(jīng)過(guò)計(jì)算，分析了天王星運(yùn)動(dòng)軌道沒(méi)有按照數(shù)學(xué)規(guī)律分布，進(jìn)而推斷這是由于其它行星的引力而產(chǎn)生的。他把這個(gè)結(jié)果通報(bào)給了英國(guó)皇家天文臺(tái)。天文臺(tái)卻將其束之高閣。 1846年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒威耶也計(jì)算出了同樣結(jié)果，而且比較

24、精確地計(jì)算出了這顆行星的位置。德國(guó)天文臺(tái)的伽勒博士按照他的計(jì)算結(jié)果，很快就找到了這顆新的行星海王星。數(shù)學(xué)在軍事方面大有用武之地，第一次世界大戰(zhàn)被稱(chēng)為化學(xué)戰(zhàn)（彈藥），第二次世界大戰(zhàn)被稱(chēng)為物理戰(zhàn)（原子彈），而海灣戰(zhàn)爭(zhēng)被稱(chēng)為數(shù)學(xué)戰(zhàn)。 1990年海灣戰(zhàn)爭(zhēng)中，伊拉克軍隊(duì)點(diǎn)燃了科威特的數(shù)百口油井。這早在美軍的預(yù)料之中，戰(zhàn)爭(zhēng)之前就讓美國(guó)的太平洋-賽拉研究咨詢(xún)公司利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。他們?yōu)榇私⒘四M煙霧流體的數(shù)學(xué)模型，利用NS方程計(jì)算后得出結(jié)論：油氣燃燒的煙霧將導(dǎo)致重大的污染，但是，還不至于對(duì)地球的生態(tài)和中東的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)造成損失。這就促成了美軍下定了用武力打擊伊拉克的決心。在研制核武器過(guò)程中，美國(guó)

25、研制MZ導(dǎo)彈的發(fā)射試驗(yàn)從原來(lái)的36次減少為25次，可靠性卻從72提高到93。我國(guó)研制原子彈，試驗(yàn)次數(shù)僅為西方的110，從原子彈到氫彈只用了兩年零八個(gè)月，重要原因之一就是有許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家參加了工作。諾貝爾獎(jiǎng)是不設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的，但是，在諾貝爾獎(jiǎng)獲得者中有許多是數(shù)學(xué)家。發(fā)明X射線(xiàn)計(jì)算機(jī)層析攝影儀（簡(jiǎn)稱(chēng)CT）是二十世紀(jì)醫(yī)學(xué)界的奇跡。美國(guó)數(shù)學(xué)家科馬克（AMCormark）利用數(shù)學(xué)中的拉東積分變換解決了計(jì)算機(jī)斷層掃描的核心理論問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了人體不同組織對(duì)X射線(xiàn)吸收量的數(shù)學(xué)公式。英國(guó)的希斯菲爾德（CNHounsfield）根據(jù)這個(gè)原理制作出了第一臺(tái)CT機(jī)。他們共同獲得了1979年諾貝爾醫(yī)學(xué)和生理學(xué)獎(jiǎng)。豪普特曼（H

26、Hauptman）也是一位美國(guó)數(shù)學(xué)家，他和卡爾勒（JKarle）在從事X 射線(xiàn)晶體學(xué)中的相角問(wèn)題和矩陣?yán)碚摰难芯恐?，用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)方法分析晶體的衍射數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)大量的計(jì)算，推導(dǎo)出了衍射線(xiàn)相角的關(guān)系式，直接從衍射強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)中得到各衍射線(xiàn)相角的信息，建立了利用X 射線(xiàn)衍射測(cè)定晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論和直接方法，一舉解決了困惑了化學(xué)家 四十多年的難題。他們共同獲得了1985年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。康脫洛維奇（Leonid Vitaliyevich Kantorovich）是前蘇聯(lián)的著名數(shù)學(xué)家，他以線(xiàn)性規(guī)劃理論研究生產(chǎn)中的資源最優(yōu)配置問(wèn)題。怎樣利用有限的資源取得最大的效益，它可以抽象為一個(gè)約束極值問(wèn)題?？得撀寰S奇發(fā)現(xiàn)可

27、以用Lagrange乘子法來(lái)處理，從而提出了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)學(xué)概念。他獲得了1971年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。納什(John Forbes Nash)是美國(guó)普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家，他在對(duì)“非合作博弈均衡分析和博弈論”的研究中，用數(shù)學(xué)方法區(qū)分了合作對(duì)策和非合作對(duì)策，提出了非合作對(duì)策的所謂“納什均衡”的概念，極大地改變了整個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)的面貌。他獲得了1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1959年美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家德布洛發(fā)表價(jià)格理論，對(duì)一般經(jīng)濟(jì)均衡理論給出了嚴(yán)格的公理化表述，使公理化方法成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本方法。一般經(jīng)濟(jì)均衡價(jià)格的存在問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)學(xué)界長(zhǎng)期關(guān)注但懸而未決的問(wèn)題。直到1954年，德布洛和另一位美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅才第一次

28、利用凸集理論、不動(dòng)點(diǎn)定理等給出了一般經(jīng)濟(jì)均衡的嚴(yán)格表述和存在性證明。阿羅和德布洛先后獲得1972年和1983年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。有些數(shù)學(xué)家也有輕視數(shù)學(xué)工具性的傾向。哈代（ GHHardy）是英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他推崇純粹的數(shù)學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)是永恒的藝術(shù)，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的工具性不屑一顧。他尤其認(rèn)為數(shù)論和非歐幾何的理論毫無(wú)實(shí)際用處。但是，哈代生前親眼看到了質(zhì)能方程在原子彈爆炸中的應(yīng)用，看到了用數(shù)論理論編制的密碼控制著導(dǎo)彈的飛行。1908年，他發(fā)表的一篇論文，就解決了群體遺傳學(xué)中的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。20世紀(jì)初，有些生物學(xué)家認(rèn)為，在一個(gè)大的隨機(jī)交配的群體中，某種遺傳病在遺傳過(guò)程中，會(huì)使患者越來(lái)越多。哈代利

29、用概率理論，證明了在無(wú)突變、無(wú)選擇、無(wú)遷移、無(wú)遺傳漂變的情況下，患者的分布是平穩(wěn)的，不會(huì)隨時(shí)間的變化而變化。差不多同時(shí)，一位德國(guó)醫(yī)生溫伯格（W. Weinberg）也得到了同樣的結(jié)論。后來(lái)被稱(chēng)為哈代溫伯格平衡定律。數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇冠，這是說(shuō)數(shù)學(xué)是一種文化。數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的技術(shù)層面和應(yīng)用方面的功能，那只是華麗的表象，數(shù)學(xué)理論的深度更多的是體現(xiàn)在文化和人文的維度上。唯有文化才能將數(shù)學(xué)與生命緊密聯(lián)系。數(shù)學(xué)文化傳達(dá)的是一種人文關(guān)懷，數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)的是一種人類(lèi)的理性精神，敢于質(zhì)疑批判和善于探索求真。數(shù)學(xué)是人類(lèi)智慧的創(chuàng)造活動(dòng)，它對(duì)人的行為觀念、精神心靈和價(jià)值觀念都具有重大的影響，數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過(guò)程中所積淀的數(shù)學(xué)思維

30、方式、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)理性品格，都成為人類(lèi)文明發(fā)展史上優(yōu)秀的文化遺產(chǎn)。數(shù)學(xué)的文化價(jià)值豐富多彩，數(shù)學(xué)對(duì)于客觀事物的研究，是通過(guò)構(gòu)建獨(dú)立的模式，因而它有重要的思維訓(xùn)練功能，對(duì)于創(chuàng)造性思維的發(fā)展尤具重要意義。歐拉說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是思維的體操， 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)能夠啟迪人的智慧，發(fā)展人的思維。其他學(xué)科在培養(yǎng)思維的深度、廣度和系統(tǒng)性等方面都是不能與數(shù)學(xué)相提并論的。數(shù)學(xué)是理性精神的圣地，數(shù)學(xué)思維高揚(yáng)人類(lèi)理性精神的旗幟，引領(lǐng)科學(xué)歷史發(fā)展的方向。古希臘數(shù)學(xué)家開(kāi)人類(lèi)理性之先河，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不再僅僅是現(xiàn)世生活的需要，而更重要的是為了陶冶情操、追求真理和訓(xùn)練心智。他們從數(shù)學(xué)研究中提煉出概括和簡(jiǎn)化的自然科學(xué)原則，創(chuàng)立了科學(xué)

31、思維的方式。柏拉圖堅(jiān)持讓他的學(xué)生們研究幾何學(xué)，并不是為了發(fā)掘幾何學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，而是要發(fā)展人們的抽象思維能力，用于對(duì)人生和政治問(wèn)題的哲學(xué)思考，從而奠定了西方哲學(xué)的理論基礎(chǔ)。畢達(dá)哥拉斯研究數(shù)學(xué)的理念是世界是數(shù)組成的，亞里士多德直接將數(shù)學(xué)應(yīng)用于研究具體事物的真實(shí)性上，從而奠定了物質(zhì)科學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)具有明確的向善價(jià)值取向，在學(xué)習(xí)探究數(shù)學(xué)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)醇厚的文化內(nèi)涵可以?xún)艋说男撵`，讓人執(zhí)著追求真理，理性堅(jiān)韌如山，務(wù)實(shí)學(xué)習(xí)知識(shí)，謙虛嚴(yán)謹(jǐn)似水。質(zhì)疑與反思，創(chuàng)新與開(kāi)拓，完善著人的高貴氣質(zhì)和品格。阿基米德面對(duì)侵略者的屠刀，研究數(shù)學(xué)面不改色心不跳。鮑耶面對(duì)數(shù)學(xué)權(quán)威的嘲笑和不屑，堅(jiān)持自己創(chuàng)立的非歐幾何理論不動(dòng)

32、搖。數(shù)學(xué)既然兼有工具性和文化性的特征，在教學(xué)中我們就要將它們統(tǒng)一起來(lái)。如果數(shù)學(xué)課堂離開(kāi)了數(shù)學(xué)文化的潤(rùn)澤，離開(kāi)了數(shù)學(xué)精神的指引，呈現(xiàn)在學(xué)生面前的數(shù)學(xué)知識(shí)一定是沉寂的，毫無(wú)生氣的。所以，課堂教學(xué)中必須全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)斑斕的色彩和靈動(dòng)的韻味，既要注重讓學(xué)生進(jìn)行形式訓(xùn)練，掌握知識(shí)和發(fā)展能力，熟練地模仿和練習(xí)，又要在數(shù)學(xué)課堂上傳播數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生去欣賞和領(lǐng)略數(shù)學(xué)撼人心魄的雄姿，讓學(xué)生喜歡上美麗的數(shù)字、奇異的符號(hào)、簡(jiǎn)潔的公式和純凈的定理，感受數(shù)學(xué)豐富的方法、深邃的思想和智慧的理性光芒。 四、數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的，也是發(fā)明的 所謂發(fā)現(xiàn)是指人們揭示出了客觀事物原來(lái)就存在的規(guī)律。所謂發(fā)明是指人們創(chuàng)造出了客觀上原來(lái)不存在的事

33、物。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，理性得去揭示蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)規(guī)律可以稱(chēng)之為發(fā)現(xiàn)。獨(dú)辟蹊徑地去創(chuàng)造一種數(shù)學(xué)模式可以稱(chēng)之為發(fā)明。我們自然要考慮這樣一個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)中的概念、命題、公式、計(jì)算法則和證明方法以及各種數(shù)學(xué)理論體系，是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的? 這個(gè)問(wèn)題并不容易回答的。宇宙上即使沒(méi)有出現(xiàn)人類(lèi)，世界上仍然存在著數(shù)學(xué)，勾股定理和費(fèi)馬大定理仍然成立，只是沒(méi)有外顯的表達(dá)形式而已。數(shù)學(xué)的存在是不以人的意識(shí)為轉(zhuǎn)移的，數(shù)學(xué)好像只能被發(fā)現(xiàn)。另一方面，如果沒(méi)有人類(lèi)的思維活動(dòng)，世界上就不會(huì)有現(xiàn)在這樣的數(shù)學(xué)形態(tài)。尤其是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些前沿學(xué)科，并不是建立在對(duì)客觀世界的直接概括和抽象上，比如，非歐幾何和群論，都是先提出一些最基本的概念和公理，

34、然后用邏輯演繹的方法推導(dǎo)出理論體系。假如公理增減一條或者更改一條，理論體系就會(huì)面目全非。這樣看來(lái)，數(shù)學(xué)又好像是被發(fā)明的。還有一種現(xiàn)象，原來(lái)發(fā)明的數(shù)學(xué)形式，最后卻變成了發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)形式，比如，黎曼幾何原屬于非歐幾何的一個(gè)分支，后來(lái)被愛(ài)因斯坦用于廣義相對(duì)論的研究，黎曼幾何立刻就有了對(duì)應(yīng)的客觀模型，原來(lái)現(xiàn)代物理規(guī)律里就蘊(yùn)藏著這個(gè)數(shù)學(xué)理論。實(shí)際上，數(shù)學(xué)既可以來(lái)自于對(duì)客觀世界的概括和抽象，也可以來(lái)自于人類(lèi)思維的心智創(chuàng)造。 從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)是與時(shí)俱進(jìn)的。數(shù)學(xué)源于分配物品、丈量土地和計(jì)算面積、容積等生產(chǎn)生活實(shí)踐，這個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)研究的對(duì)象自然被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)的。實(shí)際上，在 19世紀(jì)

35、以前，人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)凸顯的是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的特征，數(shù)學(xué)與客觀世界之間的聯(lián)系千絲萬(wàn)縷。19世紀(jì)中葉以后，隨著非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)向抽象、多元和高維發(fā)展，數(shù)學(xué)與客觀世界之間的聯(lián)系漸行漸遠(yuǎn)，顯露出了演繹科學(xué)的特征。尤其是法國(guó)布爾巴基學(xué)派將其發(fā)揮到了登峰造極的地步。1939年，他們?cè)诜▏?guó)巴黎出版了一套數(shù)學(xué)原理，這是一部關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)博大精深的著作。這部著作將數(shù)學(xué)看成是關(guān)于結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都是建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)三種母結(jié)構(gòu)之上的，不借助于任何直觀，從集合論出發(fā)，行文邏輯嚴(yán)密，為數(shù)學(xué)建構(gòu)起了清新的公理化的體系。這時(shí)，演繹推理的數(shù)學(xué)占據(jù)了數(shù)學(xué)研究的制高點(diǎn)，人們對(duì)數(shù)

36、學(xué)的認(rèn)識(shí)更加深入，它研究的是量的關(guān)系和抽象的結(jié)構(gòu)，是關(guān)于模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)是發(fā)明的觀點(diǎn)露出了端倪，出現(xiàn)在了燈火闌珊處。數(shù)學(xué)被認(rèn)為是人類(lèi)思維的自由創(chuàng)造物。 這樣看來(lái)，數(shù)學(xué)的初期被認(rèn)為是直接反映了客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，是被發(fā)現(xiàn)的。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes）認(rèn)為，數(shù)學(xué)關(guān)系的客觀存在與人類(lèi)能否解釋它們無(wú)關(guān)。柏拉圖主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象都是客觀存在的，數(shù)學(xué)家提出的概念不是創(chuàng)造，只是對(duì)客觀存在的描述。而現(xiàn)代數(shù)學(xué)則被認(rèn)為是人類(lèi)純思維的產(chǎn)物，是被發(fā)明的。當(dāng)代數(shù)學(xué)直覺(jué)主義學(xué)派就特別強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是人類(lèi)主觀創(chuàng)造的。他們的領(lǐng)袖克羅內(nèi)克（Kronecker）認(rèn)為，除了自然數(shù)是上帝創(chuàng)造出來(lái)的

37、之外，數(shù)學(xué)中的一切都是人類(lèi)心靈的創(chuàng)造物。 其實(shí)，數(shù)學(xué)作為一個(gè)統(tǒng)一體，初期的數(shù)學(xué)和當(dāng)代的數(shù)學(xué)只有層次上的不同，作為反映關(guān)系結(jié)構(gòu)的模式是沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別的。圓周率和對(duì)數(shù)肯定是被發(fā)現(xiàn)的，但是，發(fā)現(xiàn)圓周率和對(duì)數(shù)的過(guò)程不能不說(shuō)是一個(gè)發(fā)明的過(guò)程。 實(shí)際上，數(shù)學(xué)作為人類(lèi)誕生以來(lái)經(jīng)驗(yàn)的積累，它的不同分支的理論都是從具有實(shí)際背景中經(jīng)過(guò)抽象而形成的。純心智的產(chǎn)物也具有形式上的客觀性，數(shù)學(xué)理論的主要特征是創(chuàng)造性思維的產(chǎn)物，理論體系一旦形成，不僅是形式上的一種客觀存在，在內(nèi)容上的客觀性也是不容否認(rèn)的。在數(shù)學(xué)創(chuàng)立過(guò)程中，發(fā)明與發(fā)現(xiàn)是水乳交融，不分彼此的。數(shù)學(xué)理論的闡釋和形式化過(guò)程，偏重于發(fā)明。揭示數(shù)學(xué)理論蘊(yùn)涵的客觀性及其關(guān)

38、系，則偏重于發(fā)現(xiàn)。 微積分是由牛頓（Newton）和萊布尼茲（Leihniz）共同創(chuàng)立的。微積分的基本原理是客觀存在的一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，不會(huì)是任何一位數(shù)學(xué)家精巧的有意設(shè)計(jì)。因此，可以說(shuō)是他們發(fā)現(xiàn)了微積分。但是牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的方式又是不同的，他們分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)的瞬時(shí)速度和曲線(xiàn)的斜率引入了微積分。在創(chuàng)立過(guò)程中，他們還引進(jìn)了不同的運(yùn)算符號(hào)和語(yǔ)言體系，這明顯又帶有發(fā)明的意味。是不是也可以這樣說(shuō)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律是人們的一種發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的表達(dá)方式是人們的一種發(fā)明。 發(fā)現(xiàn)的過(guò)程是發(fā)明，發(fā)明的結(jié)果是發(fā)現(xiàn)。 數(shù)學(xué)教學(xué)是對(duì)每個(gè)學(xué)生個(gè)體的教學(xué)，要讓每個(gè)個(gè)體在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，有意啟發(fā)他們重復(fù)人類(lèi)創(chuàng)立數(shù)學(xué)理論的過(guò)程

39、，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)體系的途徑不外乎發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，不要偏廢。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，老師只憑灌輸不是好辦法，要讓他們有一個(gè)親身體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。更為重要的是讓學(xué)生去發(fā)明數(shù)學(xué)，對(duì)每個(gè)模塊的教學(xué)，能否嘗試讓學(xué)生去架構(gòu)這個(gè)局部的數(shù)學(xué)體系，包括研究從何入手，研究怎樣深入，用什么樣的語(yǔ)言表達(dá)等等，都可以讓學(xué)生去體驗(yàn)一下。 五、數(shù)學(xué)是抽象的，也是直觀的 數(shù)學(xué)源自于客觀世界，當(dāng)它確定了原始概念和公理，就按照邏輯的法則去推理和演繹。理論體系形成后，它蛻蛹化蝶，不露一絲客觀世界的痕跡，因此，數(shù)學(xué)成為運(yùn)用邏輯演繹方式探究客觀規(guī)律的唯一學(xué)科，形式化使得數(shù)學(xué)凸顯出抽象性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)也因此成為研究一般抽象模式的理論。 數(shù)學(xué)是研究事物的量

40、和形的科學(xué)。事物如果具有相同的量和形，就可以用數(shù)學(xué)方法將其抽象成同一個(gè)模式去研究。數(shù)學(xué)概念正是從眾多事物的共同屬性中抽象出來(lái)的，因而數(shù)學(xué)必然是抽象的。隨著數(shù)學(xué)概念的不斷擴(kuò)充和產(chǎn)生，還要繼續(xù)對(duì)這些數(shù)學(xué)對(duì)象繼續(xù)進(jìn)行簡(jiǎn)化、整理和概括，進(jìn)一步地進(jìn)行抽象。數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程，就是遠(yuǎn)離紛繁粗糙的客觀世界和具體經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。抽象往往使人們意想不到數(shù)學(xué)的客觀情景，更難讓人去體驗(yàn)或者感知數(shù)學(xué)的理論結(jié)構(gòu)。 另一方面，數(shù)學(xué)既然源自于客觀世界，最初的基本概念還是比較直觀的。隨著這些概念的進(jìn)一步抽象，與客觀世界的關(guān)系可能不再清晰，但是，也不可能不顯露出直觀的特質(zhì)。數(shù)學(xué)的直觀就是概念和證明過(guò)程未經(jīng)充分地概括和邏輯推理就外顯的數(shù)學(xué)本質(zhì)。既然數(shù)學(xué)直觀必然趨向于抽象，那么數(shù)學(xué)抽象中就一定蘊(yùn)涵著直觀。直觀是抽象的基礎(chǔ)，抽象是直觀的升華。數(shù)學(xué)一定是直觀和抽象的統(tǒng)一體。 非歐幾何的理論全然是按照幾何原本的邏輯結(jié)構(gòu)建立的，它的抽象性大大超出人們的想象，呈現(xiàn)出的“直觀”又完全是對(duì)歐式空間直觀的顛覆，這在當(dāng)時(shí)可以說(shuō)是一種另類(lèi)的抽象。為此，非歐幾何的創(chuàng)立者們經(jīng)歷了煉獄般的煎熬。高斯懼怕倘若發(fā)表論文，一世英名將毀于一