2021屆高三數(shù)學(xué)之函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(文理通用)專題06切比雪夫函數(shù)

1、專題06切比雪夫函數(shù)-考情分析縱觀近幾年的高考真題，出現(xiàn)了一類題目?？此剖且坏烙嘘P(guān)二次函數(shù)的題目；二次函數(shù)的定 義域和值域相同。大多數(shù)學(xué)生或老師，第一眼看過(guò)去，以為是定軸動(dòng)區(qū)間或定區(qū)間動(dòng)軸的問(wèn) 題，然后就進(jìn)入討論的誤區(qū)。深入討論，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，計(jì)算復(fù):雜，討論紛擾。最后就是不了了 之。然后，再次審視題目，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們陷入誤區(qū)。切比雪夫函數(shù)或切比雪夫不等式，在此 時(shí)的應(yīng)用，就可以讓我們秒解這類題目。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，就是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，秒殺數(shù) 學(xué)。二.經(jīng)驗(yàn)分享L切比雪夫不等式馬爾科夫不等式：P(Xa)0)；切比雪夫不等式是馬爾科夫不等式的特殊情況：P(|X-kb) (其中0,4是期望，b是標(biāo)準(zhǔn)差).

2、2.切比雪夫函數(shù)與切比雪夫不等式的意義馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)定 理。主要意思：小情的大多會(huì)集中在平:均值附近或者事情的發(fā)生大多在平:均值上的概率最大。 也就說(shuō)，馬爾科夫不等式或者切比雪夫不等式只是對(duì)概率的一個(gè)估計(jì)，既然是估計(jì)，就有可 能正確，也有可能不正確。但是按照這兩個(gè)不等式來(lái)看，在概率學(xué)的角度上。發(fā)生的概率是 最大。但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初等函數(shù)，用這個(gè)兩個(gè)不等式解題，就會(huì)有出奇制勝，秒殺的快感。三、題型分析()切比雪夫函數(shù)的巧解例 1.己知函數(shù)若時(shí)，|/(x)歸 1,則;4 + 6 的最大值是.【傳統(tǒng)解法】解析：先找必要條件|/(-l)H

3、-| + l|+6 + l|l=-k+l|+6i(r+l)+60=ia + &- 22222取= -L 令4 = 0,5 =f(K)=f +-|x| -36-11易知/(力為偶函數(shù)在0內(nèi)增,驗(yàn)證1/(0)區(qū)LI/(D|W1=M切W1滿足題意?！厩斜妊┓虿坏仁浇夥ā俊窘馕觥扛鶕?jù)切比雪夫不等式：/(l)=/+1-。|+及786/?),若e-Ll時(shí)，|/(x)| 0) , xe-1,1時(shí)，|/(x)歸1恒成立，則 |)=【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式:若xe時(shí)，|到41恒成立，也就是對(duì)稱軸應(yīng)該是X = 0 ：工=上=0，解之得：m=2, f(x) = 2x?+，故此|/(l)|=|

4、2 + n區(qū) 1 恒成立：-2m故此麓=一1,所以/(x) = 2x?l1_9(-)其他類型函數(shù)的 例2. 2019年高考浙江】已知。R,函數(shù)/(x) = o？-x,若存在fwR,使得2 |/(f + 2)-/(0|-則實(shí)數(shù)。的最大值是4【答案】-322【解析】存在f R，使得|/(f+ 2) /(f)區(qū) ,即有| (f + 2)3 (f + 2)+f區(qū) , 化為|2(3產(chǎn)+6/ + 4)-2區(qū);,可得一;K2Q(3 + 6f + 4)2：, 即,產(chǎn)+ 6f + 4)g,由3 + 6f + 4 = 3(f + l + l2 1,可得0ag.4 則實(shí)數(shù)的最大值是.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的解析式

5、及二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式可得2|n(r+2)3-(r+2)-ar3 + r|-,去絕對(duì)值化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)可求解.【變式訓(xùn)練1】【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試(B卷)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)x +1./(1) = ,X 0 g(x) = x2_x_2,設(shè)6為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)。，使得g(b)+/(a) = 2成立，則b的取值范圍為A. -1,2B.3 7 252C.3 72,2D.-r4【答案】A【解析】因?yàn)?(1) = 0所以當(dāng)xNO時(shí)，f(x) = 2單調(diào)遞增，故f(x) = 2加之2；當(dāng) X(T)+ (一J 之2,當(dāng)且僅當(dāng)一4 = 一1,即工二一1時(shí)，取等號(hào)， X

6、綜上可得，/E 2,+8)一又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)力使得9(b)+a)=2成立，所以只需訓(xùn)2 磯附，即g(b)=/匕2 o,解得一1 b2.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的值域,將存在實(shí)數(shù)即使得ffW +/(a) = 2成立，轉(zhuǎn)化為g(b) 0；22 22121構(gòu)造函數(shù) H(x) = ln(),(x 0), / (x) = xf - - in (x 0) 222 22)故當(dāng)工0,2五卜/(x) = x1-ln |0, 3) = 3-311吟)是單調(diào)遞增; 當(dāng)工2后,40), ” (x) = x(g-ln) 0)的最大值”(2 JZ) = e ：從而得到ab的最大值為e四.遷移應(yīng)用，/ 、 f

7、log,(l-x),x0/(-c. (-,+oo)D. (4,”)【答案】A【解析】函數(shù)/(工)=1082(/一3X一4),則 x? - 3工一4 0=*(x-4)(x + l) 0=x4或14或工一1,由y = log?x是單調(diào)遞增函數(shù)，可知函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間即y = V -3x4的單調(diào)減區(qū)間，)+/(1023)=A. 9B. 11C. 13D. 15【答案】B【解析】,函數(shù) /(力=吃(3)+ f (log, 3)= log2 4+”3 =2+9=11.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考杳分段函數(shù)、函數(shù)值的求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.2.【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2019屆高三第二

8、次模擬數(shù)學(xué)】函數(shù)/(工)=108式丁-31-4)的單調(diào)減區(qū)間為3A. (-,-1)B. (-O0,-)3當(dāng)時(shí)，函數(shù)y = / 3%一4單調(diào)遞減，結(jié)合“X)的定義域，可得函數(shù)/(力=1唯(/一31一4)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,1).故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要注意的是必須在定義域的前提下，去找單調(diào) 區(qū)間.3.【山東省煙臺(tái)市2019屆高三3月診斷性測(cè)試(一模)數(shù)學(xué)】若函數(shù)/(X)是定義在R上 的奇函數(shù)，/0)= 1，當(dāng)X0時(shí)，/W = log2(-x) + w,則實(shí)數(shù)陽(yáng)=A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(；) = 1，且x /

9、(4),而選項(xiàng)c在Xo時(shí)是遞增的，故排除c.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性和取特值判斷函數(shù)的圖象是 解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5 .【四川省百校2019屆高三模擬沖刺卷】若函數(shù)y = /(x)的大致圖象如圖所示，則/(x) 的解析式可以是A. = e +eex + e-xc. =B. /=- e ee* _ eD.=【答案】C【解析】當(dāng)XT。時(shí)，f (x) Tioo,而A中的0,排除A； 當(dāng) xVO 時(shí)，/(x) 0,0,排除 B, D,選項(xiàng) D 中，f(x)=e e故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)值的符號(hào)，考查數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)值的 取值范

10、圍可快速解決這類問(wèn)題.6.【北京市朝陽(yáng)區(qū)2019屆高三第二次(5月)綜合練習(xí)(二模)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)/(1) = ，若函數(shù)/(X)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是-x, xaA. (-oo,0)B. (-oo, 1)C. (l,4-oo)D.(0,+s)【答案】D2* x a【解析】函數(shù)/() = ，Xa的圖象如圖：-x,xa-I3 4 5公函數(shù)/(X)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0, -KX).故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力.7.【山東省煙臺(tái)市2019屆高三5月適應(yīng)性練習(xí)(二)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)丁 = /。)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為偶函數(shù)，且對(duì)

11、/周居41,滿足J- ”0.若/(3) = 1,則不等式 X2X1/(log2 X)V1的解集為A. 8)B. (1,8)C. O,；)U(8,”)D. (f4)U(8,K)【答案】Af(x )_ f(x 【解析】因?yàn)閷?duì)l時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)?(3) = 1,所以有/(-1)= 1,當(dāng)logxKl,即當(dāng)0vx2時(shí)，/(log?x)/(log2x)log2x-l=xi,.；l,即當(dāng)x2時(shí)，/(log2 x) f (log2 x) log2 jvx8,/.2x8,綜上所述：不等式/(1。氏工) 0)，則 y = f(x)是。上的增函數(shù)；X2-Xl若(7(公) 一 %) (9 8) 0(/區(qū))

12、-/0的解集是22A. (- 2)2 222C. , )D. (-O0,-)U(-, + oo)【答案】D 【解析】因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x)的圖象關(guān)于直線x = 2對(duì)稱，因此，由0) = 0得*4) = 0,又f(X)在(F，2上單調(diào)遞減，則/(X)在2,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)23x22即xKO時(shí)，由23勸0得”2_3冷/(4),所以23%4,解得X -y:當(dāng)23x0時(shí)，由/(2 3勸0得f(2 3x)/(0),所以23x - 9322因此，/(2-3刈0的解集是(_8, ：)U(, + 8).故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式的求解，先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得

13、到函 數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而分類討論求解不等式.9.【山東省德州市2019屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)】已知定義在R上的函數(shù)/(X)在區(qū)間0,+8) 上單調(diào)遞增，且y = x-l)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，若實(shí)數(shù)滿足log24)v/(2),則 。的取值范圍是A.B.D. （4,-Kx）【答案】C 【解析】根據(jù)題意，y = f(xl)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又由函數(shù)“X)在區(qū)間0,+8)上單調(diào)遞增，可得 /(| log26f |)/(2),則 I log?” | 2,即一2log,a2,解得4即的取值范用為(,4).故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查

14、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)不等式的解法.10.【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試(B卷)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)一+1 x 0g(b) + f(a) = 2成立，則6的取值范圍為A.B. -37f 3 /22(2【答案】AX2 4-1_Z X，X 0所以當(dāng)xNO時(shí)，f(x) = 2單調(diào)遞增，故/(力=26之2；當(dāng)x2 ,當(dāng)且僅當(dāng)一4 = -1,即x = 1時(shí)，取等號(hào)， X綜上可得，f(x)e 2,+00).又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)Q,使得g(b) +/(a)=2成立，所以只需9(b)工2 - f(a)mjn,即9(b)=從一5一 2二0,解得一1 b2.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的

15、值域，將存在實(shí)數(shù)q,使得9g)+/切=2成立，轉(zhuǎn)1JlogJ2x+l)化為9(b) 0log1 (2x+l) 0，解得一 Lx0.2則f(x)的定義域?yàn)?一,0).【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.12.【湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬卷(一)數(shù)學(xué)】若函數(shù)稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)，b,使得對(duì)定義域的任意x值，均有/(冷+ /(2。一#=26,已X知/W =為準(zhǔn)奇函數(shù)“，則a-rb=.X-1【答案】2 【解析】由/(勸+/(2。一口=26知”準(zhǔn)奇函數(shù)叮關(guān)于點(diǎn)Q6)對(duì)稱.X1因?yàn)?(勸= =1+關(guān)于(L1)對(duì)稱，所以。=1，b = l， x-1x-l則a+b=2

16、.故答案為2.【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.13.【廣東省深圳市深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三第二學(xué)期第一次熱身考試數(shù)學(xué)】函數(shù)/(x) =4+ log、生竺為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.X 1-X【答案】1【解析】.函數(shù)/(X)= L + Iog?生絲為奇函數(shù)，.J(T)= f(x)，即 f (-x)+/(x) = 0,nil 1 . 1-ax 1 .1 + ajc _ nnl(1 + ax 1-arA則+ log,+ + log,= 0 ,即 log J=0 ,x 1 + x x- 1-x 1-x 1 + x)1 + ax 1-ax l-a2x2 . mi

17、.,.,1-X1+X1-X-a2 = 1,則。= 1.11 Y當(dāng) 4 = -1 時(shí)，/(X)= - + 10g2p,則f(x)的定義域?yàn)椋翰凡贰?且XW1，此時(shí)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；11 + X當(dāng) a=i 時(shí)，y(x)=-+iog,-,滿足題意，X - 1-X.a -1 -【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)解析式，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解 決本題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提，造成求解錯(cuò)誤.14.【河南省濮陽(yáng)市2019屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)】已知直線/與曲線y = x5-x + l有三個(gè)不同的交點(diǎn)4(士,弘)，B(x2,y2), c(x3,y3),且|A8|=|AC|,則(4 + 乂)=1=1【答案】3【解析】由題意，函數(shù)y = 是奇函數(shù)，則函數(shù)y = d x的圖象關(guān)于原點(diǎn)