高考數(shù)學(xué)平面向量

1、高三一輪復(fù)習(xí)講座五 -平面向量主講教師：王思儉 （蘇州中學(xué)）二、復(fù)習(xí)要求1、 向量的概念； 2、向量的線性運(yùn)算：即向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義，運(yùn)算律；3、向量運(yùn)算的運(yùn)用三、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡捷。向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義共線；定比分點(diǎn)基本圖形起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。2、 向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)

2、量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語言符號(hào)語言坐標(biāo)語言加法與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積·=|cos<,>記=(x1,y1), =(x2,y2)則·=x1x2+y1y23、 運(yùn)算律加法：+=+，(+)+=+(+)實(shí)數(shù)與向量的乘積：(+)=+；(+)=+，()=() 兩個(gè)向量的數(shù)量積：·

3、=·；()·=·()=(·)，(+)·=·+·說明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算，例如(±)2=4、 重要定理、公式 （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)1，2，滿足=1+2，稱1+2為，的線性組合。根據(jù)平面向量基本定理，任一向量與有序數(shù)對(duì)(1,2)一一對(duì)應(yīng)，稱(1,2)為在基底，下的坐標(biāo)，當(dāng)取，為單位正交基底，時(shí)定義(1，2)為向量的平面直角坐標(biāo)。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的

4、關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)（2）兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語言：若，則=坐標(biāo)語言為：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實(shí)數(shù)是唯一存在的，當(dāng)與同向時(shí)，>0；當(dāng)與異向時(shí)，<0。|=，的大小由及的大小確定。因此，當(dāng)，確定時(shí)，的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。 （3）兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語言：·=0坐標(biāo)語

5、言：設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0（4）線段定比分點(diǎn)公式如圖，設(shè)則定比分點(diǎn)向量式：定比分點(diǎn)坐標(biāo)式：設(shè)P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）則特例：當(dāng)=1時(shí)，就得到中點(diǎn)公式：，實(shí)際上，對(duì)于起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線三個(gè)向量，（O與P1P2不共線），總有=u+v，u+v=1，即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量，且系數(shù)和為1。 （5）平移公式： 點(diǎn)平移公式，如果點(diǎn)P（x，y）按=（h，k）平移至P（x，y），則分別稱（x，y），（x，y）為舊、新坐標(biāo)，為平移法則在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中，已知兩組坐標(biāo)，一定可以求第三組坐標(biāo)圖形平移：設(shè)曲線

6、C：y=f(x)按=（h，k）平移，則平移后曲線C對(duì)應(yīng)的解析式為y-k=f(x-h)當(dāng)h，k中有一個(gè)為零時(shí)，就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式，從而便于研究曲線的幾何性質(zhì) （6）正弦定理，余弦定理正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosAb2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosc定理變形：cosA=，cosB=，cosC=正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本，理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角

7、坐標(biāo)系的引入，體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點(diǎn)。四、典型例題例1、如圖，為單位向量，與夾角為1200，與的夾角為450，|=5，用，表示。分析：以，為鄰邊，為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形把向量在，方向上進(jìn)行分解，如圖，設(shè)=，=，>0，>0則=+ |=|=1=|，=| OEC中，E=600，OCE=750，由得：說明：用若干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量，是向量中的基本而又重要的問題，通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。分析：用解方程組思想設(shè)D（x，y），則=（x-2，y+1）=（-6，-3），

8、·=0 -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0=(x-3，y-2)，-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0由得： D（1，1），=（-1，2）例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標(biāo)。 分析：用解方程組思想法一：設(shè)=（x，y），則·=x-y，·=x+y<，>=<，>即又|=x2+y2=2 由得 或（舍）=法二：從分析形的特征著手 |=|=2·=0AOB為等腰直角三角形，如圖 |=，AOC=BOC C為AB中點(diǎn) C（）說明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化

9、計(jì)算。例4、在OAB的邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記= ，=，用 ，表示向量。分析： B、P、M共線 記=s同理，記=,不共線 由得解之得：說明：從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進(jìn)而引入?yún)?shù)（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s，t的方程。例5、已知長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點(diǎn)，P為AB上一點(diǎn)（1） 利用向量知識(shí)判定點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PED=450；（2） 若PED=450，求證：P、D、C、E四點(diǎn)共圓。分析：利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置如圖，建立平面直角坐標(biāo)系則C（2，0），

10、D（2，3），E（1，0）設(shè)P（0，y）=（1，3），=（-1，y）·=3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2 點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處（3） 當(dāng)PED=450時(shí)，由（1）知P（0，2）=（2，1），=（-1，2）·=0DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四點(diǎn)共圓說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果；得到結(jié)論。同步練習(xí)（一） 選擇題1、 平面內(nèi)三點(diǎn)A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若，則x的值為：A、 -5 B、-1 C、1 D、5 2、平面上A（-2，1），B（

11、1，4），D（4，-3），C點(diǎn)滿足，連DC并延長至E，使|=|，則點(diǎn)E坐標(biāo)為：A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）2、 點(diǎn)（2，-1）沿向量平移到（-2，1），則點(diǎn)（-2，1）沿平移到：3、 A、（2，-1） B、（-2，1） C、（6，-3） D、（-6，3）4、 ABC中，2cosB·sinC=sinA，則此三角形是：A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等邊三角形 D、以上均有可能5、 設(shè)， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：(·)-(·)=0|-|<|-|(·)-(·)不與垂直(3+2)

12、3;(3-2)=9|2-4|2中，真命題是：A、 B、 C、 D、6、ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，則C度數(shù)是：A、600 B、450或1350 C、1200 D、3007、OAB中，=，=，=，若=，tR，則點(diǎn)P在A、AOB平分線所在直線上 B、線段AB中垂線上C、AB邊所在直線上 D、AB邊的中線上8、正方形PQRS對(duì)角線交點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部，且=（0，3），=（4，0），則=A、（） B、（） C、（7，4） D、（）（二） 填空題 9、已知，|是平面上一個(gè)基底，若=+，=-2-，若，共線，則=_。10、已知|=，|=1，·=-9，則與的夾角是_。11、設(shè)，是兩個(gè)單位向量，它們夾角為600，則(2-)·(-3+2)=_。12、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移，得到函數(shù)_的圖象。（三） 解答題13、設(shè)=（3，1），=（-1，2），試求滿足+=的的坐標(biāo)，其中O