高中數(shù)學(xué)競賽講義完美數(shù)學(xué)高考指導(dǎo)二

1、高中數(shù)學(xué)競賽講義+完美數(shù)學(xué)高考指導(dǎo)(二)高中數(shù)學(xué)競賽講義（十）直線與圓的方程一、基礎(chǔ)知識1解析幾何的研究對象是曲線與方程。解析法的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的集合與一個(gè)方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如x2+y2=1是以原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。2求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)寫出滿足條件的點(diǎn)的集合；(3)用坐標(biāo)表示條件，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應(yīng)點(diǎn)都在曲線上，且曲線上對應(yīng)點(diǎn)都滿足方程（實(shí)際應(yīng)用常省略這一步）。3

2、直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與x軸正方向所成的小于1800的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于x軸的直線的傾斜角為00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點(diǎn)及斜率可求直線方程。4直線方程的幾種形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）兩點(diǎn)式：；（6）法線式方程：xcos+ysin=p（其中為法線傾斜角，|p|為原點(diǎn)到直線的距離）；（7）參數(shù)式：（其中為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點(diǎn)P0（x0, y0）到動點(diǎn)P（x, y）的有向線段的數(shù)量（線段的長度前添加正負(fù)號，若P0P方向

3、向上則取正，否則取負(fù)）。5到角與夾角：若直線l1, l2的斜率分別為k1, k2，將l1繞它們的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫l(wèi)1到l2的角；l1與l2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為，夾角為，則tan=,tan=.6平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1, k2。且兩者不重合，則l1/l2的充要條件是k1=k2；l1l2的充要條件是k1k2=-1。7兩點(diǎn)P1(x1, y1)與P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=。8點(diǎn)P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0的距離公式：。9直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1=

4、0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1, l2交點(diǎn)的直線方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0；由l1與l2組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0().10二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線l方程為Ax+By+C=0. 若B0，則Ax+By+C0表示的區(qū)域?yàn)閘上方的部分，Ax+By+C0)。其圓心為，半徑為。若點(diǎn)P(x0, y0)為圓上一點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線方程為 14根軸：到兩圓的切線長相等的點(diǎn)的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個(gè)不同的圓：x2+y2+Dix+

5、Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不難證明這三條直線交于一點(diǎn)或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。二、方法與例題1坐標(biāo)系的選?。航⒆鴺?biāo)系應(yīng)講究簡單、對稱，以便使方程容易化簡。例1 在ABC中，AB=AC，A=900，過A引中線BD的垂線與BC交于點(diǎn)E，求證：ADB=CDE。證明 見圖10-1，以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)B，C坐標(biāo)分別為（0,2a）,(2a,0)，則點(diǎn)

6、D坐標(biāo)為（a, 0）。直線BD方程為，直線BC方程為x+y=2a，設(shè)直線BD和AE的斜率分別為k1, k2，則k1=-2。因?yàn)锽DAE，所以k1k2=-1.所以，所以直線AE方程為，由解得點(diǎn)E坐標(biāo)為。所以直線DE斜率為因?yàn)閗1+k3=0.所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。例2 半徑等于某個(gè)正三角形高的圓在這個(gè)三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為600。證明 以A為原點(diǎn)，平行于正三角形ABC的邊BC的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系見圖10-2，設(shè)D的半徑等于BC邊上的高，并且在B能上能下滾動到某位置時(shí)與AB，AC的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，設(shè)半徑為r，則直線AB

7、，AC的方程分別為,.設(shè)D的方程為(x-m)2+y2=r2.設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則，分別代入并消去y得所以x1, x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的兩根。由韋達(dá)定理，所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.所以|EF|=r。所以EDF=600。2到角公式的使用。例3 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1，C2，正PQR三頂點(diǎn)在此雙曲線上，求證：P，Q，R不可能在雙曲線的同一支上。證明 假設(shè)P，Q，R在同一支上，不妨設(shè)在右側(cè)一支C1上，并設(shè)P，Q，R三點(diǎn)

8、的坐標(biāo)分別為且0x1x2-1，在（1）區(qū)域里，求函數(shù)f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。解 （1）由已知得或解得點(diǎn)(x, y)所在的平面區(qū)域如圖10-4所示，其中各直線方程如圖所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直線l: y-ax=k在y軸上的截距，直線l與陰影相交，因?yàn)閍-1，所以它過頂點(diǎn)C時(shí)，f(x, y)最大，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，7），于是f(x, y)的最大值為3a+7. 如果-12，則l通過B（3，1）時(shí)，f(x, y)取最小值為-3a+1.6參數(shù)方程的應(yīng)用。例7 如圖10-5所示，過原點(diǎn)引直線交圓x2+(y-

9、1)2=1于Q點(diǎn)，在該直線上取P點(diǎn)，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求P點(diǎn)的軌跡方程。解 設(shè)直線OP的參數(shù)方程為（t參數(shù)）。代入已知圓的方程得t2-t?2sin=0.所以t=0或t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化簡得t=2或t=-2或sin=-1.當(dāng)t=2時(shí)，軌跡方程為x2+y2=4；當(dāng)sin=1時(shí)，軌跡方程為x=0.7與圓有關(guān)的問題。例8 點(diǎn)A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過C作l的垂線，M是這條垂線上的動點(diǎn)，以A為圓心，AB為半徑作圓，MT1與MT

10、2是這個(gè)圓的切線，確定AT1T2垂心 的軌跡。解 見圖10-6，以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立坐標(biāo)系，H為OM與圓的交點(diǎn)，N為T1T2與OM的交點(diǎn)，記BC=1。以A為圓心的圓方程為x2+y2=16，連結(jié)OT1，OT2。因?yàn)镺T2MT2，T1HMT2，所以O(shè)T2/HT1，同理OT1/HT2，又OT1=OT2，所以O(shè)T1HT2是菱形。所以2ON=OH。又因?yàn)镺MT1T2，OT1MT1，所以O(shè)N?OM。設(shè)點(diǎn)H坐標(biāo)為（x,y）。點(diǎn)M坐標(biāo)為(5, b)，則點(diǎn)N坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入=ON?OM，再由得在AB上取點(diǎn)K，使AK=AB，所求軌跡是以K為圓心，AK為半徑的圓。例9 已知圓x2+y2=1和直線y=2x

11、+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是和，見圖10-7，求證：sin(+)是定值。證明 過D作ODAB于D。則直線OD的傾斜角為，因?yàn)镺DAB，所以2?,所以。所以例10 已知O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是O的弦，試確定|OD|的最大值、最小值。解 以單位圓的圓心為原點(diǎn)，AB的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(cos,sin),B(cos,-sin)，由題設(shè)|AD|=|AB|=2sin，這里不妨設(shè)A在x軸上方，則(0,).由對稱性可設(shè)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)（否則將整個(gè)圖形關(guān)于y軸作對稱即可），從而點(diǎn)D坐標(biāo)為(cos+2sin,sin)，所以|OD|=因?yàn)?，?/p>

12、以當(dāng)時(shí)，|OD|max=+1；當(dāng)時(shí)，|OD|min=例11 當(dāng)m變化且m0時(shí)，求證：圓(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。證明 由消去m得a-2b+1=0.故這些圓的圓心在直線x-2y+1=0上。設(shè)公切線方程為y=kx+b，則由相切有2|m|=，對一切m0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0對一切m0成立所以即當(dāng)k不存在時(shí)直線為x=1。所以公切線方程y=和x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知兩點(diǎn)A(-3,4)和B(3,2)，過點(diǎn)P(2,-1)的直線與線段AB有公共點(diǎn)，則該直線的傾斜角的取值范圍是_.

13、2已知0,，則的取值范圍是_.3三條直線2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0圍成一個(gè)三角形，當(dāng)點(diǎn)P(x, y)在此三角形邊上或內(nèi)部運(yùn)動時(shí)，2x+y的取值范圍是_.4若三條直線4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能圍成三角形，則m的范圍是_.5若R。直線(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點(diǎn)P(-2,2)的距離為d，比較大?。篸_.6一圓經(jīng)過A(4,2), B(-1,3)兩點(diǎn)，且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距的和為14，則此圓的方程為_.7自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，則光線l所在的

14、方程為_.8D2=4F且E0是圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切的_條件.9方程|x|-1=表示的曲線是_.10已知點(diǎn)M到點(diǎn)A（1，0），B（a,2）及到y(tǒng)軸的距離都相等，若這樣的點(diǎn)M恰好有一個(gè)，則a可能值的個(gè)數(shù)為_.11已知函數(shù)S=x+y，變量x, y滿足條件y2-2x0和2x+y2，試求S的最大值和最小值。12A，B是x軸正半軸上兩點(diǎn)，OA=a，OB=b(a0,N=(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a0.MN，a的最大值與最小值的和是_.6圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，OPOQ，則m=_.7已知對于圓x2+(y-1)2=1上

15、任意一點(diǎn)P(x,y)，使x+y+m0恒成立，m范圍是_.8當(dāng)a為不等于1的任何實(shí)數(shù)時(shí)，圓x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均與直線l相切，則直線l的方程為_.9在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差數(shù)列，那么直線xsin2A+ysinA=a與直線xsin2B+ysinC=c的位置關(guān)系是_.10設(shè)A=(x,y)|0x2,0y2,B=(x,y)|x10,y2,yx-4是坐標(biāo)平面xOy上的點(diǎn)集，C=所圍成圖形的面積是_.11求圓C1：x2+y2+2x+6y+9=0與圓C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切線方程。12設(shè)

16、集合L=直線l與直線y=2x相交，且以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為斜率。（1）點(diǎn)(-2,2)到L中的哪條直線的距離最??？（2）設(shè)aR+，點(diǎn)P(-2, a)到L中的直線的距離的最小值設(shè)為dmin，求dmin的表達(dá)式。13已知圓C：x2+y2-6x-8y=0和x軸交于原點(diǎn)O和定點(diǎn)A，點(diǎn)B是動點(diǎn)，且OBA=900，OB交C于M，AB交C于N。求MN的中點(diǎn)P的軌跡。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1在直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)。若a為無理數(shù)，過點(diǎn)(a,0)的所有直線中，每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)的直線有_條。2等腰ABC的底邊BC在直線x+y=0上，頂點(diǎn)A(2,3)，如果它的一腰平行于直線x-4y+2=0

17、，則另一腰AC所在的直線方程為_.3若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示條互相垂直的直線，則m=_.4直線x+7y-5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長之差的絕對值是_.5直線y=kx-1與曲線y=有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_.6經(jīng)過點(diǎn)A(0,5)且與直線x-2y=0, 2x+y=0都相切的圓方程為_.7在直角坐標(biāo)平面上，同時(shí)滿足條件：y3x, yx, x+y100的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是_.8平面上的整點(diǎn)到直線的距離中的最小值是_.9y=lg(10-mx2)的定義域?yàn)镽，直線y=xsin(arctanm)+10的傾斜角為_.10已知f(x)=x2-6

18、x+5，滿足的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成圖形的面積為_.11已知在ABC邊上作勻速運(yùn)動的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，在t=0時(shí)分別從A，B，C出發(fā)，各以一定速度向B，C，A前進(jìn)，當(dāng)時(shí)刻t=1時(shí)，分別到達(dá)B，C，A。（1）證明：運(yùn)動過程中DEF的重心不變；（2）當(dāng)DEF面積取得最小值時(shí)，其值是ABC面積的多少倍？12已知矩形ABCD，點(diǎn)C(4,4)，點(diǎn)A在圓O：x2+y2=9(x0,y0)上移動，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸。求矩形ABCD面積的最小值，以及取得最小值時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)。13已知直線l: y=x+b和圓C：x2+y2+2y=0相交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線l上，且滿足|PA|?|PB|=2,當(dāng)b

19、變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)點(diǎn)P(x,y)為曲線|5x+y|+|5x-y|=20上任意一點(diǎn)，求x2-xy+y2的最大值、最小值。2給定矩形（長為b，寬為a），矩形（長為c、寬為d），其中adc|F1F2|=2c).第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡（其中定點(diǎn)不在定直線上），即(0eb0)，參數(shù)方程為（為參數(shù)）。若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為 (ab0)。3橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a, 0), (0, b)

20、, (c, 0)；與左焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x, y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5幾個(gè)常用結(jié)論：1）過橢圓上一點(diǎn)P(x0, y0)的切線方程為；2）斜率為k的切線方程為；3）過焦點(diǎn)F2(c, 0)傾斜角為的弦的長為。6雙曲線的定義，第一定義：滿足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的點(diǎn)P的軌跡；第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點(diǎn)的軌跡。7雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)

21、在x軸上的雙曲線方程為，參數(shù)方程為（為參數(shù)）。焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。8雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(a, b0),a稱半實(shí)軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0), F2(c, 0)，對應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。9雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）, F2(c, 0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|

22、PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 過焦點(diǎn)的傾斜角為的弦長是。10拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0)，離心率e=1.11拋物線常用結(jié)論：若P(x0, y0)為拋物線上任一點(diǎn)，1）焦半徑|PF|=；2）過點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0)；3）過焦點(diǎn)傾斜角

23、為的弦長為。12極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，記|OP|=,xOP=，則由（，）唯一確定點(diǎn)P的位置，（，）稱為極坐標(biāo)。13圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P，若0e1，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。二、方法與例題1與定義有關(guān)的問題。例1 已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解 見圖11-1，由題設(shè)a=5, b=4, c=3,.橢圓左準(zhǔn)線的方

24、程為，又因?yàn)椋渣c(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，0），過P作PQ垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又xb0）.F坐標(biāo)為(-c, 0).設(shè)另一焦點(diǎn)為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以點(diǎn)P的軌跡是以F，O為兩焦點(diǎn)的橢圓（因?yàn)閍|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點(diǎn)的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為解法二 相

25、關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y), A(x1, y1)，則，即x1=2x+c, y1=2y. 又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。例4 長為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求此動圓圓心P的軌跡。解 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 記O為原點(diǎn)，由圓冪定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐標(biāo)表示為，即當(dāng)a=b時(shí)，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；當(dāng)ab時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線；當(dāng)a0, b

26、0)的右焦點(diǎn)F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點(diǎn)，B2與左焦點(diǎn)F1連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)B1B交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。證明 設(shè)點(diǎn)B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asec,btan), (x0, 0), (c, 0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(-c, 0), (c, ), (c, )，因?yàn)镕1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點(diǎn)，所以 所以。由得代入上式得即（定值）。注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。例7 設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC/x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點(diǎn)。證明 設(shè)，則，焦點(diǎn)為，所以，

27、。由于，所以?y2-y1=0，即=0。因?yàn)?，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。例8 橢圓上有兩點(diǎn)A，B，滿足OAOB，O為原點(diǎn)，求證：為定值。證明 設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由A，B在橢圓上有即+得（定值）。4最值問題。例9 設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個(gè)動點(diǎn)，且OAOB（O為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最小值。解 由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=,因?yàn)?，且a2b2，所以，所以br1a，同理br2a.所以

28、。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時(shí)，|AB|取最小值1；當(dāng)或時(shí)，|AB|取最大值。例10 設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為，試求這個(gè)橢圓的方程。解 設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因?yàn)閨AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時(shí)，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為因?yàn)椋凰钥稍O(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,t，橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcos,tsin)，則|BC|2=(2tcos)2+=3t

29、2sin2-3tsin+4t2=-3(tsin+)2+3+4t2.若，則當(dāng)sin=-1時(shí)，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。若t,則當(dāng)sin=時(shí)，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以橢圓方程為。5直線與二次曲線。例11 若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。解 拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)為(0,-1)，對稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對稱兩點(diǎn)的條件是存在一對點(diǎn)P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以x1+y10,所以1

30、=a(x1-y1)，即x1=y1+所以此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求。例12 若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長最大時(shí)，求b的值。解 二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由0，得b0)，則動點(diǎn)的軌跡是_.3橢圓上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離是10，它到右焦點(diǎn)的距離是_.4雙曲線方程，則k的取值范圍是_.5橢圓，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點(diǎn)P滿足F1PF2=600，則F1PF2的面積是_.6直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點(diǎn)A（3，-1）平分，則l的方程為_.7ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上，點(diǎn)A（2，8），且ABC的重心與這條拋物線

31、的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率為_.8已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為_.9已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如果過這兩個(gè)交點(diǎn)的直線的傾斜角為450，那么a=_.10.P為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點(diǎn)，的取值范圍是_.11已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個(gè)焦點(diǎn)，求F1PF2和PF1F2的面積。12已知（i）半圓的直徑AB長為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，設(shè)|AT|=2a(2a1)的一個(gè)頂點(diǎn)C（0，1）為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直

32、角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_個(gè).11求橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角的正弦的最大值。12設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點(diǎn)和中心，對于過點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB，點(diǎn)O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。13已知雙曲線C1：(a0)，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C2的焦點(diǎn)是C1的左焦點(diǎn)F1。（1）求證：C1，C2總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。（2）問：是否存在過C2的焦點(diǎn)F1的弦AB，使AOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SAOB的最值，若不存在，說明理由。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則m的

33、取值范圍是_.2設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且PQ為過F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，OPQ面積為_.3給定橢圓，如果存在過左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ，則離心率e的取值范圍是_.4設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的動點(diǎn)，過F1作F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則M的軌跡為_.5ABC一邊的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，）和C（0，），另兩邊斜率的乘積為，若點(diǎn)T坐標(biāo)為(t,0)(tR+),則|AT|的最小值為_.6長為l(l1)的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y=x2上滑動，則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于_.7已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A(a,

34、b),B(-a,0),ab0,b22pa，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M1，M2，當(dāng)M變動時(shí)，直線M1M2恒過一個(gè)定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為_.8已知點(diǎn)P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,bR+,則a+b的最小值為_.9已知橢圓的內(nèi)接ABC的邊AB，AC分別過左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為D，E，直線DB與直線CE交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上變動時(shí)，試求點(diǎn)P的軌跡。10設(shè)曲線C1：（a為正常數(shù)）與C2：y2=2(x+m)在x軸上方有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；（2）O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交

35、于點(diǎn)A，當(dāng)0a時(shí)，試求OAP面積的最大值（用a表示）。11已知直線l過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于l的對稱點(diǎn)都在C上，求直線l和拋物線的方程。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G，求證：GAC=EAC。2求證：在坐標(biāo)平面上不存在一條具有奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)，每段長都為1的閉折線，它的每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都是有理數(shù)。3以B0和B1為焦點(diǎn)的橢圓與AB0B1的邊ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延長線上任取點(diǎn)P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧交C1B0的延長線于Q0

36、；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧Q0P1交B1A的延長線于P1；B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧P1Q1交B1C0的延長線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧Q1，交AB0的延長線于。求證：（1）點(diǎn)與點(diǎn)P0重合，且圓弧P0Q0與P0Q1相內(nèi)切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圓。4在坐標(biāo)平面內(nèi)，從原點(diǎn)出發(fā)以同一初速度v0和不同發(fā)射角（即發(fā)射方向與x軸正向之間 的夾角）(0,)射出的質(zhì)點(diǎn)，在重力的作用下運(yùn)動軌跡是拋物線，所有這些拋物線組成一個(gè)拋物線族，若兩條拋物線在同一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱這個(gè)交點(diǎn)為正交點(diǎn)。證明：此拋物線族的所有正交點(diǎn)的集合是一段橢圓弧，并求此橢圓弧的方程（

37、確定變量取值范圍）。5直角ABC斜邊為AB，內(nèi)切圓切BC，CA，AB分別于D，E，F(xiàn)點(diǎn)，AD交內(nèi)切圓于P點(diǎn)。若CPBP，求證：PD=AE+AP。6已知BCCD，點(diǎn)A為BD中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一點(diǎn)R，使BR=2RQ，CQ上找一點(diǎn)S，使QS=RQ，求證：ASB=2DRC。高中數(shù)學(xué)競賽講義（十二）立體幾何一、基礎(chǔ)知識公理1 一條直線。上如果有兩個(gè)不同的點(diǎn)在平面。內(nèi)則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，記作：aa公理2 兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線，即若P，則存在唯一的直線m，使得=m,且Pm。公理3 過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。即不共線的三點(diǎn)

38、確定一個(gè)平面推論l 直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面推論2 兩條相交直線確定一個(gè)平面推論3 兩條平行直線確定一個(gè)平面公理4 在空間內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行定義1 異面直線及成角：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線過空間任意一點(diǎn)分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，不超過900的角叫做兩條異面直線成角與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長度叫做兩條異面直線之間的距離定義2 直線與平面的位置關(guān)系有兩種；直線在平面內(nèi)和直線在平面外直線與平面相交和直線與平面平行(直線與平面沒有公共點(diǎn)叫做直線與平面平行)統(tǒng)稱直線在平面外定義3 直線

39、與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，則直線與這個(gè)平面垂直定理1 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直定理2 兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行定理3 若兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也和這個(gè)平面垂直定理4 平面外一點(diǎn)到平面的垂線段的長度叫做點(diǎn)到平面的距離，若一條直線與平面平行，則直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等，這個(gè)距離叫做直線與平面的距離定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線由斜線上每一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫這個(gè)點(diǎn)在平面上的射影所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所

40、成的角結(jié)論1 斜線與平面成角是斜線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角定理4 (三垂線定理)若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內(nèi)的射影，c為平面a內(nèi)的一條直線，若cb，則ca逆定理：若ca，則cb定理5 直線d是平面a外一條直線，若它與平面內(nèi)一條直線b平行，則它與平面a平行定理6 若直線。與平面平行，平面經(jīng)過直線a且與平面a交于直線6，則a/b結(jié)論2 若直線。與平面和平面都平行，且平面與平面相交于b，則a/b定理7 (等角定理)如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個(gè)角相等定義6 平面與平面的位置關(guān)系有兩種：平行或相交沒有公共點(diǎn)即平行，否則即相交定理8 平面a內(nèi)有兩條相交直線a

41、，b都與平面平行，則/. 定理9 平面與平面平行，平面=a，=b，則a/b定義7 (二面角)，經(jīng)過同一條直線m的兩個(gè)半平面,(包括直線m，稱為二面角的棱)所組成的圖形叫二面角，記作m，也可記為Am一B，AB等過棱上任意一點(diǎn)P在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線AP，BP，則APB(900)叫做二面角的平面角它的取值范圍是0，特別地，若APB900，則稱為直二面角，此時(shí)平面與平面的位置關(guān)系稱為垂直，即.定理10 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直定理11 如果兩個(gè)平面垂直，過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線在第一個(gè)平面內(nèi)定理12 如果兩個(gè)平面垂直，過第一個(gè)子面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線與另

42、一個(gè)平面垂直定義8 有兩個(gè)面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊(稱為側(cè)棱)都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱兩個(gè)互相平行的面叫做底面如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做長方體棱長都相等的正四棱柱叫正方體定義9 有一個(gè)面是多邊形(這個(gè)面稱為底面)，其余各面是一個(gè)有公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐定理13 (凸多面體的歐拉定理)設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則V+F-E=2定義10 空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等

43、于定長的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)球面球面所圍成的幾何體叫做球定長叫做球的半徑，定點(diǎn)叫做球心 定理14 如果球心到平面的距離d小于半徑R，那么平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直設(shè)截面半徑為r，則d2+r2R2過球心的截面圓周叫做球大圓經(jīng)過球面兩點(diǎn)的球大圓夾在兩點(diǎn)間劣弧的長度叫兩點(diǎn)間球面距離定義11 (經(jīng)度和緯度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯線緯線上任意一點(diǎn)與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點(diǎn)的緯度用經(jīng)過南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周(以兩極為端點(diǎn))叫做經(jīng)線，經(jīng)線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫做經(jīng)度，根據(jù)位置不同又分東經(jīng)和西經(jīng)定理

44、15 (祖 原理)夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.定理16 (三面角定理)從空間一點(diǎn)出發(fā)的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線共組成三個(gè)角其中任意兩個(gè)角之和大于另一個(gè)，三個(gè)角之和小于3600定理17 （面積公式）若一個(gè)球的半徑為R，則它的表面積為S球面=4R2。若一個(gè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則它的側(cè)面積S側(cè)=rl.定理18 （體積公式）半徑為R的球的體積為V球=；若棱柱（或圓柱）的底面積為s，高h(yuǎn)，則它的體積為V=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s，高為h，則它的體積為V=定理19 如圖12-1所示，四面體ABCD中，記BDC=，ADC=，ADB=，BAC=A，ABC=B，ACB=C。DH平面ABC于H。（1）射影定理：SABD?cos=SABH，其中二面角DABH為。（2）正弦定理：（3）余弦定理：cos=coscos+sinsincosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos.（4）四面體的體積公式DH?SABC=（其中d是a1, a之間的距離，是它們的夾角）SABD?SACD?sin(其中為二面角BADC的平面角)。二、方法與例題1公理的應(yīng)用。例1 直線a,b,c都與直線d相交，且a/b,c/b，求證：a,b,c,d共