小學(xué)數(shù)學(xué)教師業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)材料

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教師業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)材料（ 請各校印發(fā)給數(shù)學(xué)老師學(xué)習(xí) ）聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列一: 小學(xué)數(shù)學(xué)要注重長遠(yuǎn)與長效從整體上把握小學(xué)數(shù)學(xué)，著眼點很多。要想理出頭緒、抓住重點，“放眼長遠(yuǎn)、注重長效”最重要。放眼長遠(yuǎn)是核心長遠(yuǎn)是就目標(biāo)而言。無論一個人長大以后在不在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)學(xué)習(xí)或工作，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)得的解決問題策略、思維方式、思想方法及運(yùn)用工具的能力都將發(fā)揮重要作用。小學(xué)數(shù)學(xué)課程雖然與高考、就業(yè)一類的目標(biāo)相距尚遠(yuǎn)，但卻是整個基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程最重要的部分。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)具有立足長遠(yuǎn)、放眼長遠(yuǎn)的功能。然而，現(xiàn)實情況不容樂觀。應(yīng)試教育的負(fù)面作用揮之不去，以缺少節(jié)制的“又對、又快、又準(zhǔn)”為標(biāo)志的評價體系，仍在壓

2、抑著學(xué)生本應(yīng)生機(jī)勃勃的活力。數(shù)學(xué)多半只在考試中露崢嶸，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便會就此再見。這樣的數(shù)學(xué)談何長遠(yuǎn),毫無疑問，數(shù)學(xué)大有用場。但數(shù)學(xué)教育有沒有長遠(yuǎn)眼光將取決于 : 我們是不是為孩子提供了培育興趣、應(yīng)用、應(yīng)變、自信、求實、責(zé)任、想象和創(chuàng)造的環(huán)境。我們是不是擺脫了題型教育、考試教育的束縛，是不是給過孩子自己足夠的空間，讓他們能夠獨立地去想一想、試一試，而不是完全按照老師的理解，或是書本上的某個模式去照抄照搬。這些都關(guān)乎學(xué)生“終身學(xué)習(xí)的愿望和能力”。數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的教育，離不開作為科學(xué)的數(shù)學(xué)。不少前輩一再強(qiáng)調(diào)，學(xué)數(shù)學(xué) 就要坐得住冷板凳，就要經(jīng)得起枯燥和抽象的考驗。這對專業(yè)數(shù)

3、學(xué)工作者毋庸置 疑，但將這樣的主張貫之于小學(xué)則基本是謬誤。板著面孔、與枯燥寂寞相伴的數(shù)學(xué) 難以走進(jìn)孩子的心靈。注重長效是關(guān)鍵小學(xué)數(shù)學(xué)的長遠(yuǎn)目標(biāo)能否落實，關(guān)鍵是要為長效提供支撐。有效教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究特別熱衷的課題。有效教學(xué)指教學(xué)的結(jié)果與預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)匹配程度高。需要注意的是，“有效”有長、短之分。簡單地說，管長遠(yuǎn)、能一生受用的效果就是長效; 管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依時間考量，長效要長期積累，難于一蹴而就; 短效可立竿見影，易在一節(jié)課內(nèi)形成。同時，眼前和長遠(yuǎn)相互依托，缺一不可。那短效與長效之間的關(guān)系是怎樣的呢 , 一方面，沒有一次次短效的磨煉和積累，長效難以形成; 另一方面，某些

4、需要通過高強(qiáng)度、高密度訓(xùn)練才能記住并掌握的定義、定理、公式、算法，注定在人們心里留存的時間不會太久。白天學(xué)過的內(nèi)容，晚上沒帶書可能就想不起來。然而，探索、發(fā)現(xiàn)這些定義、定理、公式和算法的過程中形成的積淀，運(yùn)用這些定義、定理、公式和算法解決實際問題的經(jīng)驗和體會倒可能會長遠(yuǎn)留存。這樣的經(jīng)歷多了，積累也就多了，不經(jīng)意間，往往形成了一些相對穩(wěn)定的與數(shù)學(xué)有關(guān)的見解，或者說是思路。這些都能長久地駐留在學(xué)生心中，并能在一生的學(xué)習(xí)、生活和職業(yè)生涯中派上用場，成為個人發(fā)展的重要支撐點。因此，漠視“探索發(fā)現(xiàn)那些定義、定理、公式和算法的過程”的數(shù)學(xué)教學(xué)，收獲的多半是短效，而得來得快、忘得也快的教學(xué)大體上是無效的。因

5、此，短效雖然易得，但長效更是關(guān)鍵，短效要為長效服務(wù)，要以長效為目標(biāo)。一方面把“過程與方法”、“情感、態(tài)度與價值觀”實實在在地納入有效教學(xué)的視野。同時，對以密集型、機(jī)械性、速率式、硬指標(biāo)為特征的教學(xué)策略要有個清醒的認(rèn)識。練就注重長效的“獨門功夫”舉“測量”為例。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識了角之后，面對形形色色、五花八門的角，比較大小的問題隨之浮出水面，測量成為定量認(rèn)識角的主題，包括單位和實測兩層含義。一是“單位”，也就是大家都認(rèn)可的度量單位。小學(xué)階段“單位”的重心在理解和具體感受單位的實際意義，像掂一掂500 克一袋的鹽、摸一摸0.4 平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。這些看上去沒什么“數(shù)學(xué)味兒”的舉動

6、，都是感受和理解單位時不可或缺的嘗試。更重要的是，單位本身是規(guī)定的結(jié)果。公度的必要性和規(guī)定性源自人類通過不同途徑，長期摸索之后形成的共識，是人類的共同語言。對學(xué)生來說，這里有很大的討論、活動和探索空間。在教學(xué)上下點功夫，能幫助學(xué)生認(rèn)識單位的標(biāo)準(zhǔn)作用和平臺作用，懂得個別和一般的關(guān)系，知道如何在估計與精確之間作出選擇，逐步認(rèn)識到數(shù)學(xué)為什么需要抽象，等等，而這些都有助于學(xué)生接近和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，都與長效聯(lián)系在一起。二是“量”，即如何實測的問題。教學(xué)的重心應(yīng)當(dāng)從學(xué)生自己的經(jīng)驗出發(fā)，從“真刀真槍”的問題開始，通過鼓勵學(xué)生使用自創(chuàng)的工具和單位，逐步導(dǎo)向規(guī)范的工具和單位，引導(dǎo)學(xué)生多角度摸索測量的方法，逐步從

7、不那么正規(guī)的測量單位和方法一步步接近直至能夠達(dá)到科學(xué)的測量。測量課應(yīng)當(dāng)是用一連串的“為什么”串起來的“發(fā)現(xiàn)”課，每個結(jié)論的得出都應(yīng)當(dāng)伴隨著學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)、歸納與整理。學(xué)生不僅要知道如何量，還要知道量的方法從哪里來，知道書本上的測量對象和生活中的測量對象的關(guān)系，知道測量的意義。如果小學(xué)階段僅僅把測量處理成照本宣科的技能教學(xué)，只是采取多快好省、照抄照搬、紙上談兵的方式灌輸和訓(xùn)練，就可能浪費了這一題材的教育價值。如果因為測量不是考試中的重頭戲而在教學(xué)上敷衍了事，結(jié)果就更可怕。學(xué)生對數(shù)學(xué)越來越明顯地敬而遠(yuǎn)之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的越來越趨于實際，多半與此有關(guān)。小學(xué)階段的測量，不是單純的技能培養(yǎng)與訓(xùn)練，而是一塊

8、為學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)備的沃土。它提供給學(xué)生通過自己的眼和手去發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識世界的機(jī)會，它能自然地溝通過程與結(jié)果之間的聯(lián)系，能把學(xué)生探索的目光從書本、教室引向生活、社會，能為學(xué)生提供實實在在的動手機(jī)會，讓他們“真刀真槍”地解決幾個真正的問題。不僅是測量，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的許多技能，多半會隨著兒童的成長淡淡隱去，而伴隨著一連串“為什么”發(fā)現(xiàn)的規(guī)律、道理和方法倒有可能長久留存，成為伴隨學(xué)生一生的本領(lǐng)。放眼長遠(yuǎn)、注重長效能否在教學(xué)中得到體現(xiàn)，關(guān)系到新課程推進(jìn)的質(zhì)量。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是該適可而止的，哪些是該著力推進(jìn)的，這一切都將建基于教師的見識和視野，決定著新課程的主張能否踐行。

9、原文載中國教育報 2009年 2 月 13 日第 5版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列二: 別讓數(shù)學(xué)教學(xué)淪為解題教學(xué)實際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)常常被簡單地理解為數(shù)學(xué)知識的掌握。以知識掌握的數(shù)量和牢固程度作為唯一標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)評價，引導(dǎo)著師生對知識的單一追求。為了便于學(xué)生理解和接受，抽象、嚴(yán)謹(jǐn)且具有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)知識經(jīng)常被教師們分解為一道道數(shù)學(xué)題，解題成了數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分，引導(dǎo)學(xué)生解題成了數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要形式和手段。理論上，所有人都知道數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是多元的，遠(yuǎn)不只是掌握知識和解題那么簡單。然而，具體到教學(xué)一線，教師們總希望能抓住一些有形的、易于測量的東西來操作。于是，解題成了一線教師教學(xué)評價的抓手。的

10、確，面對一道數(shù)學(xué)題，學(xué)生能否調(diào)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識來解決，可以折射出學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)知識的掌握情況。學(xué)生能靈活調(diào)用數(shù)學(xué)知識來解決相關(guān)的問題，也表現(xiàn)為數(shù)學(xué)能力。于是，解題就成了教師衡量學(xué)生學(xué)習(xí)水平的重要標(biāo)尺，學(xué)校也通過編寫試卷，讓學(xué)生解答批量的數(shù)學(xué)題來呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，了解、檢驗教師的教學(xué)。說到底，還是評價的導(dǎo)向在起決定作用。如果高考的影響力及其指揮棒的作用、考試評價的方式一天不改變，教師和學(xué)生們追逐成績、把解題能力當(dāng)作數(shù)學(xué)教學(xué)最高目標(biāo)的現(xiàn)狀也將很難改變。華羅庚說過: “學(xué)數(shù)學(xué)不做題目，等于入寶山而空返?！边@說明，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，但是解題只能作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑，而不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的全部。數(shù)學(xué)教

11、學(xué)對解題的依存關(guān)系表現(xiàn)為 :數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程需要解題這一重要的手段。解題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的重要手段，其作用可以歸結(jié)為以下幾點 : 首先，解題過程引導(dǎo)學(xué)生邏輯思考。許多數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系非常嚴(yán)謹(jǐn)，知識的起源、認(rèn)識、理解和掌握蘊(yùn)含著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、推斷過程。這一過程往往是通過解決一個個數(shù)學(xué)問題來完成的。數(shù)學(xué)解題過程是若干數(shù)學(xué)知識的綜合調(diào)用和一系列邏輯推理的組合，是一項重要的數(shù)學(xué)思維活動。所以數(shù)學(xué)解題過程成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的重要組成，成了一次次邏輯推證的過程。其次，解題是引導(dǎo)學(xué)生有步驟地走進(jìn)數(shù)學(xué)的過程。數(shù)學(xué)知識本身是一個邏輯鏈，數(shù)學(xué)知識被分解為一系列相關(guān)聯(lián)的問題，數(shù)學(xué)教學(xué)就是通過這些問題串，以舊引新，層層深入

12、，引導(dǎo)學(xué)生逐漸走進(jìn)數(shù)學(xué)的內(nèi)核。再其次，數(shù)學(xué)問題直接挑戰(zhàn)學(xué)生的智慧。數(shù)學(xué)知識以問題的形式呈現(xiàn)，在解題過程中學(xué)生首先要直面問題，有價值的數(shù)學(xué)問題能很好地挑戰(zhàn)學(xué)生的智慧、激活學(xué)生的思維，更大限度地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能。解題不能準(zhǔn)確地反映學(xué)生的全部學(xué)習(xí)狀況。解題的過程受各種因素的影響，學(xué)生在解題過程中的表現(xiàn)也可能是片面的，只能反映學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的部分情況。人們對知識調(diào)用的速度和思維的靈活度與心情好壞、注意力集中程度等都有密切的關(guān)系。解題也會受題目質(zhì)量的影響，如問題的呈現(xiàn)方式、表達(dá)習(xí)慣、定位的明顯程度。個人的經(jīng)驗和成長歷程以及對問題及其情境的熟悉程度，也決定個人對問題的適應(yīng)性和感受性。許多老師要求學(xué)生“多做

13、題”，認(rèn)為多做題目就增長了見識。正是這種“一回生，二回熟”的信念，造成了對解題結(jié)果的過分追求，對提高解題能力手段的過度研究，使得解題成了操練的工具，解題也因此失去了呈現(xiàn)學(xué)生真實學(xué)習(xí)水平的意義。準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與價值。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的是接受數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神的熏陶，提高自身的思維品質(zhì)和科學(xué)素養(yǎng)。這需要每一位教師準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與價值，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成為學(xué)習(xí)者思維活動交流的過程。充分發(fā)揮解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的功能。要想讓數(shù)學(xué)教學(xué)不淪為解題的教學(xué)，就要幫助教師正確定位解題在數(shù)學(xué)

14、教學(xué)中的意義和作用。一是要選擇有教學(xué)價值的典型問題。二是要把問題的教學(xué)價值發(fā)揮到極致。充分挖掘問題的教學(xué)價值，適當(dāng)安排時機(jī)發(fā)揮題目資源的效用，盡可能一題多用。三是在評價解題時，把通法（般的普通方法） 放在第一位，不一味追求速度或技巧。四是要關(guān)注解題過程反饋的價值信息。在關(guān)注解題結(jié)果的同時，考慮給過程分，關(guān)注解題過程中的各種表現(xiàn)，收集有效信息，幫助診斷教學(xué)，發(fā)現(xiàn)、利用有價值的教學(xué)資源。一方面引導(dǎo)學(xué)生重視解題過程，另一方面提醒教師從過程中收獲信息的教學(xué)價值更甚于結(jié)果。教師應(yīng)允許學(xué)生采用不同的思路，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表見解，教師在理解的基礎(chǔ)上應(yīng)尊重各種合理的解題思路，并給出中肯的評價。五是要重視解題后的

15、反思。解題過程中的試誤過程和成功經(jīng)驗都值得反思?；仡欁约喝绾谓?jīng)歷“山窮水盡疑無路”，又如何達(dá)到“柳暗花明又一村”的境地，分析解題過程給帶來的認(rèn)識上的得與失。這些收獲不亞于題目本身帶給我們的價值。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們既要扎扎實實地學(xué)好數(shù)學(xué)知識和技能，又要牢固地掌握數(shù)學(xué)思想和方法，而且要能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和技能解決實際問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要解題，但不取決于解題的多少，而在于解題前的分析、探索和解題后的反思。我們要讓學(xué)生要成為解題的主人，要從解題中吸取解題的方法、思想，鍛煉思維。中國教育報 2009年 2 月 13 日第 6版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列三 : 什么是真正“用教材教”“用教材教”時下已成為教師們經(jīng)常掛

16、在嘴邊的一句話?！敖探滩摹迸c“用教 材教”在語意上并無多大差別，但“用教材教”反映了教材觀的轉(zhuǎn)變，即視教材為 主要的課程資源、教學(xué)線索，激活了教師的專業(yè)自主性，讓教師以教材開發(fā)者的姿 態(tài)，將個人特質(zhì)、教學(xué)經(jīng)驗、教學(xué)才能融入到對教材的加工、改造之中。歷史地看，過去我們也反對照本宣科，追求用活教材，現(xiàn)在提倡“用教材教”，似乎是舊話重提，但其中的必要性卻不容小視。社會與教育的發(fā)展在為教學(xué) 提供新條件的同時，也對教學(xué)提出了更高的要求。要求教學(xué)更加關(guān)注學(xué)生的個性發(fā) 展，要求教材多樣化，要求教學(xué)手段不再只是一張嘴巴、一支粉筆。因此，傳統(tǒng)的 話題勢必會在新的歷史條件下，尋求新的詮釋與表達(dá)。目前，有種觀點認(rèn)為

17、，“教教材”與“用教材教”是教師教學(xué)水平提高的兩個 階段。論據(jù)一是目前尚有不少教師的教學(xué)連忠實執(zhí)行教材還沒做到，論據(jù)二是“教 教材”要作為“用教材教”的基礎(chǔ)。這樣的看法有一定的道理。但需要明確的是， 它只是舉出了特定背景下的真實個案，不能據(jù)此認(rèn)為它就概括出了教師提升教學(xué)水 平的一般規(guī)律。同時，我們也確實應(yīng)當(dāng)先深入教材，再跳出教材，否則難免會出現(xiàn) 對教材的誤讀和背離。事實上，要有效地用教材教，除了正確理解、準(zhǔn)確把握教材之外，還必須深入 分析學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，了解他們的真實情況。教材再好，通常也只能根據(jù)一般情況 為教與學(xué)提供一個思路和一種設(shè)計方案，不可能完全適應(yīng)每個學(xué)校、每個班級、每 個學(xué)生的具體情

18、況。用教材教，要求教師具備解讀教材、解讀學(xué)生的智慧。解讀教 材、解讀學(xué)生與加工教材，都可以在備課過程中，即在課前一次完成，實際的備課 過程，也常常是將三者結(jié)合起來進(jìn)行的。不能因為它們需要分別展開研究，就聽任 目前的教學(xué)停留在“教教材”的水平上。同時，對三者的鉆研應(yīng)該是教師永無止境 的追求，都有待深化，需要經(jīng)驗的逐漸累積，不必人為地限定先熟悉教材、教教材，再加工教材、用教材教這樣的階段。任何時候，調(diào)整、加工教材都是教師的權(quán)利，也是教師備課的內(nèi)容之一。如何“用教材教” , 需要探討和解決的問題很多。這里筆者僅就使用新教材以來教師在課前預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)遇到的一些問題進(jìn)行討論。復(fù)習(xí)鋪墊的設(shè)計?，F(xiàn)在新編的教材，

19、基本上不再出現(xiàn)新知識前的復(fù)習(xí)、準(zhǔn)備或過渡內(nèi)容。以致有教師問 : 是不是數(shù)學(xué)課堂上不要需要復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)了 ,教材直接以問題開始，有利于擴(kuò)大思維和探索空間，有利于學(xué)生問題意識的培養(yǎng)。在這個過程中，學(xué)生在新問題的基礎(chǔ)上聯(lián)想回憶出已學(xué)知識。當(dāng)然，如果學(xué)生自己聯(lián)想有關(guān)知識有困難，或者出現(xiàn)夾生、遺忘現(xiàn)象，教師先行組織復(fù)習(xí)也是可取的。新授前設(shè)置復(fù)習(xí)、準(zhǔn)備環(huán)節(jié)的初衷，一是為了通過再現(xiàn)激活學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)知識 ; 二是為探究鋪設(shè)臺階，分散新授的難點。第一點無可厚非，問題在于第二點。以往的課堂教學(xué)實踐中，教師常常鋪墊暗示過度，或者人為地設(shè)置了一條狹窄的思維通道，學(xué)生無須探究，或稍加嘗試，結(jié)論就出來了。這顯然不利于

20、學(xué)生主動學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。但我們也不必就此因噎廢食。應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，這類教學(xué)鋪墊有很多合理的成分。比如，教循環(huán)小數(shù)前，很多教師喜歡先以學(xué)生熟知的一年四季周而復(fù)始的實例，讓學(xué)生感知“依次不斷重復(fù)出現(xiàn)”的周期現(xiàn)象，以此作為同化新知識的認(rèn)知框架。有了這一鋪墊，原本很抽象的循環(huán)小數(shù)，通過學(xué)生自發(fā)的類比，大大降低了理解的難度。教學(xué)手段的選擇。一般認(rèn)為，選擇教學(xué)手段的依據(jù)是教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生以及教師自身的特點。除此之外，還應(yīng)考慮什么 ,以教學(xué)長方體的認(rèn)識為例?，F(xiàn)在多數(shù)教材提供的現(xiàn)實模型是城市建筑、冰箱、 紙盒等圖片，人民教育出版社的教材考慮到農(nóng)村和邊遠(yuǎn)地區(qū)，給出的素材里還有長城的圖片和其中一塊放大了的磚。教師可以選擇

21、一個或幾個實物抽象出長方體的圖形，并進(jìn)一步介紹長方體的面、棱和頂點等。目前在有條件的學(xué)校，教師大多采用多媒體課件演示長方體的形狀。此外，還能選擇什么教學(xué)手段呢 ,30 年前筆者在江西教學(xué)時，曾用當(dāng)?shù)氐陌滋}卜作為教具。在東北，教師的創(chuàng)意是讓學(xué)生用小刀削土豆。在上海，老師們讓學(xué)生用小刀削橡皮泥。這不正是因地制宜選擇教學(xué)手段最生動的詮釋嗎 ,鞏固練習(xí)的補(bǔ)充。經(jīng)常聽到教師抱怨新教材配備的練習(xí)偏少。不可否認(rèn)，教材需要修改、完善，但教材不是題庫，面對減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的社會訴求，教材中的習(xí)題必須嚴(yán)格精選。因此，即便改進(jìn)之后，還會眾口難調(diào)。比如 20 以內(nèi)退位減法，可以用“破十法”，也可以用“連減法”。諸如此類的

22、針對性練習(xí)，教材難以一一提供，只能由教師為學(xué)生“量身定制”，自行補(bǔ)充，當(dāng)然教學(xué)參考書可以也應(yīng)該給予提示。此外，學(xué)生的學(xué)習(xí)有缺漏必須彌補(bǔ)，同時要滿足學(xué)有余力的學(xué)生興趣拓展和提高的需求，教師適當(dāng)?shù)脑鲅a(bǔ)練習(xí)，也是因材施教的內(nèi)涵之一。另外，一些鄉(xiāng)土素材、社會時事、學(xué)校正在開展的活動，等等，都可以用來編成數(shù)學(xué)的實際問題，使數(shù)學(xué)應(yīng)用練習(xí)更貼近學(xué)生的生活和時代的脈搏。中國教育報 2009年 2 月 20 日 5版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列四 : 什么才是有效的開放新一輪課程改革提出了自主、探究、合作、生活數(shù)學(xué)、信息技術(shù)、算法多樣化等一系列新名詞，這些都體現(xiàn)出開放的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式和教學(xué)理念。在過去的探索中，我們既出

23、現(xiàn)了小組圍坐其樂融融、合作交流熱熱鬧鬧、動手操作紅紅火火的景象，也出現(xiàn)了因交流擠掉學(xué)生獨立思考的時間，因空間開放未能完成當(dāng)堂練習(xí)的現(xiàn)象。于是，有人開始懷疑開放的教學(xué)是否影響學(xué)習(xí)效率，甚至開始懷念傳統(tǒng)教 學(xué)中環(huán)環(huán)相扣的高效率、高質(zhì)量。開放的教學(xué)過程改變了傳統(tǒng)封閉式教學(xué)中“把信息從一個地方傳遞到另一個地方”的單向過程，使教學(xué)交流更加多元、立體，更能促進(jìn)學(xué)生充分、全面地發(fā)展。封閉式教學(xué)追求的是讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)掌握更多的知識，而開放式教學(xué)的價值取向則在于追求自主與創(chuàng)新。應(yīng)該說，開放與封閉、有效與無效是不同維度的對立面，如果我們將這兩組矛盾各為橫軸、縱軸的話，會出現(xiàn)“有效的開放”、“無效的開放”、“

24、有效的封閉”、“無效的封閉”這四個象限，以自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)為主要方式的開放式教學(xué)和以講授式為主要方式的封閉式教學(xué)都存在著有效和無效的問題。值得思考的是: 何謂有效的開放,特級教師魏潔談到她在美國聽的一節(jié)小學(xué)六年級的方程課: 上課開始，教師在黑板上寫出 :x ， , ，未作任何暗示，只給學(xué)生們提供一些方格紙、小方塊和白紙，讓孩子們解答。有的孩子左邊擺3 個方塊、右邊擺 5 個方塊，然后從5 個方塊中挪出 3 個，找到了答案“ , ”。有的孩子借助方格紙，先畫 5 個方格，再圈掉其中的 3 個，找到了答案。有的孩子直接在等式的“5”上寫了“3”并做了一個刪除的記號，雖然沒有規(guī)范的格式，但是他也愉

25、快地找到了答案。還有一類孩子，想不到任何方法，就伸長了脖子看周圍的同伴在忙什么，看看用方格的，好像不能理解，于是就選擇了一個用方塊的作為學(xué)習(xí)對象。人家怎么做，他就怎么做。等到孩子們?nèi)客瓿珊?，老師組織全班學(xué)生進(jìn)行了交流。接著，沒有任何的解釋和總結(jié)，寫出第二題 :,-, ，讓孩子們自己做。有意思的是，第四類孩子這時也跟著他的學(xué)習(xí)對象改用方格來幫助解決問題了。更有意思的是，課后魏老師采訪了這個孩子，問他：“會了嗎，”孩子高興地回答：“會了”再問：“過兩天還記得嗎，”孩子回答 : “肯定忘了?！弊穯?: “那你怎么辦, ”孩子很爽快地指指小組的伙伴: “有他”這是典型的美國課堂，也許正是不少人認(rèn)為低

26、效的課堂。折騰了一節(jié)課，學(xué)生連基本的解方程格式都不會。但這類“低效”課堂何以受到美國教師的青睞, 國際相關(guān)的比較研究提醒我們，我們的孩子在解決封閉性問題時，往往強(qiáng)于美國學(xué)生，而在解決開放性的實際問題時，美國學(xué)生卻表現(xiàn)出較明顯的優(yōu)勢。教育家波蘭尼有個觀點說, 顯性知識只是冰山的一角，而緘默知識則是隱藏在冰山底部的大部分。緘默知識只有通過個體的實踐與體悟才能獲得。如此說來，看似松散的學(xué)生探求解決辦法的過程，也正是他們進(jìn)行底部積累的過程。站在關(guān)注每一個個體學(xué)習(xí)歷程的角度看，以上案例中孩子們對不同方法的選擇與改變，讓我們看到了孩子們的思維由具體到抽象的變化過程，看到了孩子們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗逐步形式化的

27、過程，看到了不同的孩子在自己最近發(fā)展區(qū)的成長，看到了孩子遇到困難時尋求幫助的“智慧”之舉,這樣看來，關(guān)注學(xué)生在教學(xué)中是否成長和發(fā)展是我們評價現(xiàn)代課堂有效性的核心。除了知識的掌握，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累、數(shù)學(xué)思想方法的感悟、數(shù)學(xué)基本技能的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感的豐富，這些都應(yīng)該成為考量課堂有效性的重要維度。評價開放性的課堂除了必須保持開放的心態(tài)，還必須采用開放的評價指標(biāo)和評價方法。這方面的工作，無疑已成為擺在我們眼前的重要任務(wù)。近年來，我們的教育教學(xué)工作者在追求有效開放的探索中積累了很多寶貴經(jīng)驗。有的老師注重小組建設(shè)，從評價入手，努力營造組內(nèi)合作、組間競爭的學(xué)習(xí)氛圍，為建立有效合作提供了一種范式。有

28、的老師注重同伴交流的實效，從“如何聽、如何說”的指導(dǎo)入手，甚至為每個小組配備錄音筆，即時記錄交流情況，從而實現(xiàn)有針對性的指導(dǎo)工作。還有不少教師認(rèn)為開放式教學(xué)要因“材”而為，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，在適于探究、適于合作之處予以放手，把“挖掘教材、吃透教材，做一名能夠整合教材、個性化實施課程的教師”作為自己追求的理想。有的教師背下 12本教材上的所有例題和習(xí)題，以自己對小學(xué)知識的通透把握，達(dá)成課堂上充分探索、思辨練習(xí)、課外不留作業(yè)的高效教學(xué)。這些都顯示出教師們?yōu)榉e極探索有效開放教學(xué)策略所做的不懈努力。這些理論與實踐相結(jié)合的鮮活研究，為我們從模仿開放之形到把握開放之神提供了堅實的基礎(chǔ)。我們有理由相信，隨著我們

29、視界的敞亮、理論的完善和探索的深入，開放而有效的課堂必將越來越成熟。中國教育報 2009年 2 月 20 日 6版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列五: 有過程的教學(xué)促進(jìn)高水平的理解常聽一線老師訴苦說: 現(xiàn)在的學(xué)生真難教，水平參差不齊。的確，在學(xué)習(xí)新知識前，學(xué)生早已不是一張“白紙”。作為教師，該怎么辦,知道事實不等于真理解面對學(xué)生已經(jīng)知道“答案”時，我們需要追問 : 有多少學(xué)生知道答案, 有多少學(xué)生真正理解要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,例如，對于“長方體的體積=長乂寬X高”，如果學(xué)生通過背誦記住這一公式，那么他獲得的知識僅僅是“事實性知識”。如果學(xué)生通過拼擺單位小正方體而得到“大長方體”的體積就是單位小正方體的個數(shù)，即數(shù)小正方

30、體的個數(shù)就能求出長方體的體積，但是“數(shù)”比較麻煩，再進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)大長方體的體積是“長X寬X高”，這時他對長方體體積公式的理解就達(dá)到“概念性水平”。如果學(xué)生能進(jìn)一步深入分析，就會發(fā)現(xiàn)長方體的體積與長方體的一個面的面積以及對應(yīng)這個面的高有關(guān)。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識，得出長方體的體積還可以通過“一個面的面積乘以這個面所對應(yīng)的高”來求出，這時學(xué)生對該公式的理解就達(dá)到了“方法性水平”，因為這個公式不僅僅適用于長方體而且適用 于一切柱體。學(xué)生不但了解了公式產(chǎn)生的來龍去脈，并且能在所涉及的概念與概念之間，以及概念與已有的經(jīng)驗之 間建立起聯(lián)系，并能根據(jù)不同的條件靈活選擇公式解決問題。在此基礎(chǔ)上，學(xué)

31、生還能進(jìn)一步解釋“長方體的體積等于一個面的面積乘以這個面上的高”嗎, 在教學(xué)中，有個學(xué)生這樣回答: 我把長方體看成是“底面”這樣的小薄片一片一片壘起來的，那么長方體的體積不就是這個“小薄片”的面積乘以壘的“高度”嗎 , 這名學(xué)生所獲得的知識就已經(jīng)達(dá)到了“主體性水平”，他所獲得的這一知識，是通過反思“創(chuàng)造”出來的。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，往往停留在“事實性水平”的理解上。在教學(xué)中，我們必須辨別出學(xué)生的理解所達(dá)到的程度，設(shè)計恰當(dāng)活動促進(jìn)學(xué)生對知識的高水平理解。有過程的教學(xué)促進(jìn)學(xué)生高水平的理解“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識?！毙W(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念都蘊(yùn)含了樸素的數(shù)學(xué)思想，基本上都來源于學(xué)生的生活經(jīng)驗。從理論上說，學(xué)生

32、認(rèn)識這些樸素的思想應(yīng)該很容易，但為什么學(xué)生學(xué)習(xí)“課本上的數(shù)學(xué)”就有很多困難呢 ,原因主要在于數(shù)學(xué)的學(xué)科定義高度概括、抽象，教材不易呈現(xiàn)其形成與發(fā)展的過程，直接學(xué)習(xí)現(xiàn)成的結(jié)論不符合小學(xué)生的思維水平與認(rèn)知特點。因此，弗羅登塔爾認(rèn)為“教材是教學(xué)法的顛倒”。如果教師的教學(xué)沒有過程，而只是簡單的模仿、記憶、背誦、訓(xùn)練，則容易使學(xué)生的理解僅僅處于事實性水平。教師無過程教學(xué)的根源主要有兩點 : 一是缺少追問學(xué)科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學(xué)生的思維特點與已有的知識經(jīng)驗儲備。對于前者，我們強(qiáng)調(diào)教師追問為什么學(xué)習(xí)這些內(nèi)容、所學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心是什么、如何建立聯(lián)系 ; 后者主要包括學(xué)生的生活概念、學(xué)生的思維水平與認(rèn)知

33、特點及學(xué)生已有的知識儲備。當(dāng)教師對這兩個根源有深入的思考后就能設(shè)計出有過程的教學(xué)。設(shè)計有過程的教學(xué)，需要教師關(guān)注數(shù)學(xué)概念、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源，關(guān)注其形成、發(fā)展的原始動力，關(guān)注學(xué)生樸素的問題與思維過程，關(guān)注學(xué)生的生活概念、經(jīng)驗與數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，關(guān)注學(xué)生的思維過程，利用思維過程中的沖突、質(zhì)疑與障礙使學(xué)生獲得高水平理解力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愿望與動機(jī)，體會到創(chuàng)造的樂趣。下面是一位教師教學(xué)“減法的初步認(rèn)識”時發(fā)生的主要事件，該課就是一節(jié)過程充分的課:教師先利用電腦動畫設(shè)計了一個停車場的情境，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了信息并提出了問題 : 停車場原來有5 輛小汽車，開走了 2 輛，問停車場還剩幾

34、輛小汽車, 學(xué)生順利地列出算式并計算。教師請學(xué)生利用手中的學(xué)具，自己動手創(chuàng)造一個用減法解決的問題，并列式解決。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計目的是讓每個學(xué)生都親歷減法意義的感知過程，并板書出學(xué)生所出現(xiàn)的各種不同的減法算式，為后續(xù)觀察、比較、總結(jié)減法的意義作素材準(zhǔn)備。但在交流匯報時，一個小女孩到實物展臺前，一邊演示“小水果”學(xué)具，一邊介紹自己剛才的操作過程: “我本來拿了 5 個小水果，送給同桌2 個，問我還剩幾個水果 , 我列的算式是5-2=3 。”話音剛落，另一位男孩喊到 : “怎么還是5-2=3 啊,重復(fù)了不能寫到黑板上。”展臺前的女孩不服氣地為自己辯解 ：“我沒重復(fù)，這次不是汽車，是水果?！弊谙旅娴哪?/p>

35、孩竟站起來反駁: “反正你的算式是5-2=3，還說不重復(fù), ”女孩一臉疑惑地看著教師。教師首先請學(xué)生發(fā)表自己的看法，大部分學(xué)生同意男孩的看法，但也覺得女孩說得有道理，辯論不出結(jié)果。這時教師問 : “你還能想一件事情，也用 5-2=3來表示嗎 , ”孩子們的思維活躍了起來，編出了很多的情境。例如 : 教室有 5 個小朋友，走了 2 個，還剩下3 個。草地上有5 朵小花，被小朋友摘走了 2 朵，還剩下3朵。 5 支鉛筆，丟了 2 支，還剩 3 支 , 這時剛剛發(fā)完言的一個學(xué)生不肯坐下 : “我還能說這樣的好多事呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本領(lǐng)真大呀”教師繼續(xù)捅破“窗戶紙” : “有的事

36、情發(fā)生在停車場里，有的事情發(fā)生在教室里。為什么完全不一樣的事，卻能用同一個算式來表示呢 , ”學(xué)生們終于發(fā)現(xiàn)，雖然事件不一樣，但同一個算式所表示的意思都是一樣的。這時，教師趁熱打鐵，又問: “3+6=9可以表示的事情多不多 , 那就一個數(shù)8都可以表示什么, ”學(xué)生脫口而出：“那太多了看到孩子們意猶未盡的樣子，教師又問 ：“你現(xiàn)在有什么想法 , ”其中一個學(xué)生說 : “我覺得數(shù)和算式都太神奇了，能表示那么多不同的事物?！毙W(xué)生對所學(xué)知識不能都達(dá)到高水平理解由于數(shù)學(xué)的學(xué)科特點及小學(xué)生的思維特點、生活經(jīng)驗，學(xué)生對所學(xué)習(xí)的內(nèi)容不能都達(dá)到高水平的理解。我們應(yīng)該允許學(xué)生先處于事實性水平的理解，隨著經(jīng)驗的增

37、加、思維水平的提高，逐步對所學(xué)內(nèi)容達(dá)到高水平理解。小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念有一些是“高通達(dá)力”的概念，即不是教師能教會的，理解這些概念需要學(xué)生認(rèn)知水平的提高。例如，分?jǐn)?shù)、字母表示數(shù)、正反比例關(guān)系、方程、極限、平均數(shù)等概念和思想。學(xué)習(xí)這些概念時，我們應(yīng)當(dāng)適當(dāng)允許學(xué)生在理解上的反復(fù)，因為要達(dá)到高水平的理解既需要教師設(shè)計有過程的教學(xué)，也有待學(xué)生年齡的增長。教師能做的，就是提供有價值的問題或任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生的思維投入，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。（ 作者為北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授）聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列六: 訓(xùn)練也是學(xué)習(xí)豎式除法是學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算中的一個難點。余數(shù)問題、商的數(shù)位問題、單位問題等類似錯誤常常出現(xiàn)在

38、學(xué)生的作業(yè)中。表面看這些錯誤各不相同，細(xì)細(xì)分析會發(fā)現(xiàn)，這些錯誤的根源在于不理解豎式算法的意義。有研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然會用豎式計算，但 , 的學(xué)生不明白豎式除法為什么從高位算起， , 的學(xué)生不清楚豎式除法的算理。這種情況下，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，就不能只是讓學(xué)生反復(fù)操練。訓(xùn)練是提高計算能力的技術(shù)手段，但并不一定是科學(xué)手段。教師應(yīng)當(dāng)改進(jìn)教學(xué)，關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生的困惑，在此基礎(chǔ)上設(shè)計教學(xué)。尋“根”究“理”，讓學(xué)生真正參與到知識的探索中。情境設(shè)計，讓學(xué)生鐘情練習(xí)將學(xué)習(xí)中的模仿、訓(xùn)練轉(zhuǎn)化為學(xué)生的內(nèi)在需要，是我們教學(xué)設(shè)計的追求。有這樣一道題 : “地球赤道周長, 萬千米，設(shè)想用鐵絲沿赤道扎緊，然后把

39、鐵絲接長 , 米，問鐵絲和地面之間能出現(xiàn)多大空隙, ”這道題對學(xué)生來說是很有趣的。但怎樣讓學(xué)生對題目“一見鐘情”呢 , 有位教師作了如下改進(jìn):地球的環(huán)境日益惡化。地球大吼：“我受不了啦，我快要爆裂啦玉皇大帝聽到后很著急，心想: 要是地球真的爆裂了，那全部生靈就會被毀滅。于是他決定沿地球的赤道加一道鐵箍，以防地球爆裂?？墒堑厍騾s直喊: “太緊了，我喘不過氣?！庇窕蚀蟮壑缓冒谚F箍松了一下，使得它處處離地球, 米。可是松一下，鐵絲不夠長了，需要再加一段，請你幫玉皇大帝算一下需要加多長的一段鐵箍 ,這樣的題目有故事情境，符合小學(xué)生的心理，能很好地調(diào)動學(xué)生的參與愿望。研究發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行情境問題測試的學(xué)生，其

40、成績和個體情感的投入都優(yōu)于進(jìn)行傳統(tǒng)題目測試的學(xué)生。在之后的問卷調(diào)查中，進(jìn)行情境問題測試的學(xué)生有,(, 選擇“以后還希望再做這樣的測試”。而進(jìn)行傳統(tǒng)題目測試的學(xué)生選擇該項的只有,(,。這就要求教師改進(jìn)學(xué)習(xí)內(nèi)容和形式，盡量避免重復(fù)，多讓學(xué)生主動創(chuàng)造而減少灌輸?！胺彩悄軅鹘o他人的，一定是可以重復(fù)的，而可以被他人重復(fù)的則一定不具有創(chuàng)造性。”這啟發(fā)我們，為了增加學(xué)生的主動性，除了教學(xué)方式、教學(xué)方法方面的改進(jìn)外，還需要結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)實背景，設(shè)計現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的情境 性問題，避免訓(xùn)練中的簡單重復(fù)。適時點撥，增強(qiáng)練習(xí)實效性練習(xí)要讓學(xué)生明了目的，不能盲目。練習(xí)中，需要教師及時分析學(xué)生的錯誤成因，適時

41、介入，并根據(jù)學(xué)生的不同情況安排有針對性的練習(xí)。有一道找規(guī)律題目如下 : ,， , ， , ， ( ) 。有個學(xué)生說 : “前面的數(shù)除以, ，就得到后面的數(shù)，所以 ,?, 就可以得到答案, 。”另一個學(xué)生說 : “老師，我算出的答案也是, ?？墒?，我找的規(guī)律跟他們的不一樣。我是這樣算的 :,， , ，去掉一個, ，就是 , 。 , ， , ，去掉一個, 就是 , 。 , ， , ，去掉一個, 就是 , 。所以，最后一個數(shù)是 , ?！边@個學(xué)生的規(guī)律，其他學(xué)生是不是聽懂了 , 他與別人的規(guī)律是不是真的不一樣,如果不一樣，有什么聯(lián)系和不同 , 教師在這兒引導(dǎo)其他學(xué)生探討這個學(xué)生的算法，是非常自然而必要

42、的。這個學(xué)生用到的“加法”是第一級運(yùn)算，運(yùn)算程度最低，也最簡易，在說到除時，用到的是動作“去掉, ”，而不是“除以 , ”，表達(dá)很通俗，且形象、生動。而其他同學(xué)運(yùn)用的是第二級運(yùn)算“除法”，方法相對抽象。對這兩種思路的對比分析在這一節(jié)課中非常重要。跟上時代，不做超標(biāo)練習(xí)在計算教學(xué)的問題上，一直有人批評課改過了頭。誠然，素質(zhì)教育并不排斥計算上的高技能，但是，計算技能需要高到哪種程度，則是需要畫個問號的。兩位數(shù)的除法在教學(xué)中是重點，而瑞典教材是不作要求的。像,?, ，他們只要求學(xué)生能估算,?, 就可以了，不要求筆算。 , 年，我們與瑞典教育代表團(tuán)交流時，瑞典教育代表團(tuán)團(tuán)長多麗絲教授反問我們 : “時

43、間很寶貴，長大以后這些題目都可以用計算器去解決，你們?yōu)槭裁匆ㄙM這么多的時間用于計算, ”這個問題促使我們不得不思考: 我們讓孩子花費這么多的時間，究竟有什么價值, 為什么我們讓學(xué)生做超出課標(biāo)要求的大量練習(xí) , 而我們的課標(biāo)本來就遠(yuǎn)超出國際一般要求。有位教師說: “有一道題 : 桃樹 , 棵，楊樹是它的 , 倍少 , ，桃樹、楊樹一共多少棵，我講解了好幾回，學(xué)生都是一 X,。你說如何講學(xué)生才會接受，他們都不知道要再加上桃樹的數(shù)目。”原因何在, 由“生活經(jīng)驗解決”到“數(shù)學(xué)符號表征”是一大跨越，學(xué)生不會用一個式子把“桃樹、楊樹一共多少棵”表示出來，這不能怪學(xué)生。列綜合算式對于四年級的學(xué)生來說，還是

44、太難了。我們的課標(biāo)和教材是不要求學(xué)生列綜合算式的，而我們平時的教學(xué)還在遠(yuǎn)超“英美”的高度上再次拔高。訓(xùn)練是學(xué)習(xí)的過程，而非學(xué)習(xí)中的某個環(huán)節(jié)，從這個意義上說，訓(xùn)練即學(xué)習(xí)，而不是重復(fù)。學(xué)習(xí)不是傳輸?shù)倪^程，也不是接受的過程，學(xué)習(xí)是個需要建立聯(lián)系、需要自覺建構(gòu)實踐的過程，離開學(xué)生的參與，訓(xùn)練就成為復(fù)制的過程。由此，我們需要加強(qiáng)教師在學(xué)生練習(xí)中的指導(dǎo)作用，使練習(xí)走向科學(xué)。 ( 作者為山東省茌平縣杜郎口中學(xué)教師)中國教育報 , 年, 月 , 日聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列七: 開啟從錯誤中學(xué)習(xí)的新視角錯誤在學(xué)習(xí)中普遍存在錯誤并不僅僅出現(xiàn)在學(xué)習(xí)活動中。一般而言，人們是在認(rèn)識論的范疇中討論“錯誤”，把它與“真理”作為相對

45、的概念提出的，認(rèn)為“錯誤”就是與客觀實際不相符合的認(rèn)識。但是，當(dāng)人們討論學(xué)校學(xué)習(xí)活動中的“錯誤”時，錯誤的概念發(fā)生了變化。人們認(rèn)為錯誤是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的各種不同于“標(biāo)準(zhǔn)觀念”或“標(biāo)準(zhǔn)答案”的想法或做法。與認(rèn)識論的“錯誤”概念比較，變化如下 :其一，錯誤往往被教師理解為學(xué)習(xí)活動的結(jié)果不符合教學(xué)要求。如在一堂“分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運(yùn)算的簡便計算”課中，教師要求學(xué)生在算式“ 0.38+( ) - 7/5”的括號中填上合適的數(shù)，使得計算比較簡便，并計算出算式的結(jié)果。學(xué)生提出填上1.62 ，使得加法運(yùn)算的結(jié)果為2，但教師卻認(rèn)為這一填法不正確。在這一練習(xí)中，教師簡便計算的“標(biāo)準(zhǔn)觀念”并不只是一級運(yùn)算

46、，無論學(xué)生填寫 1.62 或 7/5 都不符合教師的“標(biāo)準(zhǔn)觀念”。教師希望學(xué)生考慮簡便的二級運(yùn)算，最佳的運(yùn)算結(jié)果是0。且不論教師對簡便計算的“標(biāo)準(zhǔn)觀念”是否真的標(biāo)準(zhǔn)，從這一教學(xué)現(xiàn)象中我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的錯誤往往是指不符合教師預(yù)設(shè)的教學(xué)要求。衡量的標(biāo)準(zhǔn)從“客觀實際”變?yōu)椤敖虒W(xué)要求”，被賦予了更強(qiáng)的人為色彩。其二，這種學(xué)習(xí)結(jié)果不僅包括認(rèn)識 （ 觀念 ） ，也包括行為 （ 做法 ） 。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的“做法”通常指的是技能，包括計算技能與解決問題的技能。因為它不會直接對現(xiàn)實生活造成傷害，因此，學(xué)習(xí)過程中的錯誤既被理解為“觀念”，又被理解為“做法”。這兩者在學(xué)習(xí)過程中是緊密聯(lián)系在一起的。教師可

47、以通過學(xué)習(xí)過程中錯誤的“做法”去折射學(xué)習(xí)者錯誤的“觀念”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的錯誤是普遍的。我們可以毫不夸張地說，每一位數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中都發(fā)生過錯誤。個體正是通過對抗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯誤，豐富了自身的認(rèn)識經(jīng)驗，從而獲得發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯誤更是必然的。首先，數(shù)學(xué)活動是一種包含有猜測、錯誤與嘗試，證明與反駁，檢驗與改進(jìn)的復(fù)雜過程。因此，學(xué)生在經(jīng)歷這一數(shù)學(xué)活動過程時產(chǎn)生錯誤在所難免。其次，數(shù)學(xué)研究的對象是對現(xiàn)實生活理想化的抽象，許多在現(xiàn)實生活中有原型的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生很難區(qū)分其與生活概念的差異，因為處于具體形象思維階段的學(xué)生會出現(xiàn)認(rèn)知不足，進(jìn)而產(chǎn)生錯誤觀念。例如，學(xué)生在理解三角形高的概念時，

48、由于在日常用語中“垂線”只指鉛垂位置，所以學(xué)生很難理解其他位置的高，更難把握三角形的外高。正是由于這些學(xué)習(xí)錯誤具有普遍性與必然性，它們的產(chǎn)生也是有理由、有規(guī)律可循的。因此，在建構(gòu)主義看來，錯誤的產(chǎn)生具有合理性。有學(xué)者認(rèn)為，從學(xué)習(xí)者身上觀察到的一系列錯誤表明，錯誤不是教給的，而是學(xué)習(xí)者構(gòu)造了自己特有的概念與程式造成的。錯誤的價值與有價值的錯誤在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，正確有可能是一種模仿，而錯誤卻大凡是一種經(jīng)歷。因為許多錯誤是學(xué)習(xí)者在主動構(gòu)建知識時形成的。在教育活動中，錯誤是重要的教育資源。首先，錯誤的教育價值在于它展現(xiàn)了學(xué)生的思維歷程?！霸跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，錯誤表征著學(xué)生思想的航行，活動的展開。錯誤可

49、能意味著學(xué)生一次觀念的冒險、體驗的豐富、超越的契機(jī)?！庇幸粋€學(xué)生提出了這樣的疑惑: 認(rèn)識三角形內(nèi)角和時，我們是通過把長方形沿著對角線一分為二，已知長方形的內(nèi)角和是360 度，一分為二得出直角三角形的內(nèi)角和就是180 度。那么把一個等腰三角形沿著高一分為二，小的直角三角形的內(nèi)角和為什么不能是90 度呢 , 盡管學(xué)生通過類比推演得出小三角形內(nèi)角和的結(jié)論是錯誤的，但是，學(xué)生在錯誤經(jīng)歷中的思考與質(zhì)疑卻是難能可貴的。其次，錯誤可以使理解和記憶更加深刻。學(xué)生經(jīng)歷錯誤后，如果教師通過展示學(xué)生的錯誤，辯論錯誤觀點，糾正錯誤過程，那么，學(xué)生會對自身的錯誤理解得更深刻、記憶得更牢固。因為在錯誤經(jīng)歷中，學(xué)生獲得了在

50、平坦的大路上難以見到的景致，也許正是學(xué)生經(jīng)歷了一次次錯誤的探險，感受到心理的挫折、驚喜與頓悟，才從中獲得了質(zhì)疑、反思與多向思維的創(chuàng)新品質(zhì)。再其次，它折射了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點問題。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中難以理解、難以把握的內(nèi)容往往成為教學(xué)的難點。學(xué)生在學(xué)習(xí)中的錯誤正是學(xué)習(xí)難點的折射。當(dāng)然，并不是學(xué)生所有的錯誤都折射了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，在教師的教學(xué)設(shè)計中也無法關(guān)注每一個學(xué)生的錯誤，這必然引發(fā)對有價值錯誤的思考。我們認(rèn)為，那些具有規(guī)律性的、合理的錯誤具有教育價值，因為它們具有普遍 性，多數(shù)學(xué)生會遭遇。那些經(jīng)過思維運(yùn)演的錯誤有教育價值，因為它們可以促進(jìn)學(xué)生的理 解，強(qiáng)化學(xué)生的記憶，并能產(chǎn)生許多非認(rèn)知的教育

51、價值。教師對待錯誤的三重境界“從錯誤中學(xué)習(xí)”并不是每一位教師都認(rèn)同的教學(xué)原則，錯誤資源在不同教師的課堂上發(fā)揮的教育價值，也因教師對待錯誤的態(tài)度不同而存在差異。我們把教師對待錯誤的態(tài)度分成三重境界。第一重境界是教師害怕、拒絕錯誤。他們認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤是自身教學(xué)缺失的標(biāo)志，尤其在公開課上，不符合標(biāo)準(zhǔn)答案的觀點會被教師們漠視，他們或?qū)W(xué)生的錯誤采取“失聰”、“失明”的做法，或用優(yōu)生的學(xué)習(xí)成果掩蓋其他學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤，因為他們對標(biāo)準(zhǔn)答案已經(jīng)產(chǎn)生了思維定式與心理期待，對課堂中生成的非預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)成果缺乏評價能力。第二重境界是教師把學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤作為有價值的教學(xué)資源加以利用?；蛲ㄟ^展示錯誤過程，辯論錯誤觀點

52、提升認(rèn)識 ; 或故布陷阱，讓學(xué)生深陷其中而得出顯而易見的錯誤，從中恍然大悟地得出正確結(jié)論。第三重境界是教師不僅讓學(xué)生經(jīng)歷糾錯的過程，形成正確的觀念與做法，更重要的是讓學(xué)生反思自身的錯誤，進(jìn)而升華為錯誤觀的教育。浙江省特級教師俞正強(qiáng)老師就曾有一堂經(jīng)典的進(jìn)行錯誤觀教育的“小數(shù)四則運(yùn)算”練習(xí)課。整節(jié)課一氣呵成，讓學(xué)生經(jīng)歷了“感受研究錯誤的必要性小數(shù)四則運(yùn)算的錯誤類型小數(shù)四則運(yùn)算錯誤的歸因分析小數(shù)四則運(yùn)算的干預(yù)策略對錯誤觀的認(rèn)識”這一完整的反思錯誤的過程。首先，他在課前讓學(xué)生計算了 20 道小數(shù)四則混合運(yùn)算題，然后在課堂上讓學(xué)生們評價自己的作業(yè)，并公布了全班學(xué)生的錯誤率，從而讓學(xué)生了解小數(shù)四則混合運(yùn)算

53、錯誤的普遍性，體會到研究學(xué)習(xí)錯誤的必要性。然后，教師展示學(xué)生的典型錯誤，讓他們依據(jù)自身的理解把錯誤分類，并讓產(chǎn)生錯誤的學(xué)生分析原因。許多學(xué)生簡單地歸因為粗心、馬虎、不認(rèn)真。他就耐心地引導(dǎo)學(xué)生，提出任何數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的錯誤總有知識的缺陷或技能的不足，只有這樣的歸因分析才能正確認(rèn)識并糾正錯誤。他讓學(xué)生對那些有錯誤的同學(xué)提出糾錯的建議，并進(jìn)而拓展到對錯誤觀的認(rèn)識。讓學(xué)生理解犯錯誤是難免的，學(xué)生的錯誤不等于錯誤的學(xué)生。但是，人不能兩次犯同樣的錯誤，學(xué)習(xí)如此，未來的生活也如此。學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤是生成性的教育資源，教師只有放寬心態(tài)，理性分析，智慧地把握，才能使錯誤資源發(fā)揮真正的教育價值。（ 作者為浙江教育學(xué)院教授

54、）聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列八: 用研究的心態(tài)面對每一堂課今天的新課程改革，已越來越強(qiáng)調(diào)理念向?qū)嵺`轉(zhuǎn)化，課程向教學(xué)轉(zhuǎn)化，教材向教師轉(zhuǎn)化。在轉(zhuǎn)化過程中，教師的日常教學(xué)勢必會遇到形形色色的新問題，出現(xiàn)各種各樣的新矛盾。面對這些問題與矛盾，需要教師以研究者的姿態(tài)出現(xiàn)在教學(xué)實踐的情境中，通過研究分析問題、破解矛盾，使教學(xué)實踐呈現(xiàn)出新的狀態(tài)和水平。把研究作為生存的方式教師不只是教學(xué)者、學(xué)習(xí)者，同時還應(yīng)該成為一個研究者。教師要實現(xiàn)自己的專業(yè)發(fā)展，成為一個專家型的教師，僅僅靠自己原有的知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。信息化時代的到來和教育教學(xué)改革，都要求教師不斷更新自身知識結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)變一味向?qū)W生傳授既定知識的做法，通過學(xué)習(xí)賦予教學(xué)新

55、的元素，實現(xiàn)與學(xué)生的結(jié)伴成長、共同發(fā)展。另外，教師在教學(xué)中遇到的新問題、新矛盾，幾乎都沒有現(xiàn)成答案。專家能提供的是關(guān)于解決問題的一般認(rèn)識，但很難提供解決問題的具體方法。教師只有拿起研究的武器，實現(xiàn)由實踐者向研究者的轉(zhuǎn)化，才能切實形成解決問題的新思路，找到破解矛盾的新方法。在這種情況下，學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究已經(jīng)成了教師生活中不可或缺的部分。學(xué)習(xí)與教學(xué)并駕齊驅(qū)，教學(xué)與研究雙向互動，學(xué)習(xí)與研究相互促進(jìn)，成為教師職業(yè)存在的新方式。把問題作為研究的起點教師的教學(xué)研究與專業(yè)研究有著根本性的差別。它自始至終是在教學(xué)現(xiàn)場進(jìn)行的，是以教師自身為研究主體的，是以解決實際問題為指向、以改進(jìn)教學(xué)實踐為衡量標(biāo)準(zhǔn)的。在日常教學(xué)中，難免會存在這樣或那樣的問題。這些問題因其新穎性、不確定性、復(fù)雜性等完全有可能成為研究的對象。比如，一位教師對二年級數(shù)學(xué)關(guān)于概率的初步認(rèn)識“可能、一定”進(jìn)行教學(xué)時，作了這樣的教學(xué)設(shè)計 : 先讓孩子們從裝有 3 個黃球和 3 個白球的盒子里摸出一個球，讓孩子們感受“可能”可能是黃球也可能是白球; 然后再讓孩子從裝有6 個黃球 （ 沒有白球 ） 的盒子里摸出一個球，讓孩子們感受“一定”一定是黃球，不可能是白球，并且告訴孩子們假如能摸出白球的話有獎。沒想到，在實際教學(xué)中，當(dāng)?shù)诙€孩子摸出黃球后，第三個孩子拒絕再摸，而是說出了這樣一番話: “我肯定這盒子