2018版高中數(shù)學第1章解三角形章末分層突破學案新人教B版必修5

1、第 1 章解三角形章末分層突破I IM固層知識整臺、自我校對a b c = = sinAsinBsinC2已知兩角和其中一邊2 2 23c=a+b 2abcosC4已知三邊15S= acs inB丁m b亠+ c一ZfrccosA b =+c 2。匚cioffiB余便定理稱三角形推論羅三角形I已知兩迪和它忙I的夾角1;2I提升層能力強化利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三個獨立元素（至少一條邊）求出其他元素的過程三角形中的元素有基本元素（邊和角）和非基本元素（中線、高、角平分線、外接圓半徑和內切圓半 徑），解三角形通常是指求未知的元素，有時也求三角形的面積解斜三角形共包括四種類

2、型：（1）已知三角形的兩角和一邊（一般先用內角和求角或用正 弦定理求邊）；（2）已知兩邊及夾角（一般先用余弦定理求第三邊）；（3）已知三邊（先用余弦定理求角）；（4）已知兩邊和一邊的對角（先用正弦定理求另一邊的對角或先用余弦定理求第三 邊，注意討論解的個數(shù)）.卜例ABC勺內角A B,C的對邊分別為a,b,c,as inA+csinC-.2asinC=bsin B（1）求角B的大小;若/A= 75,b= 2,求a,c.【精彩點撥】（1）用正弦定理將已知關系式變形為邊之間的關系，然后利用余弦定理求解（2）先求角C,然后利用正弦定理求邊a,c.【規(guī)范解答】由正弦定理得a2+c2- 2ac=b2.由余

3、弦定理得b2=a2+c2- 2accosB故 cosB=三，因此/B= 45 .(2)sinA= sin(30 + 45)=sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45由已知得，/ C= 180- 45- 75= 60,再練一題2 21.在厶ABC中，角AB, C所對的邊長分別為a,b,c,設a,b,c滿足條件b+c-故a=bxsinsinB=1+ ,3.2 + “64c=bx心=2XsinBsin 60sin 45=,6.32c1廠bc=a和= 2 +. 3，求/A和 tanB的值.【導學號：18082014】4ZA/B= 120/B.由已知條件，應用正弦定理1- c sinC

4、 Li 12i廣B2+3=b=SiTB=SnBsin 120 cosBcos 120 sinBsinB.3112tanB+2，從而tan B=2.主題2正、余弦定理將三角形中的邊和角關系進行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結合，通?？梢岳谜?余弦定理完成證明、求值等問題.(1) 解三角形與向量的交匯問題，可以結合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉化求 解.(2) 解三角形與其他知識的交匯問題，可以運用三角形的基礎知識、正余弦定理、三角 形面積公式與三角恒等變換，通過等價轉化或構造方程及函數(shù)求解例在厶ABC中，角A,B, C的

5、對邊分別為a,b.c,4sin2A2B cos 2C=,a+b=5,c=7.(1) 求角C的大??；(2) 求厶ABC的面積.【精彩點撥】(1)先降幕，轉化成 cosC的方程，求出 cosC,進而求出角C; (2)由余弦定理列方程，得方程組，求出a,b,再求面積.2A+B7【規(guī)范解答】(1)由 4sin2 cos 2C=刁2C7得 4cos cos 2C= ,1 + cosC27所以 4 - (2cosC 1) =整理，得 4cosC 4cosC+ 1 = 0,1解得 cosC= 2，【解】由余弦定理cosA=.2 2 2b+ca2bc12，因此/A= 60 .在厶ABC中，/C= 1805所以

6、ZC= 60.由余弦定理，得c2=a2+b2 2abcosC2 2即 7 =a+b-ab.又因為a+b= 5,所以a2+b2+ 2ab= 25.聯(lián)立，解得ab= 6.11 J3所以&ABC=，absinC=空x6x方=-.再練一題2. ABC勺內角A B,C的對邊分別為a,b, c,已知 2cosC(acosB+bcosA) =c.(1)求/ C;若c=7,ABC的面積為32T，求ABC勺周長.【解】(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB+ sinBcosA) = sinC,即 2cos Csin(AB) = sin C,故 2sinCcosC=sinC1n可得 cosC= 2

7、所以/C= -3.由已知得absinC=n又/ 石，所以ab= 6.3由已知及余弦定理得a2+b2- 2abcosC= 7,故a2+b2= 13,從而(a+b)2= 25.所以ABC的周長為 5 +7.正、余弦定理的實際應用正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等 .解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標在 示意圖中（目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關系），最后確定用哪個定理轉化， 用哪個定理求解，并進行作答，解題時還要注意近似計算的要求例在某海濱城市附近海面有臺風，據監(jiān)測，當前臺風中心位于城市0（如圖 1-1）的東偏南0

8、cosB=方向 300 km 的海面P處，并以 20 km/h 的速度向西偏北 45方 向移動.臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為 60 km,并以 10 km/h 的速度不斷增大問 幾小時后該城市開始受到臺主題36風的侵襲 .7圖 1-1【精彩點撥】 設臺風中心在t小時后由P到Q所以在OPQK OP=300,/OP0- 45，PQ=20t,可由余弦定理求出OQ城市O受到臺風的侵襲，需滿足條件O&10t+ 60 ,然后通過解不等式求出城市O受到臺風侵襲的時間.【規(guī)范解答】設在時刻t(h)臺風中心為Q,此時臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑為 (10t+60)km，若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，貝U O

9、Qs10t+ 60.由余弦定理，知OQ=PQ+PO2PQ- PCCos /OPQ因為PO=300 km ,PQ=20tkm ,cos/OPQcos(0 45)=cos0cos 45 +sin0sin 45= “ x +: 1所以O(20t)2+ 3002 2X20tx300 x；52 2 2=20t 9 600t+ 300 .又因為OQs10t+ 60,2 2 2 2所以 20t 9 600t+ 300w(10t+ 60),2即t36t+288W0,解得 12wtw24.所以 12 個小時后該城市開始受到臺風的侵襲再練一題3.如圖 1-2，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC小區(qū)的兩個出入口設置在點

10、A及點C處,小區(qū)里有兩條筆直的小路AD DC且拐彎處的轉角為 120 .已知某人從C沿CD走到D用了 10 分鐘，從D沿DA走到A用了 6 分鐘若此人步行的速度為每分鐘50 米，求該扇形的半徑OA的長(精確到 1 米).8圖 1-29【解】 法一：設該扇形的半徑為r米，由題意，得CD=500 米，D2300米，/CDO=60在厶CDOh CD+OD2 CD OD-cos 60 =OC,221即 500+（r300）2X500 x（r300）x空=r,解得r= 900445（米）.法二：連接AC作OHL AC交AC于點H,由題意，得CD=500 米，AD=300 米，/CD= 120.在厶ACD

11、中,AC=cD+AD 2 CD- AD-cos 120 = 5002+ 300212+2X500 x300X =700, AC= 700（米）.AC+ADcD11cos/CA=2AC- AD=歷11在 Rt HAO中,AH=350（米）,cos /HAO ,14二OA= /面=445（米）. cos /HAO11三角形形狀的判斷般來說，判斷三角形的形狀問題常用的方法有兩種：(1)通過邊之間的關系判斷形狀;(2)通過角之間的關系判斷形狀.正弦定理、 余弦定理在解題中起到將已知條件中的邊、 角互 化，把條件化為邊之間的關系或化為角之間的關系的作用例在厶ABC中，已知/B=60, 2b=a+c,試判

12、斷ABC的形狀.【精彩點撥】 通過正弦定理，把 2b=a+c化邊為角判斷或通過余弦定理,1=2 化角為邊判斷【規(guī)范解答】 法一：由正弦定理，得2sinB= sinA+ sinC因為/B= 60，所以/陽所以/A= 120/C.代入上式，得 2sin 60 = sin（120 C+ sin C.整理，得 * inC+ cosC= 1,即 sin（C+ 30 ） = 1.所以/C+ 30= 90,/ O 60.所以/A= 60 .所以ABC為等邊三角形.主軀4利用 cosB102 2 2法二：由余弦定理，得b=a+c-2accos B.1 12 2 2代入b= 2(a+c)，得 4(a+c) =a

13、+c2 2化簡，得a+c 2ac= 0,2即(ac) = 0,所以a=&,ABC為等腰三角形又因為/B= 60,所以ABC為等邊三角形再練一題4.在厶ABC中，若 sinA+ cos7A=祛則這個三角形是2ac12.11B.直角三角形D.等邊三角形A.鈍角三角形C.銳角三角形【解析】法一：若/AW90，則sinA+ cosA= 2sin(A+ 45 90，故選 A.法二： sin72cos A=祛249 (sinA+cos=面,491+2sinAcos A=面，95 sinA cosA= 288 0./00， cosA0,90 ZA 180，故選 A.【答案】 A轉化與化歸思想轉化與化歸思想用

14、于研究、解決數(shù)學問題時思維受阻或尋求簡把一種狀況轉化為另一種狀況，也就是轉化為另一種情境，使問題得到解決，這種轉化是解決問題 的有效策略，同時也是成功的思維方式.主聽5本章主要是綜合運用正、余定厶ABC的形狀.【精彩點撥】 充分運用正弦定理和余弦定理，可利用邊的關系判斷，也可轉化為角的12.2 2 2b+c-a2bc所以a=b.又因為(a+b+c)(a+b-c) = 3ab,所以(a+b)1 2-c2= 3ab,所以 4b2c2= 3b2.所以b=c,所以a=b=c.因此ABC為等邊三角形.法二：因為/AZB+ZC= 180,所以 sinC= sin(A+ B).又因為 2cosAsinB=

15、sin C,所以 2cosAsin B= sinAcos B+ cosAsin B, 所以 sin(A-B) = 0.因為ZA、ZB均為三角形的內角，所以ZA=ZB.又由(a+b+c)(a+b-c) = 3ab.2 2 2 2 2得(a+b) -c= 3ab,即卩a+b-c=ab.1222a+bab=c，- cosC= ,/C= 60由acosB=bcosA,得2RsinAcosB=2RsinBcosA(RABC外接圓的半徑),二 sin(A-B) = 0,.ZA-ZB= 0,關系來判斷【規(guī)范解答】由正弦定理，得sinC csinBb.又 2cosAsin B= sinC,所以 cosA=si

16、nC c2sinB= 2b由余弦定理，有cosA=b2+c2-a22bc所以c2b所以 cosC=ab= 120= 2.13因為 0 ZC180,所以ZC= 60 因此ABC為等邊三角形.再練一題233323=c，得a+bc=c(a+b) c,5.已知ABC中,a+b-c=c2，且acosB= bcosA,試判斷ABC的形狀.【解】a+b-c14./A=ZB=ZC= 60,.AABC為等邊二角形拓展層鏈授高考21. ABC的內角A,B, C的對邊分別為a,b,c,已知a= 5,c= 2, cosA= 3 貝 Ub=( )A. 2B. 3C.2D.322 【解析】由余弦定理得 5 =b2+ 4

17、2Xbx2X-,31解得b= 3 或b=-(舍去)，故選 D.【答案】 D2 22. ABC中，角A, B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a= 2b(1 sinA)，則/A又由/A+ZB+ZC=n得/B=- 由正弦定理及a2=2b2(1 sinA)得2 2sinA= 2sinB(1 sinA)A.3n4n nB. C. 4 D.【解析】b=c，- /B=ZC即 sin2A= 2cos2A(1 sinA),2A2A即4sin2cos2=2cossinA),整理得 cos 今 1 sinA-2sin2A=0，A) = 0./ 0ZAn ,nA o22，二cos礦 o,sinA),1即 si

18、n2A= 2sin2即 cosAsin15 cosA= sinA又 0ZAn,16【答案】C2n廠b3.在厶ABC中，/A=,a= 3c,則三=2n【解析】在厶ABC中，/A2 . 22亠厶兒口H 2 .22 . a=b+c 2bccosp，即a=b+c+be.3/a= 3C,.3C2=b2+c2+bc,.b2+bc 2c2= 0,b(b+2c)(bc) = 0, bc= 0,.b=c,. 一 = 1.c【答案】 14.在厶ABC中，內角A,B C所對應的邊分別為a,b,c.已知asin 2B=3bsinA.(1)求/ B；1若 cosA= 3,求 sinC的值.3【解】 在厶ABC中，由-AA=sinAsinB可得asinB=bsinA又由asin 2B=3bsin A,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,1 % 2由 cosA= 3,可得 sinA=，則sinC=sinn (A+E)=sin(A+E)=sin5.在厶ABC中，內角A,B C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c= 2acosB(1) 證明：/A= 2/B；2(2) 若 cosB= 3,求 cosC的值.3【解】證明：由正弦定理得 si