數(shù)學(xué)建模方法詳解三種最常用算法

1、數(shù)學(xué)建模方法詳解-三種最常用算法一、層次分析法層次分析法1 ( analytic hierarchy process AHP)是美國著名的運(yùn)籌學(xué)家 T. L. Saaty教授于20世紀(jì)70年代初首先提出的一 種定性與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策方法2， 3， 4 該方法是社會、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)決策的有效工具，目前在工程計劃、資源分配、方案排序、政策制定、沖突問題、性能評價等方面都有廣泛的應(yīng)用(一 ) 層次分析法的基本原理層次分析法的核心問題是排序，包括遞階層次結(jié)構(gòu)原理、測度原理和排序原理5 下面分別予以介紹1 遞階層次結(jié)構(gòu)原理一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問題可以分解為它的組成部分或因素，即目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等每一個因素

2、稱為元素按照屬性的不同把這些元素分組形成互不相交的層次，上一層的元素對相鄰的下一層的全部或部分元素起支配作用，形成按層次自上而下的逐層支配關(guān)系具有這種性質(zhì)的層次稱為遞階層次2 測度原理決策就是要從一組已知的方案中選擇理想方案，而理想方案一般是在一定的準(zhǔn)則下通過使效用函數(shù)極大化而產(chǎn)生的然而對于社會、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的決策模型來說，常常難以定量測度因此，層次分析法的核心是決策模型中各因素的測度化3 排序原理層次分析法的排序問題，實質(zhì)上是一組元素兩兩比較其重要性，計算元素相對重要性的測度問題.（二）層次分析法的基本步驟層次分析法的基本思路與人對一個復(fù)雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一致的1 .1 .成對

3、比較矩陣和權(quán)向量為了能夠盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高結(jié)果的準(zhǔn)確度.T. L. Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比，二是對比時采用相對尺度.假設(shè)要比較某一層n個因素C1,。對上層一個因素。的影響，每次取兩個因素G和Cj ,用a。表示Ci和Cj對O的影響之比，全 部 比 較 結(jié) 果 可 用 成 對 比 較 陣1 A aj, aij 0,aji 一表小，A稱為正互反矩陣.n naj一般地，如果一個正互反陣 A滿足：2j ajk aik, i, j,k 1,2,L ,n（1）則A稱為一致性矩陣，簡稱一致陣.容易證明 n階一致陣A有下列性質(zhì)：A的秩為

4、1, A的唯一非零特征根為n;A的任一列向量都是對應(yīng)于特征根 n的特征向量.如果得到的成對比較陣是一致陣，自然應(yīng)取對應(yīng)于特征根n的、歸一化的特征向量（即分量之和為1）表示諸因素C1, ,Cn對 上層因素。的權(quán)重，這個向量稱為權(quán)向量.如果成對比較陣A不是一致陣，但在不一致的容許范圍內(nèi)，用對應(yīng)于A最大特征根（記作）的特征向量（歸一化后）作為權(quán)向量 w ,即w滿足：Aw w（2）直觀地看，因為矩陣A的特征根和特征向量連續(xù)地依賴于矩陣的元素a。，所以當(dāng)兩離一致性的要求不遠(yuǎn)時，A的特征根和特征向量也與一致陣的相差不大.（2）式表示的方法稱為由成對比較陣求權(quán)向量的特征根法.2 .比較尺度當(dāng)比較兩個可能具有

5、不同性質(zhì)的因素 Ci和Cj對于一個上層因素。的影響時，采用Saaty等人提出的1 9尺度，即a。的取值范 圍是1,2, ,9及其互反數(shù)1,1/2, ,19 .3 . 一致性檢驗成對比較陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對應(yīng)于特征根的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量，其不一致程度應(yīng)在容許范圍內(nèi).若已經(jīng)給出n階一致陣的特征根是n,則n階正互反陣A的最大特征根n ,而當(dāng) n時A是一致陣.所以 比n大得越多，A的不一致程度越嚴(yán)重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大.因而可以用n數(shù)值的大小衡量A的不一致程度.Saaty將CI n（3）n 1定義為一致性指標(biāo).CI 0時A為一致陣；CI越大A的不一致程度

6、越嚴(yán)重.注意到 A的n個特征根之和恰好等于n,所以CI相當(dāng) 于除 外其余n 1個特征根的平均值.為了確定A的不一致程度的容許范圍，需要找到衡量 A的一致性指標(biāo)CI的標(biāo)準(zhǔn)，又引入所謂隨機(jī)一致性指標(biāo) RI ,計算RI的過程是：對于固定的n ,隨機(jī)地構(gòu)造正互反陣A ,然后計算A的一致性指標(biāo)CI .表1隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值n1234567891011RI000. 580. 901. 121. 241. 321. 411. 451. 491. 51性指標(biāo)CI與同階(指n相同)的隨機(jī)一致性指標(biāo) RI之比稱為一致性比率CR,當(dāng)表中n 1,2時RI 0 ,是因為1,2階的正互反 陣總是一致陣.對于n 3的

7、成對比較陣A,將它的一致八 CI/八CR 0.1(4)RI時認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量.對于A利用(3) , (4)式和表1進(jìn)行檢驗稱為一致性檢驗.當(dāng)檢驗不通過時，要重新進(jìn)行成對比較，或?qū)σ延械腁進(jìn)行修正.4 .組合權(quán)向量由各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)向量和各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)向量，計算各方案對目標(biāo)的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量.一般地，若共有s層,則第k層對第一層(設(shè)只有1個因素)的組合權(quán)向量滿足：kk k 1w W w , k 3,4L ,s(5)其中W k是以第k層對第k 1層的權(quán)向量為列向量組成的矩陣.于是最下層對最上層的組合權(quán)向量為：ws W sW s1 L W 3 w

8、2(6)5 .組合一致性檢驗在應(yīng)用層次分析法作重大決策時，除了對每個成對比較陣進(jìn)行一致性檢驗外，還常要進(jìn)行所謂組合一致性檢驗，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù).組合一致性檢驗可逐層進(jìn)行.如第RIiP ,L ,RInP ,定義p層的一致性指標(biāo)為 CIiP, ,CInP(n是第p 1層因素的數(shù)目)，隨機(jī)一致性指標(biāo)為CI PCI1P ,L ,CInP wPRI PRI1P ,L ,RInP wP則第P層的組合一致性比率為：n CI PCRP -,P 3,4,L ,sRI P第P層通過組合一致性檢驗的條件為 CR P 0.1 .定義最下層(第s層)對第一層的組合一致性比率為：sPCR* CR

9、(8)P 2對于重大項目，僅當(dāng)CR*適當(dāng)?shù)匦r，才認(rèn)為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗.層次分析法的基本步驟歸納如下：(1)建立層次結(jié)構(gòu)模型在深入分析實際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次.同一 層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用，而同一層的各因素之間 盡量相互獨立.最上層為目標(biāo)層，通常只有 1個因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有 1個或幾個層次，通常稱為準(zhǔn)則或指標(biāo)層，當(dāng)準(zhǔn)則過多時（比如多于9 個）應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層（2） 構(gòu)造成對比較陣從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于從屬于上一層每個因素的同一

10、層諸因素，用成對比較法和1 9比較尺度構(gòu)造成對比較陣，直到最下層（3） 計算權(quán)向量并做一致性檢驗對于每一個成對比較陣計算最大特征根及對應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)，隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，重新構(gòu)造成對比較陣（4） 計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗利用公式計算最下層對目標(biāo)的組合權(quán)向量，并酌情作組合一致性檢驗若檢驗通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率CR較大的成對比較陣.（ 三 ） 層次分析法的優(yōu)點1 系統(tǒng)性 層次分析把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策

11、，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具2 實用性 層次分析把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應(yīng)用范圍很廣同時，這種方法將決策者與決策分析者相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可了解層次分析的基本原理和掌握它的基本步驟，計算也非常簡便，且所得結(jié)果簡單明確，容易為決策者了解和掌握（四 ） 層次分析法的局限性層次分析法的局限性可以用囿舊、粗略、主觀等詞來概括第一，它只能從原有的方案中選優(yōu)，不能生成新方案；第二，它的比較、判斷直到結(jié)果都是粗糙的，不適于精度要求很高的問題；第三，從建立層次

12、結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人的主觀因素的作用很大，這就使得決策結(jié)果可能難以為眾人接受.當(dāng)然,采取專家群體判斷的方法是克服這個缺點的一種途徑.（五）層次分析法的若干問題層次分析法問世以來不僅得到廣泛的應(yīng)用而且在理論體系、計算方法等方面都有很大發(fā)展，下面從應(yīng)用的角度討論幾個問題.1 .正互反陣最大特征根和對應(yīng)特征向量的性質(zhì)成對比較陣是正互反陣.層次分析法中用對應(yīng)它的最大特征根的特征向量作為權(quán)向量，用最大特征根定義一致性指標(biāo)進(jìn)行一 致性檢驗.這里人們碰到的問題是：正互反陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指標(biāo)的大小是否反映它接近一致 陣的程度，特別，當(dāng)一致性指標(biāo)為零時，它是否就為一致陣.

13、下面兩個定理可以回答這些問題.定理1對于正矩陣A （A的所有元素為正數(shù)）1） A的最大特征根是正單根 ；2） 對應(yīng)正特征向量w （的所有分量為正數(shù)）；AkI3） lim w,其中I 1,1 ,1 , w是對應(yīng) 的歸一化特征向量.k I AkI定理2 n階正互反陣A的最大特征根n；當(dāng)n時A是一致陣.定理2和前面所述的一致陣的性質(zhì)表明，n階正互反陣A是一致陣的充要條件為 A的最大特征根n.2 .正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法眾所周知，用定義計算矩陣的特征根和特征向量是相當(dāng)困難的，特別是矩陣階數(shù)較高時.另一方面，因為成對比較陣是通過定性比較得到的比較粗糙的量化結(jié)果,對它精確計算是不必要的，下

14、面介紹幾種簡單的方法.幕法步驟如下:a.任取n維歸一化初始向量w0 b.計算 wk 1 Awk ,k 0,1,2,Lc. w)k1 歸一化，即令 wk1 wkd.對于預(yù)先給定的精度，當(dāng)|i 1,2,L ,n時，wk 1即為所求的特征向量；否則返回b 1ne.計算最大特征根1%k 1k這是求最大特征根對應(yīng)特征向量的迭代法可任選或取下面方法得到的結(jié)果.(2)和法步驟如下:a.將A的每一列向量歸一化得% ajnaij i 1b.對按行求和得%j 1c.將歸一化i %n%,w1, 2,Ln即為近似特征向量.n Aw .d.計算 1作為最大特征根的近似值.n i i i這個方法實際上是將A的列向量歸一化

15、后取平均值，作為 A的特征向量.n1n(3)根法步驟與和法基本相同，只是將步驟 b改為對%按行求積并開n次方，即%.根法是將和法中求列向量的算j i術(shù)平均值改為求幾何平均值.3 .為什么用成對比較陣的特征向量作為權(quán)向量當(dāng)成對比較陣A是一致陣時，aj與權(quán)向量w i, , n的關(guān)系滿a。，那么當(dāng)A不是一致陣時，權(quán)向量 w的選擇應(yīng)使得 a。與，相差盡量小.這樣，如果從擬合的角度看確定w可以化為如下的最小二乘問題:n nmin ai i 1L，n i i j i由(9)式得到的最小二乘權(quán)向量一般與特征根法得到的不同.因為(9)式將導(dǎo)致求解關(guān)于i的非線性方程組，計算復(fù)雜，且不能保證得到全局最優(yōu)解，沒有實

16、用價值.如果改為對數(shù)最小二乘問題:n nminIn aji i iL ,n .2ln (10)則化為求解關(guān)于ln i的線性方程組.可以驗證，如此解得的i恰是前面根法計算的結(jié)果.特征根法解決這個問題的途徑可通過對定理2的證明看出.4 .成對比較陣殘缺時的處理專家或有關(guān)學(xué)者由于某種原因無法或不愿對某兩個因素給出相互比較的結(jié)果,于是成對比較陣出現(xiàn)殘缺.應(yīng)如何修正,以便繼續(xù)進(jìn)行權(quán)向量的計算呢?aj ，i j般地，由殘缺陣A aij構(gòu)造修正陣A %的方法是令%0,aj，i j(11)mi1,m為第i行的個數(shù)，i j表示殘缺.已經(jīng)證明，可以接受的殘缺陣 A的充分必要條件是A為不可約矩陣.（六）層次分析法的

17、廣泛應(yīng)用這個方法在20世紀(jì)80年代初引入我國，很快為層次分析法在正式提出來之后，由于它在處理復(fù)雜的決策問題上的實用性和有效性，很快就在世界范圍內(nèi)得到普遍的重視和 廣泛的應(yīng)用.從處理問題的類型看，主要是決策、評價、分析、預(yù)測等方面.廣大的應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和有關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)人員所接受，得到了成功的應(yīng)用.層次分析法在求解某些優(yōu)化問題中的應(yīng)用5 舉例假設(shè)某人在制定食譜時有三類食品可供選擇：肉、面包、蔬菜.這三類食品所含的營養(yǎng)成分及單價如表所示表2肉、面包、蔬菜三類食品所含的營養(yǎng)成分及單價食品維生素A/(IU/g)維生素B/(mg/g)熱量/(kJ/g)單價/ （元/g）肉0.35270.002111.93

18、0.0275面包00.000611.510.006蔬菜250.00201.040.0.007該人體重為55 kg,每天對各類營養(yǎng)的最低需求為：維生素A 7500國際單位（IU）維生素B1.6338mg熱量 R8548.5kJ考慮應(yīng)如何制定食譜可使在保證營養(yǎng)需求的前提下支出最??？用層次分析法求解最優(yōu)化問題可以引入包括偏好等這類因素.具體的求解過程如下: 建立層次結(jié)構(gòu)根據(jù)偏好建立如下兩兩比較判斷矩陣故第二層元素排序總權(quán)重為W10.75,0.25表4比較判斷矩陣DABRA112B112R0.50.51_ _ _ 11_ _ _ 1max 3,CIi 0,CRi 0, RIi 0.58，主特征向量 W

19、 0.4,0.4,0.2故相對權(quán)重P20.4,0.4,0.2,0第三層組合一致性檢驗問題因為 CI2 CI11CI2 W1 0；RI2RI1RI2 W1 0.435, CR2 CR1 CI 7RI2 0 0.1故第三層所有判斷矩陣通過一致性檢驗，從而得到第三層元素維生素A、維生素 B、熱量 Q及支出E的總權(quán)重為:W2P2W1片P22 W10.3,0.3,0.15,0.25求第四層元素關(guān)于總目標(biāo) W的排序權(quán)重向量時，用到第三層與第四層元素的排序關(guān)系矩陣，可以用原始的營養(yǎng)成分及單價的 數(shù)據(jù)得到.注意到單價對人們來說希望最小，因此應(yīng)取各單價的倒數(shù)，然后歸一化.其他營養(yǎng)成分的數(shù)據(jù)直接進(jìn)行歸一化計算，

20、可得表5表5各營養(yǎng)成分?jǐn)?shù)據(jù)的歸一化食品維生素A維生素B熱量R單價F肉0.01390.44680.48720.1051面包0.00000.12770.47020.4819蔬菜0.98610.42550.04260.4310則最終的第四層各元素的綜合權(quán)重向量為：W3 P3W20.2376,0.2293,0.5331 ,結(jié)果表明，按這個人的偏好,的比例取0.2376:0.2293:0.5331較為合適.引入?yún)?shù)變量，令 x1 0.2376k , x20.2293k , x3 0.5331k ,代入肉、面包和蔬菜LP1則得min f 0.0275xi 0.006x2 0.007x30.3527K 25

21、.0x3 75000.0021% 0.0006x2 0.002x3 1.6338 st11.9300x1 11.5100x2 1.04x3 8548.5min f 0.0116k13.4113k 75000.0017k 1.6338 st6.0282 k 8548.5LP2容易求得k 1418.1,故得最優(yōu)解x*(LP1)336.9350,325.1650,755.9767 ;最優(yōu)值_ *_ _Lt Lt . r .f 16.4497 ,即肉 336.94g,面325.17g,蔬菜755.98g,每日的食品費(fèi)用為16.45元.總之，對含有主、客觀因素以及要求與期望是模糊的優(yōu)化問題，用層次分析法

22、來處理比較適用.二、模糊數(shù)學(xué)法模糊數(shù)學(xué)是1965 年美國控制論專家L. A. Zadeh創(chuàng)立的.模糊數(shù)學(xué)作為一門新興學(xué)科， 它已初步應(yīng)用于模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判等各方面在氣象、結(jié)構(gòu)力學(xué)、控制、心理學(xué)方面已有具體的研究成果.（一 ） 模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系；研究模糊語言和模糊邏輯，并能作出正確的識別和判斷；第三， 研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用（ 二 ） 模糊數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用的可行性1 數(shù)學(xué)建模的意義在于將數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于實際問題6 而模糊數(shù)學(xué)作為一種新的理論，本身就有其巨大的應(yīng)用背景，國內(nèi)外每年都有大量的相關(guān)論文發(fā)表，解決了許

23、多實際問題目前在數(shù)學(xué)建模中較少運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)方法的原因不在于模糊數(shù)學(xué)理論本身有問題，而在于最新的研究成果沒有在第一時間進(jìn)入數(shù)學(xué)建模的教科書中，就其理論本身所具有的實用性的特點而言，模糊數(shù)學(xué)應(yīng)該有助于我們解決建模過程中的實際問題2 數(shù)學(xué)建模的要求是模型與實際問題盡可能相符對實際問題有這樣一種分類方式：白色問題、灰色問題和黑色問題毫無疑問，引進(jìn)新的方法對解決這些問題大有裨益在灰色問題和黑色問題中有很多現(xiàn)象是用“模糊”的自然語言描述的在這種情況下，用模糊的模型也許更符合實際3 數(shù)學(xué)建模活動的目的之一是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神用新理論、新方法解題應(yīng)該受到鼓勵近年來，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、層次分析法等新方法建立模型的論

24、文屢有獲獎，這也說明了評審者對新方法的重視我們相信，模糊數(shù)學(xué)方法應(yīng)該很好，同樣能夠?qū)懗鰞?yōu)秀的論文（三 ） 模糊綜合評判法中的最大隸屬原則有效度在模糊統(tǒng)計綜合評判中，如何利用綜合評判結(jié)果向量b n,以L,bm,其中，0 bj 1, m為可能出現(xiàn)的評語個數(shù)，提供的信息對被評判對象作出所屬等級的判斷，目前通用的判別原則是最大隸屬原則7 在實際應(yīng)用中很少有人注意到最大隸屬原則的有效性問題，在模糊綜合評判的實例中最大隸屬原則無一例外地被到處搬用，然而這個原則并不是普遍適用的最大隸屬原則有效度的測量1 有效度指標(biāo)的導(dǎo)出n在模糊綜合評判中，當(dāng)m1 ajxnbj 1,j 1bj 1時，最大隸屬原則最有效；而在

25、TjaXbj c 0 c 1，nbj nc時，最大隸屬原則完全失效， j1n且max4越大（相對于上1bj而言），最大隸屬原則也越有效.由n此可認(rèn)為，最大隸屬原則的有效性與陰沔在bj中的比重有1jnj1關(guān)，于是令：(12)顯然，當(dāng)maxd "j 1時，則 1為的最大值，當(dāng)下后個"c0 ci,nbj nc時，有"n為 的最小值，即得到的取值范圍為：1n 1 .由j 1于在最大隸屬原則完全失效時，行而不為。，所以不宜直接 用 值來判斷最大隸屬原則的有效性.為此設(shè):(13)則 可在某種程度上測定最大隸屬原則的有效性.而最大隸屬原則的有效性還與泮cbj1secbj的含義是

26、向H b各分U中第二大的分量）的大小有很大關(guān)系，于是我們定義:nsecbjbj1 j n j 1(14)可見:當(dāng) b 1,1,0,0,L ,0 時,取得最大值1/2 .即的取值范圍為0的有效程度越低.因此,當(dāng) b 0,1,0,0,L ,0 時,取得最小值0.般地，值越大最大隸屬原則有效程度越高；而值越大，最大隸屬原則可以定義測量最大隸屬原則有效度的相對指標(biāo):(15)使用指標(biāo)能更準(zhǔn)確地表明實施最大隸屬原則的有效性.2.指標(biāo)的使用從 指標(biāo)的計算公式看出 與 成反比，與 成正比.由 與 的取值范圍，可以討論 的取值范圍:當(dāng) 取最大值， 取最小值時，將取得最小值0;當(dāng) 取最小值，取最大值時，將取得最大

27、值：因為lim ，所以可定義0時，即：00由以上討論，可得如下結(jié)論：當(dāng)時，可認(rèn)定施行最大隸屬原則完全有效；當(dāng)1時，可認(rèn)為施行最大隸屬原則非常有效；當(dāng)0.51時，可認(rèn)為施行最大隸屬原則比較有效，其有效程度即為值；當(dāng) 00.5時可認(rèn)為施行最大隸屬原則是最低效的；而當(dāng)0 時，可認(rèn)定施行最大隸屬原則完全無效有了測量最大隸屬原則有效度的指標(biāo)，不僅可以判斷所得可否用最大隸屬原則確定所屬等級，而且可以說明施行最大隸屬原則判斷后的相對置信程度，即有多大把握認(rèn)定被評對象屬于某個等級討論a在很多情況下，可根據(jù)值的大小來直接判斷使用最大隸屬原則的有效性而不必計算值根據(jù)與 之間的關(guān)系，當(dāng)0.7，且 n 4時，一定存在

28、1 通常評價等級數(shù)取4和 9之間，所以n 4這一條件往往可以忽略，只要0.7就可免算值，直接認(rèn)定此時采取最大隸屬原則確定被評對象的等級是很有效的b如果對 bb1,b2,L ,bm 進(jìn)行歸一化處理而得到b ，則可直接根據(jù)b 進(jìn)行最大隸屬原則的有效度測量（四 ） 模糊數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)有諸多分支，應(yīng)用廣泛如模糊規(guī)劃、模糊優(yōu)化設(shè)計、綜合評判、模糊聚類分析、模糊排序、模糊層次分析等等這些方法在工業(yè)、軍事、管理等諸多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用舉例 帶模糊約束的最小費(fèi)用流問題8問題的提出最小費(fèi)用流問題的一般提法是：設(shè)D V,A,c,是一個帶出發(fā)點vs和收點vt的容量-費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)，對于任意M,VjA, Cj表

29、示弧M,Vj上的容量，j表示弧mm上通過單位流量的費(fèi)用，V。是給定的非負(fù)數(shù)，問怎樣制定運(yùn)輸方案使得從Vs到Vt恰好運(yùn)輸流值為V0的流且總費(fèi)用最?。咳绻ＭM可能地節(jié)省時間并提高道路的通暢程度，問運(yùn)輸方案應(yīng)當(dāng)怎樣制定？模型和解法問題可以歸結(jié)為：怎樣制定滿足以下三個條件的最優(yōu)運(yùn)輸方案？從Vs到Vt運(yùn)送的流的值恰好為V0； (2)總運(yùn)輸費(fèi)用最??；(3)在容量Cj大的弧Vi,Vj上適當(dāng)多運(yùn)輸.如果僅考慮條件(1)和(2),易寫出其數(shù)學(xué)模型為:ijfijminV ,Vj(M )s.tf .f.1 SjjsV s,VjAVj ,vsAfjtftjV t，VjAVj,Vt AffijjiV ，VjAVj ,

30、V|AV0Vo0 Vi V,. Vs,Vt0 fijcj0,o cj c把條件(3)中的“容量大”看作A上的一個模糊子集的，定義其隸屬函數(shù)：A 0,1為：jAo Vi,Vj陞 /Ad cij c %1 e , c ij c ，1_、一其中c A gcj (平均容量)vi,vj0,d 11_ 2lg J A gCjc,Vi ,Vj AA 1gGjc 1Vi ,vjA1_ 2A g % c 1Vi ,VjA建立j是為了量化“適當(dāng)多運(yùn)輸”這一模糊概念.對條件（2）作如下處理：對容量Cj大的弧M,Vj ,人為地降低運(yùn)價j ,形成“虛ij 1 k ,Vi,Vj A.其中k是正參數(shù)，它擬運(yùn)價” 一j ,其

31、中一j滿足：cj越大，相應(yīng)的一j的調(diào)整幅度也越大.選取一j為一j 反映了條件（2）和條件（3）在決策者心目中的地位.決策者越看重條件 （3）, k取值越??；當(dāng)k取值足夠大時，便可忽略條件（3）. 一 般情況下，合適的k值最好通過使用一定數(shù)量的實際數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬、檢驗和判斷來決定.最后，用 代替原模型M中的j ,得 到一個新的模型M .用現(xiàn)有的方法求解這個新的規(guī)劃問題，可期望得到滿足條件 （3）的解.模型的評價 此模型在原有的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型和解法的基礎(chǔ)上，增加了模糊約束.新模型比較符合實際，它的解包含了原模型 的解，因而它是一個較為理想的模型.隸屬度的確定在模糊數(shù)學(xué)中有多種方法，可以根據(jù)不同的實際問

32、題進(jìn)行調(diào)整.同樣的思想 方法可以處理其他的模糊約束問題.三、灰色系統(tǒng)客觀世界的很多實際問題，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征 并未全部被人們了解，對部分信息已知而部分信息未知的系 統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng).灰色系統(tǒng)理論是從系統(tǒng)的角度出 發(fā)來研究信息間的關(guān)系，即研究如何利用已知信息去揭示未 知信息.灰色系統(tǒng)理論包括系統(tǒng)建模、系統(tǒng)預(yù)測、系統(tǒng)分析 等方面.（一 ） 灰色關(guān)聯(lián)分析理論及方法灰色系統(tǒng)理論9 中的灰色關(guān)聯(lián)分析法是在不完全的信息中，對所要分析研究的各因素，通過一定的數(shù)據(jù)，在隨機(jī)的 因素序列間，找出它們的關(guān)聯(lián)性，找到主要特性和主要影響 因素.計算方法與步驟：1原始數(shù)據(jù)初值化變換處理分別用時間序列k的第一

33、個數(shù)據(jù)去除后面的原始數(shù)據(jù),得出新的倍數(shù)列，即初始化數(shù)列，量綱為一，各值均大于零, 且數(shù)列有共同的起點.2.求關(guān)聯(lián)系數(shù)mjnmjn|xok 九 Imax max | Xo k Xk I1k1k|Xok Xik Imax max I Xo k XkI3 .取分辨系數(shù)011 n4 .求關(guān)聯(lián)度rik 7k1 ik( 二 ) 灰色預(yù)測1 灰色預(yù)測方法的特點（1） 灰色預(yù)測需要的原始數(shù)據(jù)少，最少只需四個數(shù)據(jù)即可建模；（2） 灰色模型計算方法簡單，適用于計算機(jī)程序運(yùn)行，可作實時預(yù)測；（3） 灰色預(yù)測一般不需要多因素數(shù)據(jù)，而只需要預(yù)測對象本身的單因素數(shù)據(jù)，它可以通過數(shù)據(jù)本身的生成，尋找系統(tǒng)內(nèi)在的規(guī)律；（4）

34、灰色預(yù)測既可做短期預(yù)測，也可做長期預(yù)測，實踐證明，灰色預(yù)測精度較高，誤差較小2 灰色預(yù)測GM（1， 1）模型的一點改進(jìn)一些學(xué)者為了提高預(yù)測精度做出了大量的研究工作，提出了相應(yīng)的方法本文將在改善原始離散序列光滑性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究GM（1， 1）預(yù)測模型的理論缺陷及改進(jìn)方法10 問題的存在及改進(jìn)方法如下：傳統(tǒng)灰色預(yù)測GM（1， 1）模型的一般步驟為：k（1） 1-ADO對原始數(shù)據(jù)序列 xok k 1,2,L ,n進(jìn)行一次累加生成序列x1kXo ik 1,2,L ,ni12）對x0 數(shù)列進(jìn)行光滑性檢驗：x0 kx1 k 1xo k0, % ,當(dāng) k % 時：x0 i i 1x0 k,，、， ，一

35、，一文獻(xiàn)11進(jìn)一步指出只要 二0 為k的遞減函數(shù)即可.x0 i i 1(3)對 X作緊鄰生成：Zk*X1k 11*X1 k ,k 2,3,L ,n一般取 0.5dx 1ax 1b(16)dt為灰色微分方程x0 k aZ1 kb的白化方程.(4)按最小二乘法計算參數(shù)a, b(5)解(16)式并進(jìn)行離散化得模擬序列 元和x0的計算公式：x1klx01 ba exp ak ba，其中k 0,1,2,L,nx0kl x1kl x1k1 exp a * x01 ba exp ak , 其中 k 1,2,L并假定Xix11 x01文獻(xiàn)12,13指出：假定x11 x11 x01的理由是不充分的，文獻(xiàn)14認(rèn)為

36、應(yīng)當(dāng)以最后一個x1n為已知條件來確定微分方程中常數(shù)項Cm的值，理由是最后一個數(shù)據(jù)是最新的，最能反映實際情況.同時文獻(xiàn)15又進(jìn)一步提出常數(shù)Cm的確定，由于數(shù)據(jù)序列中的每一個數(shù)據(jù)都帶有一定的隨機(jī)誤差和壞數(shù)據(jù)，所以應(yīng)當(dāng)將n個數(shù)據(jù)都分別進(jìn)行計算來確定n個不同的最后選出平均相對誤差最小的一個Cm,該方法進(jìn)一步提高了預(yù)測精度.但這兩種方法都有共同的特點，就是常數(shù)Cm都局限于Xk序列來確定，理論上真正最佳的Cm并不一定要由Xik序列中數(shù)據(jù)來確定，本文提出一種新的理論方法來確定較優(yōu)的Cm值.分析過程如下：dx «解微分方程dx1 axi b dt得x1tcm*exp ata/b (其中Cm為待定常數(shù)

37、)將上式用差分代替微分進(jìn)行離散化得到：X1kl Cm*exp at b/a, k 0,1,2,L , n(17)進(jìn)行累減還原得：x0 k iXi k i Xi kCm* 1 exp a *exp ak , k 1,2,L ,n(18)令C Cm 1 exp a并分別帶入(17) (18)可以得出：1x1klc* 1 exp a exp ak b/a, k 0,1,2,L ,n(19)x0kl c*exp ak , k 1,2,3, L ,n(20)一，一，一，一一，一、，1n一、一人一一，、一I可以看出x0k1 , k 1,2,L ,n都是c的函數(shù).平均相對誤差- k是衡量預(yù)測精度的一個重要指

38、標(biāo)，設(shè) k k 1,2,L ,n是n k i相對誤差向量，理想的一應(yīng)該滿足k k 1,2,L ,n充分接近誤差標(biāo)準(zhǔn)量10段4，0 .如果將向量看作是n維空間中的一個點的 n話，那么只需這兩個點的距離最小即可，于是得21 n exp a i 1x0 1 b a 1 exp ai 2x0 i11 exp a n exp a i 1(21)x0 1i 2x0 i在實際應(yīng)用中，為了便于計算也常將第一項忽略掉，則上式可變成n exp a i 1i 2x0 i2n exp a i 1i 2x0 i(22)（三）灰色系統(tǒng)的應(yīng)用灰色系統(tǒng)是一門處理“少數(shù)據(jù)不確定性”的新興學(xué)科，具有只需少量數(shù)據(jù)就可作系統(tǒng)分析、模

39、型建立、未來預(yù)測、行為決策和過程控制的特點.灰色系統(tǒng)在國內(nèi)生產(chǎn)總值中的應(yīng)用1 .建立灰色預(yù)測模型xk ，灰色預(yù)測15是指以GM(1, 1)模型為基礎(chǔ)的預(yù)測，其建模方法是列出預(yù)測對象歷史發(fā)展時間序列， 并對其進(jìn)行一次迭加得dx k利用模型axk b,然后對模型進(jìn)行檢驗. dt k表6 2002: 2007年GDPS各產(chǎn)業(yè)增加值(億元)根據(jù)上述方法及列出的相應(yīng)數(shù)據(jù)，計算得各指標(biāo)預(yù)測方程如下：年份GDPx0 k第一產(chǎn)業(yè)Xi k第二產(chǎn)業(yè)X2k第二產(chǎn)業(yè)X3 k20022003.07485.17700.76817.1720032175.68506.00788.12881.5620042150.48535.

40、98951.77962.7320052830.46560.001227.381043.0820063495.94711.701595.741180.5020074056.20770.001914.901371. 01(1) GDP 預(yù)測方程為：x0 k 1 10039.07e0.2k e。2 1由于觀察到殘差較大，故考慮用 GM(1, 1)模型進(jìn)行殘差修正.其殘差序列ek生成的預(yù)測模型為：x0k11OO39.O7e0.2 k1其中 k 1,0,333.25e0.4244ke0,24k 1 ,即修正后的預(yù)測模型為:e0.2 1 k 1331.25e0.4244k e0.4244 1k 1k 1利

41、用該模型進(jìn)行預(yù)測可得預(yù)測值. 第一產(chǎn)業(yè)預(yù)測方程為：x1kl3873.98e0.1169k e0.1169 1由于該模型數(shù)據(jù)殘差較小，故直接采用該模型為預(yù)測模型.同理可得第二、第三產(chǎn)業(yè)預(yù)測方程.2 .各指標(biāo)預(yù)測對上述預(yù)測模型進(jìn)行下列關(guān)聯(lián)性檢驗，計算mkn xi k ikXi kX0 ki k0,1,2,3 .3 0.646 ,10.6經(jīng)計算得 0 0.7417,1 0.7978,2 0.859,故預(yù)測模型對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了較高程度的模擬.利用上面預(yù)測模型對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，可得各指標(biāo)預(yù)測值如表7所示:表7 2002: 2007年GD吸各產(chǎn)業(yè)增加值(億元)年份GDPX%k第一產(chǎn)業(yè)%k第二產(chǎn)業(yè)甑第二產(chǎn)

42、業(yè)滋k20022003.07458.17700.76817.1720032047.6480.4778.24856.1620042447.1539.97975.97958.0120052906.6606.931223.91072.020063424.4682.201534.91199.520073990.3766.801924.91342.2根據(jù)上述預(yù)測模型可得未來兩年各相關(guān)數(shù)據(jù)如表 8所示.從預(yù)測結(jié)果看第二產(chǎn)業(yè)發(fā)展勢頭良好，未來兩年將GDPT生較大影響，第一、第三產(chǎn)業(yè)增長速度相對落后第二產(chǎn)業(yè)的增長；由于第三產(chǎn)業(yè)基數(shù)較大，因此也提示我們今后應(yīng)大力發(fā)展第三產(chǎn)業(yè).表8 2008: 2009年GD吸各

43、產(chǎn)業(yè)增加值的預(yù)測值（億元）年份GDP%k第一產(chǎn)業(yè)%k第二產(chǎn)業(yè)%k第二產(chǎn)業(yè)%k20084580.0861.8824121501.920095144.8968.763027.31680.53 .灰色關(guān)聯(lián)分析;對新序列Xk ,計算各相關(guān)系數(shù)1,2,3Gk，i 1,2,3關(guān)聯(lián)度是事物之間、因素之間關(guān)聯(lián)性的量度，借助關(guān)聯(lián)度，從而為因素分析提供依據(jù)，為決策提供基礎(chǔ).根據(jù)數(shù)據(jù)，對各序 列作均值化變換：用各序列的平均值除序列的原始數(shù)據(jù)，得新序列（略）min min ikX0 kXi kmax max ikx0 kxi kkX0 kXi kmax max ikx0 kxi kri其中分辨系數(shù) 0.5,k 1,2,3,4,5,6 ;采用鄧氏關(guān)聯(lián)度16得各產(chǎn)業(yè)與GDP的平土勻灰色關(guān)聯(lián)度："（ 計算得各相關(guān)系數(shù)如表9所示.表9計算得各相關(guān)系數(shù)表r1kr2 k3 k1234560.4380.5350.7580.7040.8550.6660.3330.405