2006年北京文科高考數(shù)學(xué)解析版

1、絕密啟用前2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)(文史類)(北京卷)I卷1至2頁(yè)，第n卷3本試卷分第I卷(選擇題)和第 n卷(非選擇題)兩部分，第至9頁(yè)，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘 考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷(選擇題共40分)注意事項(xiàng)：1 .答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。2 .每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)除黑。如需改動(dòng)，用像皮 擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試卷上。一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)設(shè)集合 片&2x+1<3

2、B=&-3<x<2：則AnB等于(A) x -3<x<2>(B) x1<x<2 (C) xx> -3(D) ,xx<1(2)函數(shù)y=1+cosx的圖象(A)關(guān)于x軸對(duì)稱(B)關(guān)于y軸對(duì)稱(C)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(D)關(guān)于直線x=-對(duì)稱2(3)若a與b-c都是非零向量，則"a - b=a - c"是"a _L (b- c)”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件(4)在1, 2, 3, 4, 5這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù) 的共有

3、(A) 36 個(gè)(B) 24 個(gè)(C) 18 個(gè)(D) 6 個(gè)已知f(x) = (3 a”一相力1,是(-8, +*上的增函數(shù),那么a的取值范圍是Jog x,x 之 1，、，、一 3(A) (1,+°°)(B)(-g,3) (C)1-,3 (D)(1,3)一5(6)如果-1 , a,b,c ,-9成等比數(shù)列，那么(A) b=3, ac=9(B) b=-3, ac=9 (C) b=3, ac=-9(D) b=-3, ac=-9(7)設(shè)A、R C D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正硯.的是(A)若AC! BD共面，則 ADT BC面(B)若AC! BD是異面直線，則 AD

4、與BC是異面直線(C)若 ABAC DB=DC 則 AD=BC(D)若 ABAC, DB=DQ 則 AD _L BC(8)下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A B、C的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中 X1、X2'X3,分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段Ab, Bc, Ca的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)(假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等) 則(A) Xi >X2>X3(C) X2>X3>Xi(B) xi>X3>X2(D) X3>X2>Xi絕密啟用前2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)(文史類)(北

5、京卷)本試卷分第I卷(選擇題)和第 n卷(非選擇題)兩部分，第 I卷1至2頁(yè)，第n卷3至9頁(yè)，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘 考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第II卷(共110分)注意事項(xiàng)：題號(hào)一三總分151617181920分?jǐn)?shù)1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。(9)若三點(diǎn)A(2 , 2), B(a,0), C(0,4)共線，則a的值等于(10)在x-2 7的展開(kāi)式中，X3的系數(shù)是 < X )(11)已知函數(shù) f(x) =ax 4a+3的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,2)

6、,那么 a的值等(12)已知向量 a=(cos a ,sin a), b=(cos P ,sin P),且 a0 ± b,那么 a+b 與 a-b 的夾角的大小是.(13)在 ABC中，/ A,/ B,/ C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若 sinAsinB:sinC=5： 7 ：8,貝U a ： b ： c=x y _4,(14)已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件 y主x, 點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO|的最小值等于 x _1,最大值等于.三、解答題：本大題共6小,共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。. 1 sin2x(15)(本小題共12分)已知函數(shù) f(x)=cosx

7、(I )求f(x)的定義域;(n )設(shè)a是第四象限的角，且 tanot =-,求f(ot)的值. 3(16)(本小題共13分)已知函數(shù)f (x) =ax3+bx2+cx在點(diǎn)x0處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)y = f'(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0) , (2,0),如圖所示,求：(I) .的值;(U) a,b,c 的值.(17)(本小題共14分)如圖，ABOABCD是正四棱柱.(I )求證：BD±平面 ACCAi；(n)若二面角G-BD-C的大小為60°，求異面直線BC與 AC所成角的大小.(18)(本小題共13分)某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案方案一：考

8、試三門課程，至少有兩門及格為考試通過(guò)； 方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò)假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是0.5, 0.6, 0.9,且三門課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.求：(I )該應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率；(n )該應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率.(19)(本小題共14分) 22橢圓C：三+=1(a AbA0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且 a b一一 4 14PF1 LFFzIPF 升二，PF 2=|.33(I )求橢圓C的方程；(H)若直線l過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，且A、B 關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線

9、l的方程.(20)(本小題共14分)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn.(I )若aii=0,&4=98,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(n)若ai>6, an>0, Si4< 77,求所有可能的數(shù)列 an的通項(xiàng)公式.答案：一、(1) (8) ABCA DBCC二、(9) 4(10) 84(11) 2(12) |(13) 5: 7: 8 1(14)、,2.10絕密啟用前2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)(文史類)(北京卷)(編輯：寧岡中學(xué)張建華)本試卷分第I卷(選擇題)和第 n卷(非選擇題)兩部分，第 I卷1至2頁(yè)，第n卷3至9頁(yè)，共150分

10、?？荚嚂r(shí)間120分鐘 考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷(選擇題共40分)注意事項(xiàng)：1 .答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。2 .每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)除黑。如需改動(dòng)，用像皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試卷上。三、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng)。(1)設(shè)集合 A=x2x+1<3, &43<x<2t 則 ACB等于(A)(A)3<x<2)(B) &1<x<2 (C)x|x >- 3 (D)x|x

11、<1解：集合A=<2x+1<3匕 xx <1,借助數(shù)軸易得選 A(2)函數(shù)y=1+cosx的圖象(B )(A)關(guān)于x軸對(duì)稱(B)關(guān)于y軸對(duì)稱冗(C)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(D)關(guān)于直線x=-對(duì)稱2解：函數(shù)y=1+cos是偶函數(shù)，故選 B(3)若a與b-c都是非零向量，則"a - b=a c"是"a _L (b- c)”的(C )(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件才-，才 解：a b=a c= a ,b a,c= 0u a*(b。 =0u a 1 (b。故選C(4)在1, 2, 3, 4, 5這五個(gè)

12、數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù) 的共有(A )(A) 36 個(gè)(B) 24 個(gè)(C) 18 個(gè)(D) 6 個(gè)解：依題意，所選的三位數(shù)字只有一種情況：即一偶兩奇，有C；C；a3=36,故選A,(3a)x4a,x< 1,口一，.，舊口(5)已知f(x)=«'是(-oo, +笛)上的增函數(shù)，那么 a的取值范圍是lOga X,X _1(D )(A) (1 , +°o )一 3 一(B)(-二，3)(C),3一 5(D)(1,3)解：依題意，有a>1且3 a>0,解得1<a<3,又當(dāng)x<1時(shí)，(3 a) x 4a<

13、;3 5a,當(dāng)x>1時(shí)，log ax之0,所以35aE0解得a>-,所以1<a<3故選D5(6)如果-1 , a,b,c ,-9成等比數(shù)列，那么(B )(A) b=3, ac=9(B) b=-3, ac=9 (C) b=3, ac=-9(D) b=-3, ac=-9解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac= (1) x ( 9) =9, bxb=9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，故b= 3,選BAC與BD共面與條件矛盾;(7)設(shè)A、R C D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確(A)若AC! BD共面，則 AD B前面(B)若AC! BD是異面直線，則 AD與BC是異面直線(C)若 A

14、BAC DB=DC 則 AD=BC(D)若 ABAC, DB=DQ 則 AD _L BC解：A顯然正確；B也正確，因?yàn)槿?AD與BC共面，則必有C不正確，如圖所示：D正確，用平面幾何與立體幾何的知識(shí)都可證明。選 C(8)下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A、B、CC C C的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中 xx2'x3,分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段AB, BC , CA的(A) x1 >x2>x3(B) x1>x3>x2機(jī)動(dòng)車輛數(shù)(假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等) 則(C )(C) x2>x3&

15、gt;x1(D) x3>x2>x1解：解：依題意，有 x1=50 + x3-55 = x3 5,，x1<x3, 同理，x2= 30+x1 20 = x1+10.x1<x2,同理，x3= 30+x2 35= x2 5, x3<x2故選 C絕密啟用前2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)(文史類)(北京卷)本試卷分第I卷(選擇題)和第 n卷(非選擇題)兩部分，第 I卷1至2頁(yè)，第n卷3 至9頁(yè)，共150分。考試時(shí)間120分鐘 考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第II卷(共110分)注意事項(xiàng)：1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫

16、清楚。題號(hào)一三總分151617181920分?jǐn)?shù)四、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。(9)若三點(diǎn)A(2 , 2), B(a,0), C(0,4)共線，則a的值等于 4。解：aB = ( a-2, 2) , AC = (-2, 2),依題意，向量 aB與期 共線，故有2 (a 2) 4 = 0,得 a=4,f 2、3, 一(10)在x- i的展開(kāi)式中，X3的系數(shù)是84 .(用數(shù)字作答)< x)2解：Ti=C；x7H( )r =(2)rC；x7，令 72r = 3,解得 r = 2,故所求的系數(shù)為(-2)2 02 x=84(11)已知函數(shù) “乂)=2、一4

17、2+3的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,2),那么a的值等于2_二 解：依題意，當(dāng)x=2時(shí)，y=1,代入f (x) =ax4a+3中，得a= 2(12)已知向量 a=(cos a ,sin a), b=(cos 口，sin 口)，且 a# ± b,那么 a+b 與 a-b 的夾角冗的大小是_.-2解：a+b= (cos a + cos P , sin a +sin B ), a- b= (cosot cos P , sin a sin P ),設(shè)a+b與a- b的夾角為日，貝U cos6= 0,故8=2(13)在 ABC 中，/A,/B,/ C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若 sinAsi

18、nB：sin0=5： 7 ：8,貝U a ： b ： c=_5 : 7 : 8,/ B 的大小是 60 口 解：由正弦定理得 sin A: sin B :sin C =5: 7:8 u a b c = 5：78 設(shè) a = 5k, b=7k, c = 8k,由余弦定理可解得/B的大小為(.(14)已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件x y 一 4,<ytx, 點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO|的最小值等于x -1,、:2 ，最大值等于.10解：畫出可行域，如圖所示:易得 A (2, 2),。七 2盤B (1, 3) , O云 廂C (1, 1), OC=夜故|OP|的最大值為聞,最小值為2.三、解

19、答題(本大題共6小題，共80分)(15)(共 12 分)解：(1)由8$*金0 得 xw ku + (kCZ),冗故 f(x)的定義域?yàn)?|x|xw ku + ,k Z(n )因?yàn)閠an a = - ,H a是第四象限的角3所以sin a4= 一,cos a5故 f( a )=1 -sin 2：cos:_ 1 -2sin : cos：cos :4915(16)(共 13 分)解法一：(I)由圖象可知，在(-8,1)上 f'(x)>0,在(1,2)上 f'(x)<0.在(2,+ 8)上 f ' (x)>0.故f(x)在(-8,1),(2,+ 8)上遞增,

20、在(1,2)上遞減.因此f(x)在x=1處取得極大值，所以x0=1.(n ) f ' (x)=3 ax2+2bx+ c,由 f (1)=0, f (2)=0,f(1)=5,3a 2b c = 0,得 12a+4b+c= 0, 解得 a=2,b=-9,c=12. a b c = 5.解法二：(l)同解法一.(n )設(shè) f '(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,又 f (x)=3ax2+2bx+c,所以m3a= ,b=m,c=2m, 32m 332f(x)= x - mx 2mx.32所以 a=2,b=9,c=12.m 3由 f(l)=5, 即 一 m + 2m

21、= 5, 得 m=6. 32(17)(共 14 分)解法一：(1) ABCDA1B1C1D1 是正四棱柱,CCJ平面 ADCD, .-.BD ±CC1. ABCD 是正方形 BD XAC 又AC, CCU 平面 ACC1A1, 且 AC A CC1=C,BD，平面 ACC 1A1.(n )設(shè) BD 與 AC 相交于 O,連接 C1O. CCJ平面 ADCD, . BD ±AC, BD ±C1O,C1OC/是二面角 C1-BD-C 的平面角，C1OC=60o. 連接 A1B. A1C1/AC,. . / A1C1B 是 BC1與AC所成的角.設(shè)BC=a,則 210C

22、O -2 a,CC1 -CO tan60：AB =BC1=a.AC1 - ；2a.22在ABG中，由余弦定理得cosAC1B = AC12 暗一相一, 2AC1 BC15ACB_arccosJ' a> 1 b arccos5，異面直線BG與AC所成角的大小為5arccos.5解法二：(I )建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖.設(shè) AD=a,DD 1=b，則有 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C 1(0,a,b),BD二(-a,-a,0), AC =( -a,a,0),CC1 =(0,0, b),. BD AC -0,BD CC； =0,二 B

23、D _L AC,BD _LCC1,又，.，AC,CC1 a 平面 ACC1A1,且ACQ CC1 =C, , BD _L平面ACC1A.a aa a .、()設(shè)BD與AC相交于O,連接CiO,則點(diǎn)O坐標(biāo)為(,一,0), OCi= (- -,-,b), 2 22 2y?BD OC； =0,. BD _LC1O,又BD ICO,J./C1OC是二面角 C1 BDC的平面角，C1OC=60,: tanC1OC = CC； = -b=3,. b = -6 a.OC 22,; AC =(a,a,0), 820, b), 7Th AC BC； ,5.cos AC, BC1 ： = 丫 =, ;| AC |

24、 | BC； |5一»，、一 AS ， I 、，, 5，異面直線BG與AC所成角的大小為arccos .(18)(共 13 分)解：記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A, B,C,則 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(C)=0.9.(I )應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率pi=P(A B C )+P( AB- C)+P(A B - C)+P(A - B - C)=0.5X0.6X 0.1+0.5X 0.6X 0.9+0.5X 0.4X 0.9+0.5 X 0.6 X 0.9 =0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.(n )應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率P2= 1 P(A - B)+ 1 P(B - C)+ 1 P(A - C)3331=-X (0.5 X 0.6+0.6 X 0.9+0.5 X 0.9)31=X 1.293=0.43(19)(共 14 分)解法一：(I)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2a =PF1PF2=6, a=3.在 RtPFiF2 中,F1 F2從而 b2=a? - c2=4,= V|PF22-PF12 = 2<5,故橢圓的半焦距c= J5 ,2 X所以橢圓C的方程為一 92+ = 1.4（n ）設(shè) A, B 的坐標(biāo)分別