導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題

1、設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：解法1：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)=ln(x+1)+1-a，令g(x)=0，解得x=ea-1-1.(1)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)所有x0,g(x)0,所以g(x)在0，+)上是增函數(shù).又g(0)=0，所以對(duì)x0，有g(shù)(x)g(0),即當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于所有x0，都有f(x)ax.(2)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于0xea-1-1，g(x)0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是減函數(shù).又g(0)=0，所以對(duì)0xea-1-1，有g(shù)(x)g(0)，即f(x)ax.所以當(dāng)a1時(shí)，不是對(duì)

2、所有的x0，都有f(x)ax成立.綜上a的取值范圍是(-,1.解法2：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立.對(duì)g(x)求導(dǎo)數(shù)得g(x)=ln(x+1)+1-a,令g(x)=0，解得x=ea-1-1,當(dāng)xea-1-1時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)-1xea-1-1時(shí)，g(x)0，g(x)為減函數(shù).要對(duì)所有x0都有g(shù)(x)g(0)充要條件為ea-1-10.由此得a1，即a的取值范圍是(-,1.1.其中；2. 其中；3.其中；4. 其中；已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍.（）略解得，.（）方

3、法一：分類討論、假設(shè)反證法由（）知，所以.考慮函數(shù)，則.(i)當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，從而當(dāng)且時(shí)，即；（ii）當(dāng)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，故，而，故當(dāng)時(shí)，可得，與題設(shè)矛盾.（iii）當(dāng)時(shí)， ，而，故當(dāng)時(shí)，可得，與題設(shè)矛盾.綜上可得，的取值范圍為.當(dāng)，且時(shí)，即，也即，記，且則，記，則，從而在上單調(diào)遞增，且，因此當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有 ，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，且時(shí)，.因?yàn)楹愠闪?，所?綜上所述，當(dāng)，且時(shí)，成立，的取值范圍為.設(shè)函數(shù).（）若，求的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)（）當(dāng)時(shí)，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.記 ，

4、則. 記 ，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增，且，因此當(dāng)時(shí)，從而在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以，因此.綜上所述，當(dāng)且時(shí)，成立.若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍.應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于.記，則.記，則.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且.因此在上單調(diào)遞減，且，故，因此在上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，即有.故時(shí)，不等式對(duì)于恒成立.通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足： 可以分離變量；用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性； 現(xiàn)“”型式子.2010海南寧夏文（21）已知函數(shù).（）若在時(shí)有極值，求

5、函數(shù)的解析式；（）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.解：（）略（）應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，也即.記，則.記，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以，從而在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，所以，即有.綜上所述，當(dāng)，時(shí)，成立.2010全國(guó)大綱理（22）設(shè)函數(shù).（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.解：（）略（）應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)由題設(shè)，此時(shí).當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即；若，則；若，則等價(jià)于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.設(shè)函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍解：（） 當(dāng)（）時(shí)，即；當(dāng)（）時(shí)，即因此在每一個(gè)區(qū)間（）是增函數(shù)