江蘇省南通市2019屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

1、-1 江蘇省南通市 2019 屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 1.已知集合 U =1 , 2, 3, 4, 5, A=1 , 2, 4，則（U A = 【答案】3 , 5.2 2.已知復(fù)數(shù) Z1=1 3i , Z2=3 i （i為虛數(shù)單位）.在復(fù)平面內(nèi)，乙_Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 象限.【答案】【答案】乙.8.8.已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為 1，底面正三角形的邊長(zhǎng)為2 .現(xiàn)從該正三棱錐的六條棱中隨機(jī)選取兩條棱，則這兩條棱互相垂直的概率是.【答案】2.5【答案】 -X 三R, | x | . 0 .在平面直角坐標(biāo)

2、系 xOy 中，拋物線 y2=8x 上橫坐標(biāo)為 1 的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5 5.6 6.【答案】3.x0,設(shè)實(shí)數(shù) x,y滿足戸0,則 z=3x 2y 的最大值是 .t +y3,2x 亠 y4,【答案】7.如圖是一個(gè)算法的流程圖.若輸入x 的值為 2，則輸出 y 的值是 .【答案】-1 .7 7.城市甲乙3 3.命題：“R, x0 ”的否定是 4 4.-2 9.9.將函數(shù) f（x）二 sin 2x 亠i0 八；門： :的圖象上所有點(diǎn)向右平移匸個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)-3 稱，貝 y等于 【答案】匸.3 311 410.10. 等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 2,公比為 3,前 n 項(xiàng)和為 Sn若 lo

3、gs 2an(S4m+1): =9，則 n+m 的最小值是 .【答案】5.211.11.若向量 a a = cos：., sin ：，b = cos sin 1 ，且 a a b b 0 時(shí)，實(shí)數(shù) b 的最小值是 .【答案】-1 .13.13. 已知集合 M=(x,y)|x-3 .2PB, A(-1,0), B(1,0)，則表示 MnN 的圖形面積等于.【答案】號(hào)二 2.3.14.14.若函數(shù) f(x)二 ax220 x 14 (a 0)對(duì)任意實(shí)數(shù) t，在閉區(qū)間t -1,t 1上總存在兩實(shí)數(shù) x x?,使得 I f(xj -f(X2)| 8 成立，則實(shí)數(shù) a 的最小值為.【答案】8.二、解答題

4、：本大題共 6 小題，共 90 分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域.內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證 明過(guò)程或演算步驟.15.15. (本小題滿分 14 分)如圖，在四棱柱 ABCD -AB1C1D1中，AB/CD , AB BC，且 AA =AB .(1)求證： AB /平面 D!DCC!;(2)求證：AB 丄平面 ABC .(1 )證明：在四棱柱 ABCD - ABIGD,中,AB 二平面 DQCG ,CD 平面 D1DCC1,(第15題)-4 所以 AB/平面 D!DCG .(1)4 分解：由(1)，得sin A 二 2 si nB 二1- ,si nC.g 丘510 分由正弦定理，得2 ：2a_ c

5、sin A _ 5 _ 4、5sin C12 分所以 ABC 的面積為 iacsin2 擰215=t.14 分1717.(本小題滿分 14 分)已知 a 為實(shí)常數(shù)，y=f(x) 是定.3義在(3,0)U(0,+ 8)上的奇函數(shù)，且當(dāng) xa 1x= a.當(dāng) a 0,故 f(x)在區(qū)間(30)是單調(diào)遞增.3(2)證明：在四棱柱 ABCDABQQ中，四邊形 AABB1為平行四邊形，又 AA= AB ,故四邊形 AABBI為菱形.從而 ABi丄 A B .又 AB!_LBC，而 ABDBC=B , AB, BCU 平面 ABC ,所以 AB _平面 ABC .16.16.(本小題滿分 14 分)在厶

6、ABC 中，a, b, c 分別為角 A, B, C 所對(duì)的邊長(zhǎng)，且 c= 3bcosA, tanC=-.4求 tanB 的值；若c =2，求 ABC 的面積.解：由正弦定理，得sinC -3sin BcosA, 即 sin(A 亠 B) = -3sin B cos A .所以sin AcosB cosAsinB =-3sin BcosA. 從而sin AcosB = -4sin BcosA.因?yàn)閏osAcosB山0，所以tan -4 .tan B又 tanCAB八抽器，由(知，4=3 解得 tan B =2 .14 分(1)(2)(1)當(dāng) a 0 時(shí)，x (a,a ), f(x) 0，所以

7、f(x)在區(qū)間(汁一a )是單調(diào)遞增. x ( a, 0), f (x)0 時(shí)，f(x)= f( x)= ( 2 x -2+ 1) = 2x+ 2 1 .xx31當(dāng) aa 1 對(duì)一切 x 0 成立，即 2x+寺a而當(dāng) x= 2 0 時(shí)，有一 a+4a a，所以 a 0，則與 a 0 矛盾.所以 a 1=a 1 對(duì)一切 x0 成立，故 a = 0 滿足題設(shè)要求.12 分3當(dāng) a 0 時(shí)，由 可知 f(x)在(0, a)是減函數(shù)，在(a , +a)是增函數(shù).所以fmin(x)=f(a) = 3a 一 1 a 一 1，所以 a 0 時(shí)也滿足題設(shè)要求. . 13 分綜上所述，a 的取值范圍是0, ：)

8、 . . 14 分1818.(本小題滿分 16 分)如圖，一塊弓形薄鐵片 EMF，點(diǎn) M 為 EF 的中點(diǎn)，其所在圓 0 的半徑為 4 dm (圓心 O 在弓形且點(diǎn) A、D 在 EF 上，設(shè)/ AOD=2r .(1)求矩形鐵片 ABCD 的面積 S 關(guān)于二的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)矩形鐵片 ABCD 的面積最大時(shí)，求COST的值.當(dāng) 0：: v：3 時(shí)(如圖)，AB =4cos” 2,AD =2 4sin二,3S 二 AB AD 二 4cos v 2 2 4sin v -16sin v 2cos v 1 . 6分 當(dāng)a0時(shí)，f(x)單調(diào)增區(qū)7 分+m)；0), (0,a).對(duì)一切 x 0 成立.E

9、MF內(nèi))，/ EOF = .將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片3ABCD(不計(jì)損耗),AD II EF,(1)解：設(shè)矩形鐵片的面積為S,AOM - V .MOEF(第18題)7 分 7 當(dāng) 3w時(shí)(如圖)，AB=2 4cosr,AD =2 4sin,故S =AB AD =64sin rcos J - 32sin2.綜上得，矩形鐵片的面積 S 關(guān)于二的函數(shù)關(guān)系式為47 分 8 16sin r 2cosT11 , 0：v : 3, S332sin2 二 3 : j.（2）解：當(dāng) 0時(shí)，求導(dǎo)，得3S J16 COST 2cosr 1 si nr -2si nv -16 4cos2rCOST- 2.

10、令 S F，得co昔記區(qū)間（0, ）內(nèi)余弦值等于 上穽辺的角為盹（唯一存在）.列表:3專）上的單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng) V -0 即 cos，二-1時(shí)，矩形的面積最大.e（0, a）日。(巧)s，+0s增函數(shù)極大值減函數(shù)8又當(dāng) 3訪時(shí)，-込恣在3：，7 分 9 810 分16 分1919. （本小題滿分 16 分）2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，橢圓；-3，又橢X2b7 1（a b 0）過(guò)點(diǎn)（1 -圓內(nèi)接四邊形 ABCD （點(diǎn) A、B、C、D 在橢圓上）的對(duì)角線 AC, BD 相交于點(diǎn) P（1,寸），且 A P ,，離心率為BP =2PD .(1)(2)求橢圓的方程；求直線 AB 的斜率.(1)

11、解：依題意，尋a 2，一 a2Ca2=4運(yùn)=1,解得a24,4bb =1.=a2-b2.所求橢圓的方程為解：設(shè) A x1,y1,T 由 AP =2PC，得 C22人+y2n4 y2則生 y；=1 .4713 - X13_4y1，八2-10 于數(shù)列bn，記它們的總和為Pn,并且有 Pn =n2MJ 八1_2 .11 分P45-220142 2=45 (451) .220712014P44-22442(4421)21981-22014-2 0 ,ss(2-1)-2：0 .2整理，得乞 yj -3 任 yi) 一19=0 ,.4216即 Xi % =.O設(shè) B X2,y2，同理可得 X2y2 -3一

12、，得蘭 匕一 _1，即直線 AB 的斜率為 k =蘭 竺-1 . 16 分X2X1X2X12020.(本小題滿分 16 分)已知等差數(shù)列an、等比數(shù)列bn滿足 a 什 a2= as, Sb2= ba, 且 as, a?+ b1, aj+ b2成等差數(shù)列，a1, a2, b2成等比數(shù)列.(1 )求數(shù)列an和數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2 )按如下方法從數(shù)列an和數(shù)列bn中取項(xiàng)：第 1 次從數(shù)列an中取 a1,第 2 次從數(shù)列bn中取 b1, b2,第 3 次從數(shù)列an中取 a2, as, a4,第 4 次從數(shù)列bn中取 bs, b4, b5, b6,第 2n- 1 次從數(shù)列an中繼續(xù)依次取 2n 1

13、個(gè)項(xiàng), 第 2n 次從數(shù)列 bn中繼續(xù)依次取 2n 個(gè)項(xiàng)，由此構(gòu)造數(shù)列cn :a1, b1, b2, a2, as, a4, bs, b4, b5, a5, a6, a?, as, ag, b?, bs,b9, So, bn, b12,，記數(shù)列Cn的前 n 和為 Sn求滿足 Sn 22019的最大正整數(shù) n.(1 )解：設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d，等比數(shù)列 bn的公比為q,金 +佝 +d) =at+2d,2依題意，得 pddq)二 dq ,解得 a1=d=1, b1=q=2.|佝 +2d)+(a1+Dq)=2(a1+d)+匕,(a1- d)2=耳少 2).故 an= n, bn=2n.(2)解

14、：將 a1, b1, b2記為第 1 組，a2, as, a4, bs, b4, b5, b6記為第 2 組，a5, a6, a?, as,ag, b?, bs, bg, be, bn, b12記為第 3 組， 以此類推，則第 n 組中，有 2n 1 項(xiàng)選取 于數(shù)列an ，有 2 n 項(xiàng)選取于數(shù)列bn，前 n 組共有 n2項(xiàng)選取于數(shù)列an，有 n2+ n 項(xiàng)選取(3-X1代入橢圓方程，得+穿二仁二仁10 分12 分14 分13 分-11 當(dāng) S /5(仔1+( 2+ 22+ T 22019)時(shí),Sn J2 -2013-245呼1): 0 .當(dāng) & =452(4?2 1+( 2+ 22+

15、-+ 22019)時(shí),2 2&22014亠亠.45(4；“ o可得到符合 Sn：22014的最大的 n=452+ 2019=4037 . .16 分 12 丄 a 2c =1,即b 2d=0，.3a +4c =0,3b 4d =1,數(shù)學(xué)n（附加題）參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2121.選做題】A A.選修 4 1:幾何證明選講（本小題滿分 10 分）在厶 ABC 中，已知 CM 是/ ACB 的平分線， AMC 的外接圓交 BC 于點(diǎn) N，且 BN =2AM .求證：AB=2AC.證明：如圖，在 ABC 中，因?yàn)?CM 是/ ACM 的平分線, 所以些二如,.BC BM 又因?yàn)?BA 與 BC

16、是圓 O 過(guò)同一點(diǎn) B 的割線， 所以BMBA = BN BC,又 BN=2AM ,所以，由，得 AB=2AC.10 分B B.選修 4 2 :矩陣與變換（本小題滿分 10 分）4刁 214一 1014設(shè)二階矩陣A,B滿足 A A 二二,BABA 二，求 B B .3 401解:a c_-B設(shè)，因?yàn)?BABA 丿二 A A 丄 B B所以一 1：=；4 爲(wèi)10 分-13 a - 2b =1,解得 c=32C C .選修 4 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分 10 分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C:?=2si nr，過(guò)極點(diǎn) 0 的直線I與曲線C相交于 A、B 兩點(diǎn),AB =3，求直線I的方程.解：

17、設(shè)直線I的方程為-o（pR R）, A 0,0 , B 入“,則 AB =| 0|=|2sin玄| . . 5 分又 AB = 3，故 sin % 二守 . 7 分解得eo=3+2kn或日0=3+2knk Z Z .33所以直線|的方程為 v -或 v - (pR R). . 10 分33D D .選修 4 5 :不等式選講（本小題滿分 10 分）已知 x, y, z 均為正數(shù)，求證：X 址111.yz zx xy x y z證明：因?yàn)?x, y, z 均為正數(shù)，所以仝丄11 人2. . 4 分yz zx z x y z同理可得二二2, - . 7 分xy zx x yz xy y當(dāng)且僅當(dāng) x

18、=y=z 均時(shí)，以上三式等號(hào)都成立.將上述三個(gè)不等式兩邊左，右兩邊分別相加，并除以2,得- -. 10 分yz zx xy x y z【必做題】 2222.（本小題滿分 10 分）310 分-14 如圖，設(shè) R , P2，P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn).現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一-15個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.（i）求S=-2的概率；（2 ）求S的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（S）.所以 E(S)33 3亠19、3v 7410254102323.（本小題滿分 10 分）已知 1, 2,，n 滿足下列性質(zhì) T 的排列 a1, a2，an的個(gè)數(shù)為 f(n) (n2,且 n N N*).性質(zhì) T：排列 a , a2，,an中有且只有一個(gè) q 1(i1 , 2,n-1).(1 )求 f;(2 )求 f(n).解：(1)當(dāng)n=3 時(shí)，1, 2, 3 的所有排列有(1 , 2, 3) , (1 , 3,