【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 數(shù)列大題（精解精析）

1、2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 數(shù)列大題 （精解精析）1(2021年高考全國乙卷理科)記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項公式【答案】（1）證明見解析；（2）解析：（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,當n=1時，,當n2時,顯然對于n=1不成立,【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和與項的關系，數(shù)列的前n項積與項的關系，其中由,得到，進而得到是關鍵一步；要熟練掌握前n項和

2、，積與數(shù)列的項的關系，消和（積）得到項（或項的遞推關系），或者消項得到和（積）的遞推關系是常用的重要的思想方法2(2021年高考全國甲卷理科)已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個成立數(shù)列是等差數(shù)列：數(shù)列是等差數(shù)列；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分【答案】答案見解析解析：選作條件證明：設，則，當時，；當時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，所以選作條件證明：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列選作條件證明：設，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，當時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當時，不合題意，

3、舍去綜上可知為等差數(shù)列【點睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關鍵是牢牢抓住已知條件，結合相關公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法3(2020年高考數(shù)學課標卷理科)設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）【解析】（1）設的公比為，為的等差中項，；（2）設前項和為，得，【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎題4(2020年高考數(shù)學課標卷理科)設數(shù)列an滿足a1=3，(1)計算a2，a3，猜想an的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列2nan的前n

4、項和Sn【答案】（1），證明見解析；（2）解析：（1）由題意可得，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當時，成立；假設時，成立那么時，也成立則對任意的，都有成立；（2）由（1）可知，由得：，即【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題5(2019年高考數(shù)學課標全國卷理科)已知數(shù)列和滿足，證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；求和的通項公式【答案】見解析；，.【官方解析】由題設得，即又因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列由題設得，即又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列由知，所以，【分析】可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可

5、推導出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；可通過中的結果推導出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結果.【解析】由題意可知，所以，即，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，因為，所以，數(shù)列是首項、公差為等差數(shù)列，.由可知，所以，.【點評】本題考查了數(shù)列的相關性質，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題.6(2018年高考數(shù)學課標卷（理）)(12分)等比數(shù)列中，(1)求的通項公式；(2)記為的前項和，若，求(1)或；(2)【答案】【官方解析】（1）設的公比為，由

6、題設得由已知得，解得（舍去），或故或（2）若，則，由，得，此方和沒有正整數(shù)解若，則，由，得，解得綜上，【民間解析】（1）設等比數(shù)列的公比為，由，可得，所以所以當時，；當時，（2）由（1）可知當時，由即，即，所以；當時，由即，即，無解綜上可知7(2018年高考數(shù)學課標卷（理）)(12分)記為等差數(shù)列的前項和，已知，(1)求的通項公式；(2)求，并求的最小值【答案】解析：（1）設的公差為，由題意得由得，所以的通項公式為（2）由（1）得所以當時，取得最小值，最小值為8(2016高考數(shù)學課標卷理科)已知數(shù)列的前項和,其中.()證明是等比數(shù)列,并求其通項公式;()若,求.【答案】();().【解析】()

7、由題意得,故,.由,得,即.由,得,所以.因此是首項為,公比為的等比數(shù)列,于是.()由()得,由得,即,解得.9(2016高考數(shù)學課標卷理科)(本題滿分12分)為等差數(shù)列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如(I)求；(II)求數(shù)列的前1 000項和【答案】（1），；（2）【解析】（1）設的公差為，據(jù)已知有，解得所以數(shù)列的通項公式為，（2）因為所以數(shù)列的前項和為10(2015高考數(shù)學新課標1理科)(本小題滿分12分)為數(shù)列的前項和已知()求的通項公式：()設,求數(shù)列的前項和【答案】（）（）分析：（）先用數(shù)列第項與前項和的關系求出數(shù)列的遞推公式，可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公

8、式即可寫出數(shù)列的通項公式；（）根據(jù)（）數(shù)列的通項公式，再用拆項消去法求其前項和解析：（）當時，因為，所以=3，當時，=，即，因為，所以=2，所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以=；（）由（）知，=，所以數(shù)列前n項和為= =考點：數(shù)列前n項和與第n項的關系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法11(2014高考數(shù)學課標2理科)(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足=1，()證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；()證明：【答案】解析：（）由，得，且所以是首相為，公比為的等比數(shù)列。因此，所以的通項公式為（）由（1）知當時，所以于是所以考點：（1）等比數(shù)列的證明及通項公式的求法；（2）等比數(shù)列的前項的和 （3）放縮法證明不等式難度：C備注：一題多解12(2014高考數(shù)學課標1理科)已知數(shù)列的前項和為,其中為常數(shù)(1)證明:;(2)是否存在,使得為等差數(shù)列?并說明理由【答案】解析:(1)由題設,兩式相減 ,由于,所以 (2)由題設,可得,由(1)知 假設為等差數(shù)列,則成等差數(shù)列,解得; 證明時,為等差數(shù)列:由