集合典型習習題

1、第一章 集合1. 集合A=1,2,3,4,B=a,b,c,判定下列各題的正確與錯誤：（1）1A ； （2）cB； （3） 1，2，4A；（4）a，b，cB；（5）2A； （6）cB； （7）； （8）2A；（9）B； （10）2，3.解：（1）不正確。因為1是集合，集合與集合之間一般不能有屬于關(guān)系。 （2）正確。雖然c是集合，但是它又是B中的元素。 （3）正確。雖然1，2，4是A的真子集，但是同時滿足子集定義，故可以這樣表示。 （4）不正確。因為cB。 （5）不正確。雖然2是一個集合，但是它只是A中的一個元素，不能有包含關(guān)系。 （6）不正確。理由同（5）。 （7）正確，符合定義。 （8）正確，

2、都符合定義。 （9）不正確，因為B中本沒有元素。 （10）不正確。不是2，3是中的元素，不能有屬于關(guān)系，若寫成2，3則可以。2確定下列集合的冪集：（1） A=a，b； （2）B=1，2，3；（2） C=，a，b； （4）D=。解 （1）因為A的所有子集為，a，b，a，b，所以 （2）因為B的所有子集為，1，2，3和1，2，3。所以（3） 因為C的所有子集為，a,b,a,b,a,b,a,b,所以（4） 因為D的子集為，所以說明 欲求一個給定集合的冪集合，首先把這個給定集合的所有子集列出，并檢驗所列子集的個數(shù)是否等于個,n為給定集合的元數(shù),當然,熟練者可以省略這一步驟.2. 判定以下論斷哪些是恒成

3、立的哪些是恒不成立的哪些是有時成立的(1) 若aA,則aAB;(2) 若aA,則aAB;(3) 若aAB,則aA;(4) 若aAB,則aB;(5) 若aA,則aAB;(6) 若aA,則aAB;(7) 若,則AB=A;(8) 若,則AB=B. 解 (1)恒成立.因為A AB,若aA,則aAB.(2)有時成立.若aA,但 AB;若aA,且aB,則aAB.(3)有時成立.若aAB,可能有三種情形: aA但對于第一、三種情形，有aA，但是第二種情形，。（4）恒成立。因為aAB，必有aA，且aB。（5） 有時成立。雖然，但是，有aB或兩種可能，若，則 AB；若aB，有aAB。（6） 恒不成立。因為，即使

4、aB，也有 AB，若，更有 AB。（7） 恒成立。當，A是B的子集，當然滿足AB=A。（8） 有時成立。既然，就有兩種可能：A=B或者AB。若A=B，則AB=B成立；若AB，則AB=B就不成立。4設全集合E=a，b，c，d，e，A=a，d，B=a，b，e，C=b，d，求下列集合：（1） AB； （2）（AB）C；（3）A（BC）；（4）解 （1）AB=a，dc，d=d.(2) （AB）C=aa,c,e=a,c,e.(3) A（BC）=b,c,ea,e=a,b,c,e.(4) =,a,d,a,d.=,a,b,e,a,b,a,e,b,e,a,b,e故 =,a.5. 設A和B是全集E的子集,利用運算

5、律證明:(1) (AB) (AB)=A;(2) B(AB) A)=E.證 (1) (AB) (AB)=A(BB)=AE=A(3) B(AB) A)=B(A A) (BA) (分配律)=B(BA) (互補律)=B(BA) (同一律)=B(BA) (德·摩根律)=(BB)A (結(jié)合律)=EA (互補律)=E.說明 利用運算律證明集合恒等式時,后面的運算律名稱不一定要求寫,只是剛開始做這種類型題時標一下,目的在于熟悉理解運算律內(nèi)容,稍加熟練后便可以不寫.6. 設A,B,C 是三個任意集合,求證:(1) (AB)(BC)(CA)=(AB)(BC)(CA);(2) (AB)(BC)(CA)=

6、(AB)(ABC)(ABC).證(1) (AB)(BC)(CA) =( AB)(CB)(AC) =(AC)B)(AC) =(AC)(AC)(B(AC) =( ACA)(ACC)(BA)(BC) =(AC)(BA)(BC) =(AB)(BC)(CA)(3) (AB)(ABC)(ABC)=(AB)(AB) (AB) C)=(AB)(AA)(AB)(BA)(BB)C)=(AB)(AB)(AB)C)=(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)C)=( AB)A)B)(AC)(BC)=(AB)(BC)(AC).7. 利用AB=AB與吸收律及其它運算律,證明(ABC)(AB)(A(BC)A)=AB證 (AB

7、C)(AB)(A(BC)A) =(AB)(AB)C)(A(BC)A) =(AB)(AB)(AC)A) =(AB)(A(AB)(AC) =(AB)(A(AC) =(AB)A =(AB)A =(AA)(BA) =(AB) =AB.說明 本題證明過程中的第二步、第四步、第五步應用了吸收律，才使運算簡便，否則將很繁雜。8設A，B，C為三個任意集合，試證明（1） 若A×A=B×B，則A=B；（2） 若A×B=A×C，且A,則B=C.證 (1)設任意aA,則(a,a)A×A,因為A×A=B×B,有(a,a)B×B,故aB,因此

8、. 對任意bB,有(b,b)B×B,則(b,b)A×A,于是bA,因此BA,所以A=B. (2) 若B=,則A×B=,因為A×B=A×C,于是A×C=,而A=,只有C=,故B=C.若B,設任意bB,因為A,再設aA,則(a,b) A×B,又因為A×B=A×C,則(a,b)A×C,于是bC,所以BC.同理可證CB,故B=C. 說明 在每一節(jié)后面的證明題,若不能應用本節(jié)給出的定理,一般要考慮用定義證明.8. 在具有x和y軸的笛卡爾坐標系中,若有X=xxR,且-3x2,Y=yyR,且-2y0,試求出笛卡爾積X×Y,Y×X,畫出其圖像. 解 X×Y=(x,y)-3x2, -2y0,x,yRY×X=(y,x)-2y0, -3x2, x,yR X×Y與Y×X的圖像如圖1-1所示的陰影部分.