彈性力學(xué)簡單問題求解

1、彈性力學(xué)簡單問題求解例題例題 正六面體不受體力作用，但各表面受均勻壓力正六面體不受體力作用，但各表面受均勻壓力p作用。作用。這個問題為（相當(dāng)于）靜水壓力問題這個問題為（相當(dāng)于）靜水壓力問題 采用應(yīng)力法及逆解法，猜應(yīng)力：采用應(yīng)力法及逆解法，猜應(yīng)力： x= y= z=-p， xy= yz= zx=0；應(yīng)力解是否滿足力的邊界條；應(yīng)力解是否滿足力的邊界條件件?是否為真解是否為真解?它須滿足平衡微分方程和應(yīng)力表示變形協(xié)調(diào)方程它須滿足平衡微分方程和應(yīng)力表示變形協(xié)調(diào)方程 解：1）設(shè)）設(shè)應(yīng)力應(yīng)力：x=y=z=-p2）檢查是否滿足）檢查是否滿足平衡微分方程平衡微分方程滿足滿足 3）檢查是否滿足）檢查是否滿足應(yīng)力

2、表示的變形協(xié)調(diào)方程（無體力時）應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程（無體力時） 011,ijkkij滿足滿足 xy=yz=zx=0ji,j+Fi =04）檢查是否滿足）檢查是否滿足應(yīng)力的邊界條件應(yīng)力的邊界條件 xyxzxxsssxyyzyysssxzyzzzsssmnfmnfmnfxyza）前、后面：）前、后面：1 0mn00 xyzfpff 前面面力：前面面力：后面面力：后面面力：00 xyzfpff代入代入（A）滿足滿足 （A） xy= yz= zx=0 x= y= z=-pxyzb）左、右面：）左、右面：1m 0n00 xyzffpf左面面力：左面面力：右面面力：右面面力：00 xyzffpf 代入代

3、入（A）滿足滿足 c）上、下面：）上、下面：1n 00 xyfffp 上面面力：上面面力：下面面力：下面面力：00 xyzfffp代入代入（A）滿足滿足 0mxyxzxxsssxyyzyysssxzyzzzsssmnfmnfmnf因此，因此， x= y= z=-p， xy= yz= zx=0 滿足應(yīng)力法的所有方程，為真解滿足應(yīng)力法的所有方程，為真解 5）求）求應(yīng)變分量：應(yīng)變分量：由物理方程得應(yīng)變由物理方程得應(yīng)變 11()(2)(1 2 )xxyzyzppEEpE 0zxyzxy6）求）求位移分量位移分量：代入幾何方程并積分可求位移代入幾何方程并積分可求位移 1231)21 (),()21 (z

4、cycxEpzyfxEpu2312)21 (),()21 (xczcyEpxzfyEpv3121)21 (),()21 (ycxczEpyxfzEpw1(12 )(2)xyzpppEE例題例題2 等截面柱體在自重作用下等截面柱體在自重作用下。 等截面柱體受體力等截面柱體受體力Fz= - g（在圖示坐標(biāo)系）（在圖示坐標(biāo)系） 為柱的密度，為柱的密度，g為重力加速度。為重力加速度。 而而 Fx=Fy=0 zFg xlzxy猜應(yīng)力解：猜應(yīng)力解： x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz 采用應(yīng)力法及逆解法采用應(yīng)力法及逆解法解：解：1）設(shè)）設(shè)應(yīng)力：應(yīng)力： x= y= xy= yz= zx=0 , z=

5、 gz 2）檢查是否滿足）檢查是否滿足平衡微分方程平衡微分方程 ji,j+Fi =0滿足滿足 000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx011,ijkkij3）檢查是否滿足）檢查是否滿足應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程（常體力時）應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程（常體力時） 01, 0101, 0101, 01222222222222222xyzzxyyzxxyzzxyyzx將應(yīng)力分量代入，顯然均能滿足。將應(yīng)力分量代入，顯然均能滿足。4）檢查是否滿足）檢查是否滿足應(yīng)力的邊界條件應(yīng)力的邊界條件 xyxzxxsssxyyzyysssxzyzzzsssmnfmnfmnf 1、檢查、檢查在柱體側(cè)邊（主要

6、邊界）在柱體側(cè)邊（主要邊界） 0if03 nn00zxxyxml00zxyxyml0)(0gzmlzyzx柱體側(cè)邊滿足力的邊界條件柱體側(cè)邊滿足力的邊界條件 2 2、檢查在柱體底邊（、檢查在柱體底邊（z=0）：）： l=m=0，n=-1 0iXYZf0) 1(zx應(yīng)力解代入力的邊界條件應(yīng)力解代入力的邊界條件 0) 1(zy0)0() 1(g柱體底邊滿足力的邊界條件柱體底邊滿足力的邊界條件 3 3、檢查在柱體頂邊（、檢查在柱體頂邊（z=l）：）： l=m=0，n=1 面力未給出，但面力的合力與應(yīng)力滿足平衡。面力未給出，但面力的合力與應(yīng)力滿足平衡。因此，應(yīng)力解因此，應(yīng)力解 x= y= xy= yz=

7、 zx=0 , z= gz 可以作為本題的解答（在柱體可以作為本題的解答（在柱體頂頂邊附近不能用）邊附近不能用） 5）求）求應(yīng)變分量：應(yīng)變分量：由物理方程得應(yīng)變由物理方程得應(yīng)變 EgyxzEgz0zxyzxy6）求）求位移分量：位移分量：代入幾何方程并積分可求位移代入幾何方程并積分可求位移 例例3：等直桿受均勻拉伸，求應(yīng)力分布。：等直桿受均勻拉伸，求應(yīng)力分布。2）檢查是否滿足平衡微分方程ji,j+Fi =0滿足滿足 011,ijkkij滿足滿足 解：解：1）設(shè)）設(shè)應(yīng)力：應(yīng)力：3）檢查是否滿足應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程（常體力時） 4）檢查是否滿足應(yīng)力的邊界條件 xyxzxxsssxyyzyysss

8、xzyzzzsssmnfmnfmnf應(yīng)力法求解應(yīng)力法求解1、側(cè)面（主邊界須嚴(yán)格滿足）邊界：、側(cè)面（主邊界須嚴(yán)格滿足）邊界：00 xxyzxlm00zxyxyml0 ()0zxzyPlmA柱體側(cè)邊滿足力的邊界條件柱體側(cè)邊滿足力的邊界條件 2、上、下面（次邊界可放松作到近似滿足）邊界：、上、下面（次邊界可放松作到近似滿足）邊界：由于由于P的分布關(guān)系不知，的分布關(guān)系不知，用等效力系代替：用等效力系代替：zzAAPdAdAPA滿足滿足5）求）求應(yīng)變分量：應(yīng)變分量：由物理方程得應(yīng)變由物理方程得應(yīng)變 Eyyxx0 xyzxyzEzz6）求）求位移分量：位移分量：為了確定位移，要給出位移的限制條件，以避免位

9、移的不唯一性。由于物體的剛性位移只包含六為了確定位移，要給出位移的限制條件，以避免位移的不唯一性。由于物體的剛性位移只包含六個量，只要給出六個不重復(fù)的約束條件，即可確定出位移。個量，只要給出六個不重復(fù)的約束條件，即可確定出位移。 代入幾何方程并積分可求位移代入幾何方程并積分可求位移 yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx限制條件為：坐標(biāo)原點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)動為零，即：限制條件為：坐標(biāo)原點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)動為零，即：00u00可以得到六個條件可以得到六個條件 0 xyzxyz,00i juji ,1122kijkijkijj iee u由應(yīng)變及幾何方程，得到三個位移為由應(yīng)變及幾何方程，得到三

10、個位移為 1,uxfy zE 2,vyfz xE 3,wzfx yE1 1）由）由 ，可知三個函數(shù)，可知三個函數(shù) 中無常數(shù)項(xiàng)；中無常數(shù)項(xiàng)； 00u3 , 2 , 1ifi為使柱體不能隨便移動為使柱體不能隨便移動,假設(shè)原點(diǎn)的位移為零假設(shè)原點(diǎn)的位移為零;為使柱體不能隨便轉(zhuǎn)動為使柱體不能隨便轉(zhuǎn)動,規(guī)定過原點(diǎn)的微分線規(guī)定過原點(diǎn)的微分線段段dx、dy、dz中的任何兩根保持不動。中的任何兩根保持不動。2 2）由）由 ，即，即 、再微分一次得到，、再微分一次得到，同理可以得到其它兩個等式，從而可知三個函數(shù)中無相應(yīng)變量的交叉項(xiàng)。同理可以得到其它兩個等式，從而可知三個函數(shù)中無相應(yīng)變量的交叉項(xiàng)。 0yz0,32y

11、yxfzxzf0,3222xyyxfxzxzf3）由由 ，得，得 ，同理可以得到其它等式，從而可知三個函數(shù)無相應(yīng)變量二次，同理可以得到其它等式，從而可知三個函數(shù)無相應(yīng)變量二次以上的項(xiàng)，即僅有一次項(xiàng)。以上的項(xiàng)，即僅有一次項(xiàng)。 0,32yyxfzxzf0,232yyxf4 4）由）由 可知三個函數(shù)中無一次項(xiàng)?？芍齻€函數(shù)中無一次項(xiàng)。 ji ,00i ju從而得到位移為從而得到位移為 ：xEAPxEuyEAPyEvzEAPzEw解法解法2：再用位移法求解，位移邊界條件可取，在再用位移法求解，位移邊界條件可取，在x=y=z=0處處采用位移法及逆解法采用位移法及逆解法根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果，主體拉伸時的根據(jù)

12、實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果，主體拉伸時的變形可直接設(shè)變形可直接設(shè)2）檢查是否滿足位移表示的）檢查是否滿足位移表示的平衡微分方程平衡微分方程222()0()0()0 xyzGGuFxGGvFyGGwFz滿足3）求）求應(yīng)變分量：應(yīng)變分量：由幾何方程由幾何方程xyzuaxvaywbz 102102102yzzxxywvyzuwzxvuxy2iibaLame-Navie方程4）求應(yīng)力分量：由物理方程5）檢查是否滿足）檢查是否滿足應(yīng)力的邊界條件應(yīng)力的邊界條件 1、側(cè)面（主邊界須嚴(yán)格滿足）邊界：、側(cè)面（主邊界須嚴(yán)格滿足）邊界：l，m與法線具體所在位置有關(guān)，與法線具體所在位置有關(guān)，n=000 xxyzxlm00zxyx

13、yml0 ()0zxzyzlm解出：解出：2、上、下面（次邊界）邊界：、上、下面（次邊界）邊界：代入代入a值：值：再利用彈性摸量再利用彈性摸量E的關(guān)系的關(guān)系01xyz 邊界可放松邊界可放松zzAAPdAdAPA由由其中其中將將a、b代回：代回：求得位移分量為：求得位移分量為：例題例題4yJMzxx0 xyzxyzzzyy其中 為繞 軸的截面慣性矩 zJzy為對稱軸這組應(yīng)力滿足無體積力時的平衡方程和用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程 2）檢查是否滿足平衡微分方程ji,j+Fi =0滿足滿足 011,ijkkij滿足滿足 解：1）設(shè)應(yīng)力：3）檢查是否滿足應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程（無體力時） 4）檢查是否滿足應(yīng)力的

14、邊界條件 yJMzxx0 xyzxyzzzyya）側(cè)面（n=0）應(yīng)力邊界條件 代入邊界條件滿足滿足 000 xyzfffb b）右端面）右端面：由于外力M 的分布規(guī)律未知，只能用圣維南原理，寫出靜力等效的邊界條件：方向余弦為 ：1x0,0yzmn滿足滿足 0 xxAdAxxAydAM0 xyAdAyJMzxx0yyzzyzzxxy0 xxZAAAZZZMMMdAydAydASJJJ22xxAAAZZZZMMydAy dAy dAJJMJMJ5）求求應(yīng)變分量應(yīng)變分量：由物理方程得應(yīng)變 xxzMyEJyyzMyEJ zzzMyEJ 0 xyzxyz6）求位移分量：1,zMuxyy zEJ22,2zMvyz xEJ 3,zMwyzx yEJ 前三式代入后三式（A）xzyzzzuMyxEJvMyyEJwMyzEJ 積分102102102yzzxxywvyzuwzxvuxyxyyzxz式中: 1 (y,z) 、2 (x,z) 、 3 (x,y)為待定函數(shù)。求解上述方程yzxzxy（a）（c）（b）和和和綜合: