導(dǎo)數(shù)在處理不等式的恒成立問題(一輪復(fù)習(xí)教案)

1、導(dǎo)數(shù)中的不等式恒成立問題適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二年級(jí)適用區(qū)域全國課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）120知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)公式2函數(shù)的單調(diào)性3 函數(shù)中的不等式恒成立問題教學(xué)目標(biāo)1 理解和掌握導(dǎo)數(shù)在處理不等式恒成立問題是高考的一個(gè)難點(diǎn)。2 能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法來研究函數(shù)中的不等式問題，,來培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析、解決實(shí)際函數(shù)的能力.3 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，發(fā)現(xiàn)問題，善于解決問題，探究知識(shí)，合作交流的意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)腦和動(dòng)手的良好品質(zhì)教學(xué)重點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的公式，函數(shù)的單調(diào)性，不等式問題教學(xué)難點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)中的不等式問題學(xué)習(xí)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)考綱要求：1理解導(dǎo)數(shù)和切線方程的概念。2能在具

2、體的數(shù)學(xué)環(huán)境中，會(huì)求導(dǎo)，會(huì)求切線方程。3特別是沒有具體點(diǎn)處的切線方程，如何去設(shè)點(diǎn)，如何利用點(diǎn)線式建立直線方程。4靈活應(yīng)用建立切線方程與其它數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。5. 靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題2、 知識(shí)講解1.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式和運(yùn)算法則幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(為常數(shù))；()； ； ， ； 求導(dǎo)法則：法則 法則 , 法則： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或 2.求直線斜率的方法（高中范圍內(nèi)三種）(1) （為傾斜角）；(2) ，兩點(diǎn)；(3) （在處的切線的斜率）；3.求切線的方程的步驟：（三步走）（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2） （在

3、處的切線的斜率）；（3）點(diǎn)斜式求切線方程；4.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性：（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2），求單調(diào)遞增區(qū)間；（3），求單調(diào)遞減區(qū)間；（4），是極值點(diǎn)。考點(diǎn)一 函數(shù)的在區(qū)間上的最值【例題1】：求曲線在上的最值 ?！敬鸢浮浚鹤畲笾禐?8，最小值為-2.【解析】:根據(jù)題意，,由函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)，取得極大值；當(dāng)，取得極小值；當(dāng)，。所以最大值為18，最小值為-2.【例題2】:求曲線在上的最值范圍 。【答案】:【解析】:由，該函數(shù)在上單增，在上單減，當(dāng)；。曲線在上的最值范圍為。考點(diǎn)二 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例題3】：已知函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍。【答案】：【解析】：，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，

4、所以，即：在上恒成立，即：，所以， 所以，?！纠}4】：設(shè)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】：若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減?！窘馕觥浚河桑?，若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，w.若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。.考點(diǎn)三 用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例題5】：設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，【答案】：如下【證明】：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng),令，則當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)：當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，于是在處達(dá)到最小值，因而當(dāng)時(shí)，即所以當(dāng)時(shí)，【例題6】：設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)0時(shí)，0；【答案】：如下【證明】：，（僅當(dāng)時(shí)）故函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)。K.考點(diǎn)四 函數(shù)中含參數(shù)的問題【例題7】：設(shè)，其中為正實(shí)數(shù)，若為

5、上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍【答案】：【解析】：對(duì)求導(dǎo)得 若為R上的單調(diào)函數(shù)，則在R上不變號(hào)，結(jié)合與條件a>0，知，在R上恒成立，因此由此并結(jié)合，知【例題8】：已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是【答案】：【解析】：因?yàn)?，?所以。考點(diǎn)五 導(dǎo)數(shù)的綜合問題【例題9】：設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性【答案】：如下【解析】：函數(shù)的定義域?yàn)?，令?當(dāng)時(shí)，令，解得則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，令，解得，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【例題10】：設(shè)函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間；（）求所有實(shí)數(shù)，使對(duì)恒成立【答案】：的增區(qū)間為，減區(qū)間為 【

6、解析】：（1）因?yàn)?，所以由于，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為 （）證明：由題意得，由（）知內(nèi)單調(diào)遞增，要使恒成立，只要，解得四、課堂練習(xí)【基礎(chǔ)型】1若不等式x44x32a對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍答案：解析：記F（x）=x44x3x44x32a對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，F(xiàn)（x）在R上的最小值大于2a求導(dǎo)：F（x）=4x312x2=4x2（x3），當(dāng)x（，3）時(shí)，F(xiàn)（x）0，故F（x）在（，3）上是減函數(shù)；當(dāng)x（3，+）時(shí)，F(xiàn)（x）0，故F（x）在（3，+）上是增函數(shù)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)F（x）有極小值，這個(gè)極小值即為函數(shù)F（x）在R上的最小值即F（x）min=F（3）=27，因此當(dāng)2a27，即a2

7、9時(shí)，等式x44x32a對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，故答案為：（29，+）2若不等式 2x1>m(x2-1)對(duì)滿足2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。答案：解析：原不等式化為 (x21)m(2x1)<0,記f(m)= (x21)m(2x1) (2m2)根據(jù)題意有：，即：解之得x的取值范圍為【鞏固型】1若函數(shù)在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則k的取值范圍是 （A） （B） （C） （D）答案D解析：因?yàn)樵谏线f增，恒成立，即，所以。2在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在P處的切線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大是 。答案：解析

8、：，所以，在上單調(diào)增，在單調(diào)減，【提高型】1設(shè). （1）如果在處取得最小值，求的解析式； （2）如果，的單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求和的值答案：（2）m=2，n=3或，解析：（1）已知，又在處取極值，則，又在處取最小值-5.則，（2）要使單調(diào)遞減，則又遞減區(qū)間長(zhǎng)度是正整數(shù)，所以兩根設(shè)做a，b。即有：b-a為區(qū)間長(zhǎng)度。又又b-a為正整數(shù)，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。2設(shè)，（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）求的取值范圍，使得對(duì)任意0成立答案：（1）（3）解析：（1）由題設(shè)知，令0得=1，當(dāng)（0，1）時(shí)，0，是減函數(shù)，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間。當(dāng)（

9、1，+）時(shí)，0，是增函數(shù)，故（1，+）是的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，=1是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以的最小值為(2)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即（3）由（1）知的最小值為1，所以，對(duì)任意，成立即從而得。五、課程小結(jié)本節(jié)課是高考中必考的知識(shí)點(diǎn)，而且在高考中往往有一定的難度，所以需要學(xué)生要準(zhǔn)確的理解知識(shí)點(diǎn)，靈活并熟練地掌握求導(dǎo)公式，學(xué)會(huì)建立切線方程，特別是沒有給出具體點(diǎn)切線方程的建立。用點(diǎn)線式求切線方程的步驟：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性：（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2），求單調(diào)遞增區(qū)間；（3），求單調(diào)遞減區(qū)間；（4），是極值點(diǎn)。六、課后作業(yè)【基礎(chǔ)型】1設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極

10、值點(diǎn)，且（I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（II）證明：答案：解析：（I），令，其對(duì)稱軸為。由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減。，故2（）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)0時(shí)，0；（）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為.證明：.答案：如下解析：（），（僅當(dāng)時(shí)）故函數(shù)在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，故當(dāng)0時(shí)，0.（）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，連續(xù)抽取20次，則抽

11、得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為，要證（）19. 即證,所以. 即再證：，即證，即證，即證由（），當(dāng)0時(shí)，0.令則，即，綜上有：?！眷柟绦汀?已知函數(shù)f(x)exln(xm)，當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.答案：如下證明：當(dāng)m2，時(shí)，故只需證明當(dāng)m2時(shí)，.當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)在(2，)單調(diào)遞增又f，故在(2，)有唯一實(shí)根x0，且當(dāng)時(shí)，f；當(dāng)時(shí)，f，從而當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值由得， 故. 綜上，當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.4已知函數(shù)，若曲線和曲線都過點(diǎn)，且在點(diǎn)處有相同的切線.（）求，的值；（）若2時(shí)，求的取值范圍.答案：（1）（2）1，e2解析：(1)由已知得.而，故.從而.(2) 由(1)知，設(shè)函數(shù)，則

12、由題設(shè)可得，即.令得，.若，則.從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即F(x)在(2，x1)單調(diào)遞減，在(x1，)單調(diào)遞增故F(x)在2，)的最小值為F(x1)而.故當(dāng)時(shí)，即恒成立若，則從而當(dāng)x2時(shí)，即F(x)在(2，)單調(diào)遞增而，故當(dāng)時(shí)，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，則.從而當(dāng)時(shí)，不可能恒成立綜上，k的取值范圍是1，e25已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍。答案：（1），（2）解析：（），由于直線的斜率為，且過點(diǎn)即解得，。（）由（）知，所以?？紤]函數(shù)，則。(i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，h(x)遞減。而故當(dāng)時(shí)， ，可得；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）<0，可得 h（

13、x）>0從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè)0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對(duì)稱軸x=.當(dāng)x（1，）時(shí)，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾。（iii）設(shè)k1.此時(shí)，（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾?！咎岣咝汀?已知函數(shù)()證明：曲線（）若,求的取值范圍。答案：解析：() ，又曲線的切線方程是：，在上式中令，得所以曲線（）由得，（i）當(dāng)時(shí)，沒有極小值；(ii)當(dāng)或時(shí)，由得故。由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，不等式無解；當(dāng)時(shí)，解不等式得綜合(i)(ii)得的取值范圍是。7已知函數(shù).（）若，求的取值范圍；（）證明： .答案：.解析：，,題設(shè)