高數(shù)常微分方程-二階常系數(shù)微分方程

1、1)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式第五節(jié)第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程一、常系數(shù)線性齊次方程一、常系數(shù)線性齊次方程2-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy3有兩個(gè)不相等的實(shí)根

2、有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為02 qprr4有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡(jiǎn)，代入原方程并化簡(jiǎn)，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為

3、02 qprr5有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根,1 ir ,2 ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為02 qprr6定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xe

4、xCCy 例例1 17.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2801)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 ik 復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(111011109注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個(gè)根個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)而特征方程的每一個(gè)根都

5、對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各一個(gè)且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù)任意常數(shù).nnyCyCyCy 221110特征根為特征根為, 154321irrirrr 故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例3 311)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu), yYy 常見(jiàn)類型常見(jiàn)類型),(xPm,)(xmexP ,

6、cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點(diǎn)難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.)()( . 1xPexfmx 二二 非齊次情形非齊次情形12設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可設(shè)可設(shè);)(xmexQy ;)(xmexxQy 13是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(

7、, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可設(shè)設(shè)綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.)(2xmexQxy 14特別地特別地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,15.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr

8、特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 116型型sin)(cos)()( xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 設(shè)設(shè),)(1ximkeQxy 利用歐拉公式利用歐拉公式217,)

9、()(xiexPqyypy 設(shè)設(shè),)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根 iik注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程.18.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是單根是單根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos

10、2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例2 219.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 設(shè)設(shè)代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 320)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2

11、sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實(shí)部）（取實(shí)部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別是分別是xiAe 21.tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解為原方程

12、通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例4 422三、小結(jié)可可以以是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系數(shù)法待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實(shí)部或虛部特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解得原非齊方程特解.23思考題思考題寫出微分方程寫出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 24思考題解答思考題解答設(shè)設(shè) 的特解為的

13、特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 25一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2

14、, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .練練 習(xí)習(xí) 題題26三、三、 含源含源在在CLR,串聯(lián)電路中串聯(lián)電路中, ,電動(dòng)電動(dòng)E勢(shì)為勢(shì)為的電源對(duì)的電源對(duì)電電充電充電容器容器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微法微法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,歐歐1000 R, ,試求合上開(kāi)試求合上開(kāi)后后關(guān)關(guān) K的電的電及及流流)(ti)(tuc電電壓壓 . .四、四、 設(shè)設(shè))(x 函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù), ,且滿足且滿足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .27練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ； 4