可分離變量的微分方程

1、第二節(jié) 可分離變量的微分方程學習目的：熟練掌握可分離變量的微分方程的解法學習重點：可分離變量的微分方程的解法學習難點：可分離變量的微分方程的解法學習內(nèi)容：本節(jié)開始,我們討論一階微分方程 (1)的一些解法.一階微分方程有時也寫成如下的對稱形式: (2)在方程(2)中,變量與對稱,它既可以看作是以為自變量、為未知函數(shù)的方程,也可看作是以為自變量、為未知函數(shù)的方程,在第一節(jié)的例1中，我們遇到一階微分方程，或 把上式兩端積分就得到這個方程的通解：。但是并不是所有的一階微分方程都能這樣求解。例如，對于一階微分方程 （3）就不能像上面那樣直接兩端用積分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函數(shù)

2、積分求不出來。為我解決這個困難，在方程（3）的兩端同時乘以，使方程（3）變?yōu)?，這樣，變量與已分離在等式的兩端，然后兩端積分得或 （4）其中C是任意常數(shù)?？梢则炞C，函數(shù)（4）確實滿足一階微分方程（3），且含有一個任意常數(shù)，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一個一階微分方程能寫成 （5）的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含的函數(shù)和，另一端只含的函數(shù)和，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。假定方程（5）中的函數(shù)和是連續(xù)的，設(shè)是方程的解，將它代入（5）中得到恒等式將上式兩端積分，并由引進變量，得設(shè)及依次為和的原函數(shù)，于是有 （6）因此，方程（5）滿足關(guān)系式（6）。反之，如果是由關(guān)系到式（6）

3、所確定的隱函數(shù) ，那么在的條件下，也是方程（5）的解。事實上，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法可知，當時，這就表示函數(shù)滿足方程（5）。所以如果已分離變量的方程（5）中和是連續(xù)的，且，那么（5）式兩端積分后得到的關(guān)系式（6），就用隱式給出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隱式解。又由于關(guān)系式（6）中含有任意常數(shù)，因此（6）式所確定的隱函數(shù)是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隱式通解。例1 求微分方程 （7）的通解。解 方程（7）是可分離變量的，分離變量后得兩端積分 得 從而 。又因為仍是任意常數(shù)，把它記作C便得到方程（7）的通解。例2 放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學知道，鈾的誤變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比。已知時鈾的含量為，求在衰變過程中含量隨時間變化的規(guī)律。解 鈾的衰變速度就是對時間的導(dǎo)數(shù)。由于鈾的衰變速度與其含量成正比，得到微分方程如下 （8）其中是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前的負號是指由于當增加時M單調(diào)減少，即的緣故。由題易知，初始條件為方程（8）是可以分離變量的，分離后得兩端積分 以表示任意常數(shù)，因為，得即 是方程（8）的通解。以初始條件代入上式，解得