一、微分方程的定義二、微分方程的解

1、一、微分方程的定義一、微分方程的定義二、微分方程的解二、微分方程的解第一節(jié)第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定義一、微分方程的定義定義9.1 含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的函數(shù)方程,稱為微分方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程,稱為常微分方程;未知函數(shù)為多元函數(shù),從而出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)的微分方程,稱為偏微分方程.例如,方程d( ),dyay tta為常數(shù) (9.1)( )( ) (9.2)yP x yQ x2e (9.3)xyxyx y22()1 (9.4)yy 都是常微分方程.而方程2222( , ) (9.5)uuf t xtx2222220 (9.6)uu

2、uxyz22( ),0 (9.7)uuag t axy都是偏微分方程.將常微分方程簡稱為微分方程,甚至簡稱為方程.定義9.2 微分方程中最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),稱為微分方程的階.n階(常)微分方程的一般形式為( )( ; ;,)0 (9.8)nF x y yy其中x為自變量,y為未知函數(shù); 是 的已知函數(shù),而且y(n)一定要出現(xiàn).( )( ; ;,)nF x y yy( ); ,nx y yy 如果方程(9.8)左端函數(shù)F為 的線性函數(shù),則稱(9.8)為n階線性(常)微分方程,其一般形式為( ),ny yy( )(1)11( )( )( )( ) (9.9)nnnnya x yax yax yf x

3、其中a1(x),an(x)和f(x)均為x的已知函數(shù). 不是線性微分方程的微分方程,統(tǒng)稱為非線性微分方程.二、微分方程的解二、微分方程的解定義9.3 如果將已知函數(shù) 代入方程(9.8)后,能使其成為恒等式,則稱函數(shù) 為方程(9.8)的解;如果由關(guān)系式(x,y)=0確定的隱函數(shù) 是方程(9.8)的解,則稱(x,y)=0為方程(9.8)的隱式解.( )yx( )yx( )yx 例如,y=eat,y=Ceat(C為常數(shù))都是方程(9.1)的解;而x2+y2=1是方程(9.4)的隱式解.定義9.4 如果含有n個(獨立的)任意常數(shù)C1,C2,Cn的函數(shù)12( ;,) (9.10 )nyx C CCa或1

4、2( , ;,)0 (9.10 )nx y C CCb是方程(9.8)的解,則稱(9.10)為方程(9.8)的通解;在通解(9.10)中任意常數(shù)C1,C2,Cn一組確定的值而得到的解,稱為方程(9.8)的特解. 例如,y=Ceat(C為任意常數(shù))是一階方程(9.1)的通解,因為此解恰含一個任意常數(shù)C;在此通解中令C=5,則y=5eat為方程(9.1)的一個特解.又如二階方程0 (9.11)yy的通解為y=C1sinx+C2cosx其中C1,C2為任意常數(shù). 通常,為了確定n階方程(9.8)的某個特解,需給出該特解應(yīng)滿足的附加條件,稱為定解條件.n階微分方程(9.8)的常見定解條件是(1)000101(),(),() (9.12)nny xyy xyyxy稱(9.12)為初始條件,其中x0,y0,y1, yn為n+1個給定的常數(shù). 求微分方程滿足某個定解條件或初始條件的特解問題,稱為微分方程的定解