平面幾何中的向量方法學(xué)案人教A版必修4

1、2.5 平面向量應(yīng)用舉例平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問(wèn)題.重、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何問(wèn)題. 難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢缀螁?wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題加以解決. 自主學(xué)習(xí)1向量方法在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：ab(b0)_.(2)證明垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：ab_.(3)求夾角問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cos_.(4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以

2、利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|_.2直線的方向向量和法向量(1)直線ykxb的方向向量為_(kāi)，法向量為_(kāi)(2)直線AxByC0的方向向量為_(kāi)，法向量為_(kāi)在平行四邊形中有下列的結(jié)論：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的2倍請(qǐng)用向量法給出證明對(duì)點(diǎn)講練利用向量證明平行問(wèn)題例1如圖所示，若ABCD為平行四邊形，EFAB，AE與BF相交于點(diǎn)N，DE與CF相交于點(diǎn)M.求證：MNAD.回顧歸納(1)本題利用平行向量基本定理證明兩直線平行，解題時(shí)要注意靈活運(yùn)用已知條件(2)向量法證明直線平行，恰是向量平行問(wèn)題的一種存在形式它們的基線無(wú)公共點(diǎn)與前面例1比較，最大的區(qū)別在于，此處共線的兩個(gè)向量

3、沒(méi)有公共端點(diǎn)變式訓(xùn)練1ABC中，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)求證：MNBC.利用向量證明垂直問(wèn)題例2如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC2BA，ABC60°，作AEBD交BC于E，求的值回顧歸納利用向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)這兩種思路都是通過(guò)向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明變式訓(xùn)練2已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PFCE為矩形求證：PAEF且PAEF.直線方向向量的應(yīng)用例3在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分線的方程回顧歸納直線AxByC0

4、的方向向量為v(B，A)，法向量n(A，B)這兩個(gè)概念在求直線方程、判斷兩條直線位置關(guān)系求兩條直線的夾角時(shí)非常有用變式訓(xùn)練3在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(3,4)，若點(diǎn)C在AOB的平分線上且|2，則_.1利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題利用向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)這兩種思路都是通過(guò)向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明2在直線l：AxByC0(A2B20)上任取兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則就是直線l的一個(gè)方向向量，(R且0)也是直

5、線l的方向向量所以，一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們都共線同理，與直線l：AxByC0 (A2B20)垂直的向量都叫直線l的法向量一條直線的法向量也有無(wú)數(shù)多個(gè)熟知以下結(jié)論，在解題時(shí)可以直接應(yīng)用ykxb的方向向量v(1，k)，法向量為n(k，1)AxByC0(A2B20)的方向向量v(B，A)，法向量n(A，B).課時(shí)作業(yè)一、選擇題1在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，則BC邊的中線AD的長(zhǎng)是()A2B.C3D.2點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足···，則點(diǎn)O是ABC的()A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C三條中線

6、的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)3如圖，非零向量a，b且BCOA，C為垂足，若a，則等于()A.B.C.D.4.若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|2|，則ABC的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等邊三角形5已知點(diǎn)A(，1)，B(0,0)，C(，0)，設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有，其中等于()A2B.C3D題號(hào)12345答案二、填空題6過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線3xy10垂直的直線的方程是_.7已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|3，|4，|5.則···_.8設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知(2)·()0，則ABC的形狀一定是_三、

7、解答題9.如圖所示，已知四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線求證：ACBD.10三角形ABC是等腰直角三角形，B90°，D是BC邊的中點(diǎn)，BEAD，延長(zhǎng)BE交AC于F，連結(jié)DF.求證：ADBFDC.§2.5平面向量應(yīng)用舉例25.1平面幾何中的向量方法知識(shí)梳理1(1)abx1y2x2y10，(2)a·b0x1x2y1y20，(3)(4)2(1)(1，k)(k，1)(2)(B，A)(A，B)自主探究證明在平行四邊形ABCD中，2()2222·；2()2222·.222222.即|2|22(|2|2)平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰

8、邊平方和的2倍對(duì)點(diǎn)講練例1證明EFAB，NEFNAB，設(shè)(1)，則，(1)，同理，由，可得(1)，(1)，1，令1，ADMN.變式訓(xùn)練1證明設(shè)a，b，則ba，又M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)a，b.AMN中，ba(ba)，即與共線，MNBC.例2解方法一(基向量法)設(shè)a，b，|a|1，|b|2.a·b|a|b|cos60°1，ab.設(shè)b，則ba.由AEBD，得·0.即(ba)·(ab)0.解得，.方法二以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，設(shè)B(0,0)，C(2,0)，A，D.又設(shè)E(m,0)，則，.由AEBD，得·0.即&

9、#215;0，得m，.變式訓(xùn)練2證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy(如圖所示)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，|，則A(0,1)，P，E，F(xiàn)，于是，.|，同理|，|，PAEF.·0，.PAEF.例3解(3,4)，(8,6)，A的平分線的一個(gè)方向向量為：.A的平分線過(guò)點(diǎn)A.所求直線方程為(x4)(y1)0.整理得：7xy290.變式訓(xùn)練3解析已知A(0,1)，B(3,4)，設(shè)E(0,5)，D(3,9)，四邊形OBDE為菱形AOB的角平分線是菱形OBDE的對(duì)角線OD.設(shè)C(x1，y1)，|3，.(x1，y1)(3,9)，即.課時(shí)作業(yè)1BBC中點(diǎn)為D，

10、|.2D··.()·0.·0.OBAC.同理OABC，OCAB，O為垂心3Aab.BCOA，·(ab)·a0，即a2a·b0.4B|，|2|，|，A，B，C是同一矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且BAC90°.ABC是直角三角形5C如圖所示，由題知ABC30°，AEC60°，CE，3，3.6x3y70解析設(shè)P(x，y)是所求直線上任一點(diǎn)，直線3xy10的方向向量為(1，3)，由(x1，y2)·(1，3)0得x3y70.725解析ABC中，B90°，cosA，cosC，·0，·4×5×16；·5×3×9.···25.8等腰三角形解析(2)·()()()·()()·()22|2|20，|，ABC是等腰三角形9證明四邊形ABCD是菱形，|，又，·()·()|2|20.，即ACBD.10證明如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0)，C(0,2)，則D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，設(shè)F