計(jì)數(shù)的基本原理

1、問(wèn)題 1：從甲地到乙地，旱路有從甲地到乙地，旱路有3 3條，水路有條，水路有2 2條，條，問(wèn)從甲地到乙地共有多少種不同的走法？問(wèn)從甲地到乙地共有多少種不同的走法？從圖中容易找到答案：從甲地到乙地共有3+2=5種不同的走法。甲乙找一找找一找問(wèn)題問(wèn)題 2. 從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，還可以乘輪船。一天中，火車(chē)以乘汽車(chē)，還可以乘輪船。一天中，火車(chē)有有2 2班班, , 汽車(chē)有汽車(chē)有3 3班，輪船有班，輪船有4 4班。那么一天班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法少種不同的走法? ?想一想？想一想？分

2、析分析: 完成由甲地到乙地這件事有三類(lèi)辦法： 第一類(lèi)辦法乘火車(chē)，有2種不同走法， 第二類(lèi)辦法乘汽車(chē)，有3種不同走法 第三類(lèi)辦法乘輪船，有4種不同走法。 因此，在一天中，此人由甲地到乙地不同的走法共有 2+3+4=9 種。乙地甲地 如果完成一件事，有如果完成一件事，有n類(lèi)辦法。在第類(lèi)辦法。在第1類(lèi)辦法類(lèi)辦法中有中有m1種不同的方法，在第種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有類(lèi)辦法中有m2種不種不同的方法，同的方法，在第，在第n類(lèi)辦法中有類(lèi)辦法中有mn種不同的種不同的方法，那么完成這件事共有方法，那么完成這件事共有 關(guān)鍵詞是關(guān)鍵詞是“分類(lèi)分類(lèi)”，各類(lèi)辦法之間，各類(lèi)辦法之間相互獨(dú)立相互獨(dú)立,每種每種方法都能

3、方法都能單獨(dú)的完成單獨(dú)的完成這件事，要計(jì)算所有方法種數(shù)這件事，要計(jì)算所有方法種數(shù),只只需將各類(lèi)方法數(shù)相加需將各類(lèi)方法數(shù)相加,因此分類(lèi)計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)因此分類(lèi)計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)加法原理加法原理。N= m1+m2+ + mn 種不同的方法種不同的方法計(jì)數(shù)的基本原理計(jì)數(shù)的基本原理例例1 書(shū)架上層有不同的數(shù)學(xué)書(shū)書(shū)架上層有不同的數(shù)學(xué)書(shū)15本，中層有不同的語(yǔ)文書(shū)本，中層有不同的語(yǔ)文書(shū)18本，下層有不同的物理書(shū)本，下層有不同的物理書(shū)7本?，F(xiàn)要從書(shū)架上任取一本書(shū)，本?，F(xiàn)要從書(shū)架上任取一本書(shū)，問(wèn)有多少種不同的取法？問(wèn)有多少種不同的取法？解解：根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有N= m1+m2

4、+m3 15+18+7 = 40 （種）。（種）。分析分析：從書(shū)架上任取一本書(shū)，有三類(lèi)取法：從書(shū)架上任取一本書(shū)，有三類(lèi)取法：第一類(lèi)，從上層取一本數(shù)學(xué)書(shū)，有第一類(lèi)，從上層取一本數(shù)學(xué)書(shū)，有m1=15種取法種取法第二類(lèi)，從中層取一本語(yǔ)文書(shū)，有第二類(lèi)，從中層取一本語(yǔ)文書(shū)，有m2=18種取法種取法第三類(lèi)，從下層取一本物理書(shū)，有第三類(lèi)，從下層取一本物理書(shū)，有m3=7種取法種取法無(wú)論哪一類(lèi)方法，任務(wù)都可完成，符合分類(lèi)計(jì)數(shù)原理。無(wú)論哪一類(lèi)方法，任務(wù)都可完成，符合分類(lèi)計(jì)數(shù)原理。即有即有40種不同的取法。種不同的取法?？诖痤}：口答題：1. 一項(xiàng)工作可以用一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有種方法完成，有5人會(huì)用第人會(huì)用

5、第一種方法，另外一種方法，另外4人會(huì)用第二種方法，要選出人會(huì)用第二種方法，要選出1個(gè)個(gè)人來(lái)完成這件工作，共有多少種不同的選法？人來(lái)完成這件工作，共有多少種不同的選法？2. 一個(gè)口袋內(nèi)有一個(gè)口袋內(nèi)有6個(gè)不同的黑球，個(gè)不同的黑球，4個(gè)不同的白球，個(gè)不同的白球，5個(gè)不同的紅球，從中任取一個(gè)球，共有多少種不個(gè)不同的紅球，從中任取一個(gè)球，共有多少種不同的取法？同的取法？試一試試一試N5+49（種）（種）N6+4+515（種）（種）問(wèn)題問(wèn)題3、由由A A村到村到B B村的路有村的路有3 3條，由條，由B B村到村到C C村的路有村的路有2 2條，問(wèn)從條，問(wèn)從A A村經(jīng)村經(jīng) 過(guò)過(guò)B B村到達(dá)村到達(dá)C C村共

6、有多少種不同的走法？村共有多少種不同的走法？從圖中可看出從圖中可看出共有共有32=6種種不同的走法。不同的走法。問(wèn)題問(wèn)題1和問(wèn)題和問(wèn)題3的的共同之處共同之處是：它們都研究完成一件事共有多少種不同是：它們都研究完成一件事共有多少種不同的方法？這兩個(gè)問(wèn)題的的方法？這兩個(gè)問(wèn)題的不同點(diǎn)不同點(diǎn)是完成工作的方式不同。是完成工作的方式不同。問(wèn)題問(wèn)題1中的每條旱路或水路都可以從甲地直接到達(dá)乙地，其中旱路和水中的每條旱路或水路都可以從甲地直接到達(dá)乙地，其中旱路和水路只不過(guò)是完成從甲地到乙地這件工作的兩類(lèi)不同的辦法。（路只不過(guò)是完成從甲地到乙地這件工作的兩類(lèi)不同的辦法。（分類(lèi)分類(lèi)）問(wèn)題問(wèn)題3中的中的5條路的任意一

7、條路都不能把從條路的任意一條路都不能把從A村經(jīng)村經(jīng)B村到村到C村這件工作做村這件工作做完，它的工作是分兩個(gè)步驟完成；第一步從完，它的工作是分兩個(gè)步驟完成；第一步從A村到達(dá)村到達(dá)B村；第二步從村；第二步從B村到達(dá)村到達(dá)C村。（村。（分步分步）ABC找一找找一找 比一比比一比a1a2a3b1b2 如果如果完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第個(gè)步驟，做第1步步有有m1種不同的方法，做第種不同的方法，做第2步有步有m2種不同的方種不同的方法，法，,做第做第n步有步有mn種不同的方法，那么完成這件種不同的方法，那么完成這件事共有事共有 關(guān)鍵詞是關(guān)鍵詞是“分步分步”，各個(gè)步驟，各個(gè)步驟相

8、互關(guān)聯(lián)相互關(guān)聯(lián),任何一步任何一步都都不能單獨(dú)完成不能單獨(dú)完成這件事情這件事情,只有各個(gè)步驟都完成了只有各個(gè)步驟都完成了,這件這件事才算完成事才算完成,將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù)的方法總數(shù),又稱(chēng)又稱(chēng)乘法原理乘法原理。N= m1m2 mn種不同的方法種不同的方法計(jì)數(shù)的基本原理計(jì)數(shù)的基本原理2.把把3封不同的信投到封不同的信投到2個(gè)不同的信箱中，共有多少個(gè)不同的信箱中，共有多少種不同的投法？種不同的投法？N2 228（種）（種）1. 某商業(yè)大廈有東、西、南某商業(yè)大廈有東、西、南3個(gè)大門(mén)，某人從一個(gè)大門(mén)，某人從一個(gè)門(mén)進(jìn)從另一個(gè)門(mén)出，共有多少種不同

9、的走法？個(gè)門(mén)進(jìn)從另一個(gè)門(mén)出，共有多少種不同的走法？N3 26（種）（種）練一練練一練1.1.用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母或或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的號(hào)碼？不同的號(hào)碼？N=26+10=36（種）（種）2.2.書(shū)架上第書(shū)架上第1 1層放有層放有4 4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)本不同的計(jì)算機(jī)書(shū), ,第第2 2層放有層放有3 3本不同的文藝書(shū)本不同的文藝書(shū), ,第第3 3層放有層放有2 2本不同本不同的體育雜志的體育雜志. .從書(shū)架的第從書(shū)架的第1 1、 2 2、 3 3層各取層各取1 1本本書(shū)書(shū), ,有多少種不同

10、取法有多少種不同取法? ?N4 3224（種）（種）3.3.用前用前6 6個(gè)大寫(xiě)英文字母和個(gè)大寫(xiě)英文字母和1 19 9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以字，以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？不同的號(hào)碼？練一練練一練字母字母數(shù)字?jǐn)?shù)字得到的號(hào)碼得到的號(hào)碼A A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹(shù)形圖樹(shù)形圖用前用前6 6個(gè)大寫(xiě)英文字母和個(gè)大寫(xiě)英文字母和1 19 9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式給教室

11、里的的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？議一議議一議分析分析: :由于前由于前6 6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與與9 9個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們各個(gè)不同，因此共有它們各個(gè)不同，因此共有6 69 95454個(gè)不同的個(gè)不同的號(hào)碼。號(hào)碼。解解: 從總體上看由從總體上看由A到到B的通電線(xiàn)路可分三類(lèi)的通電線(xiàn)路可分三類(lèi), 第一類(lèi)第一類(lèi), m1 = 3 條條 第二類(lèi)第二類(lèi), m2 = 1 條條 第三類(lèi)第三類(lèi), m3 = 22 = 4 條條 所以所以, 根據(jù)分類(lèi)原理根據(jù)分類(lèi)原理

12、, 從從A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 條不同的線(xiàn)路可通電。條不同的線(xiàn)路可通電。 在解題時(shí)，可能既要分類(lèi)又要分步。在解題時(shí)，可能既要分類(lèi)又要分步。 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理聯(lián)系聯(lián)系區(qū)別一區(qū)別一完成一件事情共有完成一件事情共有n類(lèi)類(lèi)辦法，關(guān)鍵詞是辦法，關(guān)鍵詞是“分類(lèi)分類(lèi)”完成一件事情完成一件事情,共分共分n個(gè)個(gè)步驟，關(guān)鍵詞是步驟，關(guān)鍵詞是“分步分步”區(qū)別二區(qū)別二每類(lèi)辦法都能單獨(dú)完成每類(lèi)辦法都能單獨(dú)完成這件事情。這件事情。每一步得到的只是中間結(jié)果，每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能單獨(dú)完成任何一步都不能單獨(dú)完成這件事情，缺少任何一步也這件事情，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每不能完成這件事情，只有每個(gè)步驟都完成了，才能完成個(gè)步驟都完成了，才能完成 這件事情。這件事情。分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是關(guān)于分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是關(guān)于“完成一件事情完成一件事情”的的“不同方法不同方法”的種數(shù)的問(wèn)題。的種數(shù)的問(wèn)題。區(qū)別三區(qū)別三各類(lèi)辦法是并列的、獨(dú)立各類(lèi)辦法是并列的、獨(dú)立的的各步之間是相互關(guān)聯(lián)的各步之間是相互關(guān)