第6章IIR數(shù)字濾波器的設計方法

1、第第6章章 IIR數(shù)字濾波器的設計方法數(shù)字濾波器的設計方法6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念6.2 數(shù)字濾波器的技術指標數(shù)字濾波器的技術指標6.3 全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)6.4 最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)超前系統(tǒng)6.5 模擬原型低通濾波器設計模擬原型低通濾波器設計6.6 模擬頻帶變換法設計各種響應的模擬濾波器模擬頻帶變換法設計各種響應的模擬濾波器6.7 間接法的間接法的IIR數(shù)字濾波器設計方案數(shù)字濾波器設計方案6.8 模擬濾波器數(shù)字化為數(shù)字濾波器的映射方法模擬濾波器數(shù)字化為數(shù)字濾波器的映射方法6.9 將樣本模擬歸一化低通濾波器先

2、經(jīng)模擬頻帶變換，將樣本模擬歸一化低通濾波器先經(jīng)模擬頻帶變換，再數(shù)字化方案的設計步驟再數(shù)字化方案的設計步驟6.10 將樣本模擬低通濾波器直接數(shù)字化為各種頻率將樣本模擬低通濾波器直接數(shù)字化為各種頻率響應數(shù)字濾波器的設計方案響應數(shù)字濾波器的設計方案6.11 數(shù)字頻域頻帶變換。將樣本模擬歸一化低通濾數(shù)字頻域頻帶變換。將樣本模擬歸一化低通濾波器先數(shù)字化，再做數(shù)字頻域頻帶變換的設計方法波器先數(shù)字化，再做數(shù)字頻域頻帶變換的設計方法理解數(shù)字濾波器的基本概念理解數(shù)字濾波器的基本概念理解最小相位延時系統(tǒng)理解最小相位延時系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點及應用理解全通系統(tǒng)的特點及應用掌握沖激響應不變法掌握沖激響應不變法掌握雙線

3、性變換法掌握雙線性變換法掌握掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點低通濾波器的特點了解利用模擬濾波器設計了解利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的設計數(shù)字濾波器的設計過程過程第第6章學習目標章學習目標本章作業(yè)練習本章作業(yè)練習 P336:P336: 6.10(1)6.10(1)6.136.131設有一模擬濾波器抽樣周期 ，試用雙線性變換法將它轉變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù) 211aHsss2T H z2要求從二階巴特沃思模擬濾波器用雙線性變換導出一低通數(shù)字濾波器，已知3dB截止頻率為100Hz，系統(tǒng)抽樣頻率為1kHz。數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 輸入輸出均為數(shù)字信號，其功能是通過一定輸入

4、輸出均為數(shù)字信號，其功能是通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分。或者濾除某些頻率成分。 高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能。不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能。優(yōu)點：優(yōu)點：6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 1、數(shù)字濾波器的分類、數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器：經(jīng)典濾波器：現(xiàn)代濾波器：現(xiàn)代濾波器：選頻濾波器選頻濾波器維納濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器卡爾曼濾波器自適應濾波器等自適應濾波器等按功能分：按功能分：低通低通LPF 高通高通HPF

5、 帶通帶通BPF 帶阻帶阻BSF 全通濾波器全通濾波器APF 按實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或單位抽樣響應分：按實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或單位抽樣響應分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n zFIR濾波器濾波器IIR濾波器（濾波器（N階）階）2、數(shù)字濾波器的設計過程、數(shù)字濾波器的設計過程用一個因果穩(wěn)定的離散用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標逼近此性能指標按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標指標利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結構、字長的選

6、擇等構、字長的選擇等實際技術實現(xiàn)：軟件法、硬件法或實際技術實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法芯片法IIR數(shù)字濾波器的設計方法數(shù)字濾波器的設計方法先設計模擬濾波器，再轉換為數(shù)字濾波器先設計模擬濾波器，再轉換為數(shù)字濾波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果穩(wěn)定的離散用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：系統(tǒng)逼近給定的性能要求：, kkab即求濾波器的各系數(shù)：即求濾波器的各系數(shù)：計算機輔助設計法計算機輔助設計法 s s平面逼近：模擬濾波器平面逼近：模擬濾波器z z平面逼近：數(shù)字濾波器平面逼近：數(shù)字濾波器6.2 數(shù)字濾波器的技術數(shù)字濾波器的技術 選頻濾波器的頻率響應：選頻濾

7、波器的頻率響應：()()()jjjjH eH ee 為幅頻特性：為幅頻特性： 表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況()jH e 為相頻特性：為相頻特性： 反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況()j：通帶截止頻率：通帶截止頻率c：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率st：通帶容限：通帶容限1：阻帶容限：阻帶容限2st2()jH e阻帶：阻帶：cst過渡帶：過渡帶：c11()1jH e通帶：通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶最大衰減：通帶最大衰減：101

8、1()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：其中：0()1jH e當當 時，時，()2/20.707cjH e稱稱 為為3dB通帶截止頻率通帶截止頻率13dBc表征濾波器頻率響應的特征參量表征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應幅度平方響應2*()()()jjjH eH eHe1()()( )()jjjz eH eH eH z H z 的極點既是共軛的，又是以單位的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的（圓成鏡像對稱的（h(n)為實序列）為實序列）1(

9、 )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/a為了系統(tǒng)可實現(xiàn)，為了系統(tǒng)可實現(xiàn)，H(z)的極點的極點只取單位圓內的極點只取單位圓內的極點相位響應相位響應()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*1()()ln2()jjjH eejHe11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm()()arctanRe()jjjH eeH e相位響應：相位響應：()()jjdeed ( )1Re( )jz edH zzdzH z 群延遲響應群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值相位對角頻

10、率的導數(shù)的負值()je若濾波器通帶內若濾波器通帶內 = = 常數(shù)，常數(shù)，則為線性相位濾波器則為線性相位濾波器6.4 最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應：頻率響應：()arg()11()()()()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeed1()11111(1)()( )(1)()MMmmN MmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd)()(11)(kNkmMmMNdzczKz)(arg| )(|jeHjjeeH模：模：11()MjjmmNjkkecH eKed

11、各零矢量模的連乘積各極矢量模的連乘積11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMK相角：相角：02 ,2當2位于單位圓內的零位于單位圓內的零/極矢量角度變化為極矢量角度變化為位于單位圓外的零位于單位圓外的零/極矢量角度變化為極矢量角度變化為 0Re zIm jz011()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKiommMioppN令：令：單位圓內零點數(shù)為單位圓內零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內的極點數(shù)為單位圓內的極點數(shù)為pi單位圓外的極點數(shù)為單位圓外的極點數(shù)為po11()argargarg ()jMNjjmkmkH ee

12、cedNMK2()arg2 ()22jiiH eNMmpK則：則：iipmMN22)(2因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)全部極點在單位圓內：全部極點在單位圓內：po = 0，pi = N2()arg222 ()jiiH empNMK22imM1）全部零點在單位圓內：）全部零點在單位圓內：,0iomM marg02）全部零點在單位圓外：）全部零點在單位圓外：0,iommMarg2 M 20om 為最小相位延時系統(tǒng)為最小相位延時系統(tǒng)為最大相位延時系統(tǒng)為最大相位延時系統(tǒng), 1 zr rn 0時，時，h(n) = 0最小相位延時系統(tǒng)的性質最小相位延時系統(tǒng)的性質1）在）在 相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后相同的

13、系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后()jH e2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在 n = 0 附近，附近， 而總能量相同而總能量相同5）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位延時系）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位延時系統(tǒng)轉變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng)統(tǒng)轉變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng)4）在）在 相同的系統(tǒng)中，相同的系統(tǒng)中， 唯一唯一()jH emin( )hn3）最小相位序列的）最小相位序列的 最大：最大：min(0)hmin(0)(0)hh22min00( )( )mmnnh nhn1mN1122min00( )( )NNnnh nhn6.3 全通系統(tǒng)全

14、通系統(tǒng)對所有對所有 ，滿足：，滿足：()1japHe稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng)：一階全通系統(tǒng)：11( )1apzaHzaaz為實數(shù)01aza極點：極點：1/za零點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱零極點以單位圓為鏡像對稱za極點：極點：1*1( )1apzaHzaaz為復數(shù)01a*1/za零點：零點：實系數(shù)二階全通系統(tǒng)實系數(shù)二階全通系統(tǒng)1*111( )11*apzazaHzazaz1a 兩個零點（極點）共軛對稱兩個零點（極點）共軛對稱*zaa ，極點：極點：*1/zaa，1/零點：零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱零點與極點以單位圓為鏡像對稱 N 階數(shù)字全通濾波器階數(shù)字全

15、通濾波器1*11( )1NkkkzaH za z 極點：極點： 1jpzrer零點：零點：1 1jozerr的根)(zD的根)(1zD)()(11)1(12211)1(12211zDzDzzdzdzdzdzzdzdzddNNNNNNNNNN)()(1zDzDzN全通系統(tǒng)的應用全通系統(tǒng)的應用min( )( )( )apH zHzHz1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系都可以表示成全通系統(tǒng)統(tǒng) Hap(z)和最小相位系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)的級聯(lián)11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)，為最小相位延時

16、系統(tǒng)， 為單位圓外的一對共軛零點為單位圓外的一對共軛零點*0001/ 1zzz ，1/ ，*1111*00100*110011( )( )11z zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHzHz把把H(z)單位圓外的零點：單位圓外的零點： 映射到單位圓內的鏡像位置：映射到單位圓內的鏡像位置：構成構成Hmin(z)的零點。的零點。*0001/, 1/ , 1zzzz*00, zzz而幅度響應不變：而幅度響應不變：minmin()()()()jjjjapH eHeHeHe2）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可

17、以使非穩(wěn)定濾波器變成）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器一個穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內單位圓外極點：單位圓外極點：1 1jzerr，1111( )11jjapjjzrezreHzrezre z( )( )( )dapH zHzHz0( )( )( )( )dapdd 3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性而不改變系統(tǒng)的幅度特性()()()jjjdapH eHeHe()()()()dapjjjdapHeHee22200( )( )( )apde

18、利用均方誤差最小準則求均衡器利用均方誤差最小準則求均衡器Hap(z)的有關參數(shù)的有關參數(shù)例：如下圖是一個線性時不變因果系統(tǒng)，例：如下圖是一個線性時不變因果系統(tǒng)，（1）求系統(tǒng)函數(shù)）求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；（2）若）若a1=-2，b0=-2，b1=1，畫出系統(tǒng)的零極點圖；，畫出系統(tǒng)的零極點圖；（3）用幾何法確定系統(tǒng)的幅頻響應；）用幾何法確定系統(tǒng)的幅頻響應；（4）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則在不改）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則在不改 變系統(tǒng)的濾波特性的情況下，重新設計系統(tǒng)。變系統(tǒng)的濾波特性的情況下，重新設計系統(tǒng)。w( (n) )w( (n+1) )6.8 模擬濾波器數(shù)字化為數(shù)字濾波器模擬濾波

19、器數(shù)字化為數(shù)字濾波器的映射方法的映射方法設計思想：設計思想： s 平面平面 z 平面平面模擬系統(tǒng)模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)( )( )aHsH zH(z) 的頻率響應要能模仿的頻率響應要能模仿 Ha(s) 的頻率響應，的頻率響應，即即 s 平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓平面的單位圓因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的映射到因果穩(wěn)定的 H(z) 即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的單位圓內平面的單位圓內 |z| 1設計方法：設計方法：- 沖激響應不變法沖激響應不變法- 階躍響應不變法階躍響應不變法- 雙線性變換法雙線性變換

20、法6.8.1 沖激響應不變法沖激響應不變法( )( )at nTh nh t數(shù)字濾波器的單位沖激響應數(shù)字濾波器的單位沖激響應 模仿模擬濾波器的單位沖激響應模仿模擬濾波器的單位沖激響應( )h n( )ah t12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHsT抽樣周期抽樣周期( )H z( )aHs1、變換原理、變換原理12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs2、混迭失真、混迭失真12()jakkH eHjTT僅當僅當()02saHjT 1()jaH eHjTT數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內重現(xiàn)模擬濾波器數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：的頻響而

21、不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為周期延拓，周期為 2/T2ssfTT混迭 實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小處衰減越快，失真越小/2s ,sfTTT T ccTT 當濾波器的設計指標以數(shù)字域頻率當濾波器的設計指標以數(shù)字域頻率 給定時，給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象c3、模擬濾波器的數(shù)字化方法、模擬濾波器的數(shù)字化方法1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aa

22、aHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 系數(shù)相同：系數(shù)相同：kA1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks TkAH zez極點：極點：s 平面平面 z 平面平面kssks Tze穩(wěn)定性不變：穩(wěn)定性不變：s 平面平面 z 平面平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez當當T 很小時，數(shù)字濾波

23、器增益很大，易溢出，需修很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正正( )()ah nTh nT令：令：2()jakkH eHjT則：則：aHjT2211( )4313aHsssss試用沖激響應不變法，設計試用沖激響應不變法，設計IIR數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器。例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zz

24、z設設T = 1s，則，則1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模擬濾波器的頻率響應：模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、優(yōu)缺點、優(yōu)缺點優(yōu)點：優(yōu)點：缺點：缺點：T 保持線性關系：保持線性關系：線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器 頻率響應混迭頻率響應混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器只適用于限帶的低通、帶通濾波器 h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應時域逼近良好

25、時域逼近良好( )ah t6.8.2 雙線性變換法雙線性變換法1、變換原理、變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似。與模擬濾波器的頻率響應相似。沖激響應不變法：時域模仿逼近沖激響應不變法：時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真:, 1:,T T 12Ttg 1s Tze11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11

26、sj 12s Te為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數(shù)一頻率有對應關系，引入系數(shù) c12Tc tg 1111zsczcszcs2、變換常數(shù)、變換常數(shù)c的選擇的選擇12Tc tg 2cT2）某一特定頻率嚴格相對應：）某一特定頻率嚴格相對應：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1）低頻處有較確切的對應關系：）低頻處有較確切的對應關系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置控制截止頻率位置1 12Tc3、逼近情況、逼近情況2222()()czc01z111

27、1112jjzesccjc tgjze 1）s平面虛軸平面虛軸z平面單位圓平面單位圓cscjzcscj 2）01z01z左半平面左半平面單位圓內單位圓內s平面平面z平面平面右半平面右半平面單位圓外單位圓外虛軸虛軸單位圓上單位圓上4、優(yōu)缺點、優(yōu)缺點優(yōu)點：優(yōu)點：122Tc tgc tg 00 避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s 平面與平面與 z 平面為單值變換平面為單值變換00 缺點：缺點： 除了零頻率附近，除了零頻率附近， 與與 之間嚴重非線性之間嚴重非線性線性相位模擬濾波器線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器非線性相位數(shù)字濾波器預畸變預畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率給定數(shù)字濾

28、波器的截止頻率 ，則，則1112c tg 按按1設計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即設計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到可得到 1為截止頻率的數(shù)字濾波器。為截止頻率的數(shù)字濾波器。1111T=22c tgc tg 若給定，則按來設計5、模擬濾波器的數(shù)字化方法、模擬濾波器的數(shù)字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH z

29、H z HzHz12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：2211( )4313aHsssss試用雙線性變換法，設計試用雙線性變換法，設計IIR數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器。設設T=2s。例例1：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例例2：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為1321)(2sssHa試用脈沖響應不變法和雙線性變換法，分別試用脈沖響應不變法和雙線性變換法，分別將其轉換為數(shù)字濾波器，設將其轉換為數(shù)字濾波器，設T=2s。6.5 模擬原

30、型低通濾波器設計模擬原型低通濾波器設計將數(shù)字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術將數(shù)字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術指標，設計模擬濾波器，再轉換成數(shù)字濾波器指標，設計模擬濾波器，再轉換成數(shù)字濾波器模擬濾波器模擬濾波器 巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth 濾波器濾波器 切比雪夫切比雪夫 Chebyshev 濾波器濾波器 橢圓橢圓 Ellipse 濾波器濾波器 貝塞爾貝塞爾 Bessel 濾波器濾波器1、由幅度平方函數(shù)、由幅度平方函數(shù) 確定模擬濾波確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)器的系統(tǒng)函數(shù)2*()()()aaaHjHjHj( )()aasjHs Hs h(t)是實函數(shù)是實函數(shù)2()aHj( )a

31、Hs()()aaHjHj 將左半平面的極點歸將左半平面的極點歸( )aHs虛軸上的零點一半歸虛軸上的零點一半歸( )aHs由幅度平方函數(shù)得象限對稱的由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)平面函數(shù)將將 因式分解，得到各零極點因式分解，得到各零極點( )()aaHs Hs對比對比 和和 ，確定增益常數(shù)，確定增益常數(shù)()aHj( )aHs由零極點及增益常數(shù)，得由零極點及增益常數(shù)，得( )aHs2()( )aaHjHs由確定的方法2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函數(shù)：，求系統(tǒng)函數(shù)例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassH

32、s HsHjss 7, 6ss 極點：極點：零點：零點： （二階）（二階）5sj 零點：零點：5sj 7, 6ss 的極點：的極點：( )aHs設增益常數(shù)為設增益常數(shù)為K020(25)( )(7)(6)aKsHsss000( )()4asaHsHjK由，得2224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss2、模擬、模擬Butterworth 低通濾波器低通濾波器幅度平方函數(shù)：幅度平方函數(shù)：221()1aNcHj當當2()1/2acHj時稱稱 為為Butterworth低通濾波器的低通濾波器的3分貝帶寬分貝帶寬c1( 0)20lg3()aacHjdBHjN 為濾波器的階數(shù)為濾波

33、器的階數(shù)c為通帶截止頻率為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點：）幅度函數(shù)特點：221()1aNcHj20()1aHj 21()1/23caHjdB 3dB不變性不變性c 通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小 c 過渡帶及阻帶內快速單調減小過渡帶及阻帶內快速單調減小 st 當當 （阻帶截止頻率）時，衰減（阻帶截止頻率）時，衰減 ，為阻，為阻帶最小衰減帶最小衰減2Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：濾波器是一個全極點濾波器，其極點：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs Hssj1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN

34、 2）幅度平方特性的極點分布：）幅度平方特性的極點分布： 極點在極點在s平面呈象限對稱，分布在平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共圓上，共2N點點 極點間的角度間隔為極點間的角度間隔為/ N rad 極點不落在虛軸上極點不落在虛軸上 N為奇數(shù)，實軸上有極點，為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點為偶數(shù)，實軸上無極點121221,2,.,2kjNkcsekN 121221,2,.,kjNkcsekN 左半平面的極點：左半平面的極點：3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsss121221,2,.,kjNkcsekN 1 /ccrrad s 為

35、歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)( )anHs去歸一化，得去歸一化，得( )( )crcaanssHsHsancsH11()Nkkccss4）濾波器的設計步驟）濾波器的設計步驟：221()1apNpcHj120.10.1101101spk12ps確定技術指標：確定技術指標：120lg()apHj 由由120.1110Npc得：得：220.1110Nsc同理：同理：sspp令令lglgspspkN 則：則：120.10.1101101Nps根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N及及c：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：11( )()anNkkHsss或者由或者由N

36、，直接查，直接查P278表表6.2得得( )anHs( )()aancsHsH121221,2,.,kjNksekN其中極點：其中極點：去歸一化去歸一化110.12101Ncp 阻帶指標有富裕阻帶指標有富裕210.12101Ncs 或或通帶指標有富裕通帶指標有富裕 lg 1lgspspkNN 取整數(shù)，即例例6.4：P276例：設計例：設計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于率低于 rad的通帶內幅度特性下降小于的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率在頻率 到到 之間的阻帶內，衰減大于之間的阻帶內，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。分別

37、用沖激響應不變法和雙線性變換法。0.20.3/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用沖激響應不變法設計、用沖激響應不變法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）得模擬濾波器的技術指標：選）得模擬濾波器的技術指標：選T = 1 sP302例例6.8/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/ lg5.88586spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）確定參數(shù)）確定參數(shù)用通帶技術指標，使阻帶特性較好，改善沖激用通帶技術指標，使阻

38、帶特性較好，改善沖激響應不變法引起的混迭失真。響應不變法引起的混迭失真。3）設計）設計Butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器b) 求出極點（左半平面）求出極點（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsss234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssc) 構造系統(tǒng)函數(shù)構造系統(tǒng)函數(shù)或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去歸一化去歸一化4）將）將 展成部分

39、分式形式展成部分分式形式:( )aHs1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 1.2970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.63041 0.99720.2570zzz變換成變換成Butterworth數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：設T=1s11( )1kNks TkTAH zez2、用雙線性變換法設計、用雙線性變換法設計20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1T

40、s選1）由數(shù)字濾波器的技術指標：）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/ lg5.3066spspNkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）確定參數(shù)）確定參數(shù)因雙線性變換法無混迭問題，所以用阻帶技術指因雙線性變換法無混迭問題，所以用阻帶技術指標，使通帶特性較好。標，使通帶特性較好。3）設計）設計Butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器b) 求出極點（左半平面）求出極點（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661(

41、 )()cakkHsssc) 構造系統(tǒng)函數(shù)構造系統(tǒng)函數(shù)234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去歸一化去歸一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz( )aHs4）將）將 變換成變換成Butterworth數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：3、

42、Chebyshev低通逼近低通逼近N：濾波器的階數(shù)：濾波器的階數(shù)幅度平方函數(shù)：幅度平方函數(shù)：2221()1()aNcHjC ：通帶截止頻率，不一定為：通帶截止頻率，不一定為3dB帶寬帶寬c ，表示通帶波紋大小，表示通帶波紋大小， 越大，波紋越大越大，波紋越大01 ：N階階Chebyshev多項式多項式( )NCxcos(cos )1( )()1NNarcxxCxch Narcchxx等波紋幅度特性單調變化 2()1/ 1caHj 1）幅度函數(shù)特點：）幅度函數(shù)特點： 通帶外：迅速單調下降趨向通帶外：迅速單調下降趨向0c 221()1aNcHjC N為偶數(shù)為偶數(shù)2( 0)1/ 1aHj N為奇數(shù)為

43、奇數(shù)( 0)1aHj 通帶內：在通帶內：在1和和 間等波紋起伏間等波紋起伏c 21/ 10 2）Chebyshev濾波器的三個參量：濾波器的三個參量： ：通帶截止頻率，給定：通帶截止頻率，給定c ：表征通帶內波紋大?。罕碚魍◣炔y大小20.1111101scchNch10.121012max1min()20lg20lg 1()aaHjHjN：濾波器階數(shù)，等于通帶內最大最小值的總數(shù)：濾波器階數(shù)，等于通帶內最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定由通帶衰減決定阻帶衰減越大阻帶衰減越大所需階數(shù)越高所需階數(shù)越高s為阻帶截止頻率為阻帶截止頻率3）幅度平方特性的極點分布：）幅度平方特性的極點分布：2/221()(

44、 )()1aaas jNcHjHs HssCj1,2,.,2kkksjkN 22221()()kkccabsin(21)2kcakN 21111112NNa1112NNbcos(21)2kcbkN 1,2,.,2kkksjkN 4）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()aNkkKHsss12NcNKsin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.,kN其中：其中：5）濾波器的設計步驟）濾波器的設計步驟:10.1210120.1111101scchNch12ps確定技術指標：確定技術指標：根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N及及 ：求系統(tǒng)函數(shù)：求系

45、統(tǒng)函數(shù)：11( )2()NcaNNkkHsss( )aanpsHsH21111112NNa1112NNb或者由或者由N和和 ，直接查表，直接查表6.5得得( )anHs1其中極點由下式求出：其中極點由下式求出：去歸一化去歸一化sin(21)cos(21)22kppsakjbkNN 1,2,.,kN例例6.5：P277例：用雙線性變換法設計例：用雙線性變換法設計Chebyshev數(shù)字低通濾數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于波器，要求在頻率低于 rad的通帶內幅度特的通帶內幅度特性下降小于性下降小于1dB。在頻率。在頻率 到到 之間的阻帶內，之間的阻帶內，衰減大于衰減大于15dB。0.20.320.6

46、5 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術指標：）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：P305例例6.90.65/cprad s 20.11111013.01414scchNNch 取10.11010.5088 a）確定參數(shù)）確定參數(shù)3）設計）設計Chebyshev模擬低通濾波器模擬低通濾波器b) 求左半平面極點求左半平面極點sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 21114.170211

47、10.36462NNa1111.06442NNb0.09070.63901,40.21890.26472,3jkjkc) 構造系統(tǒng)函數(shù)構造系統(tǒng)函數(shù)220.04381(0.43780.1180)(0.18140.4166)ssss44311( )2()cakkHsssc) 去歸一化去歸一化2340.2756( )0.27560.74261.45390.9528anHsssss( )aancsHsH220.04381(043780.1180)(0.18140.4166)ssssb) 由由N=4， 直接查表得直接查表得11dB或者：或者：112 11( )( )azsTzH zHs1 412120.

48、001836(1)(1 1.49960.8482) (1 1.55480.6493)zzzzz( )aHs4）將）將 變換成變換成Chebyshev數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：將數(shù)字濾波器的技術指標轉變成模擬濾波器將數(shù)字濾波器的技術指標轉變成模擬濾波器的技術指標的技術指標小結：利用模擬濾波器設計小結：利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的步驟數(shù)字濾波器的步驟通帶截止頻率通帶截止頻率 、通帶衰減、通帶衰減p1阻帶截止頻率阻帶截止頻率 、阻帶衰減、阻帶衰減s2通帶截止頻率通帶截止頻率/ppT 阻帶截止頻率阻帶截止頻率/ssT 通帶截止頻率通帶截止頻率tan(/ 2)tan(/ 2)ppPccT 阻帶截止

49、頻率阻帶截止頻率tan(/ 2)tan(/ 2)ssSccT 12、不變確定數(shù)字濾波器的技術指標：確定數(shù)字濾波器的技術指標： 沖激響應不變法沖激響應不變法 雙線性變換法雙線性變換法按模擬濾波器的技術指標設計模擬低通濾波按模擬濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器器 Butterworth低通濾波器低通濾波器 Chebyshev低通濾波器低通濾波器將模擬低通濾波器轉換成數(shù)字低通濾波器將模擬低通濾波器轉換成數(shù)字低通濾波器 沖激響應不變法沖激響應不變法 雙線性變換法雙線性變換法6.7 間接法的間接法的IIR數(shù)字濾波器設計方案數(shù)字濾波器設計方案6.9 將樣本模擬歸一化低通濾波器先經(jīng)模擬頻帶將樣本模擬歸一化

50、低通濾波器先經(jīng)模擬頻帶變換，再數(shù)字化方案的設計步驟變換，再數(shù)字化方案的設計步驟歸一化歸一化模擬低通模擬低通模擬低通、模擬低通、高通、帶通、高通、帶通、帶阻帶阻數(shù)字低通、數(shù)字低通、高通、帶通、高通、帶通、帶阻帶阻模擬域模擬域頻帶變換頻帶變換雙線性雙線性變換變換( )aHssj 歸一化：( )H z( )( )( )aasf sHsHs()()()aafHjHj ( )aHssj 歸一化：歸一化：1、模擬低通、模擬低通模擬低通模擬低通ccss1c 當通帶截止頻率當通帶截止頻率 時，時，相當于去歸一化相當于去歸一化cccc2、模擬低通、模擬低通模擬帶通模擬帶通變換關系變換關系：220sss220 sj 由sj : 0 sccs: 0 sccs 11022: 0 ss11022: 0 ss220 2220222101cc 201221cB 2