激光原理與技術(shù)-山西大學(xué)課件 第三章

1、 第三章第三章 高斯光束的基本性質(zhì)與傳輸變換高斯光束的基本性質(zhì)與傳輸變換3.1 3.1 高斯光束的基本性質(zhì)高斯光束的基本性質(zhì)3.2 3.2 高斯光束的復(fù)參數(shù)表示，高斯光束的復(fù)參數(shù)表示，ABCDABCD矩陣矩陣3.3 3.3 高斯光束在非均勻介質(zhì)中的傳輸高斯光束在非均勻介質(zhì)中的傳輸3.4 3.4 高斯光束通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的變換高斯光束通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的變換3.5 3.5 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦3.6 3.6 高斯光束的匹配高斯光束的匹配3.7 3.7 像散橢圓高斯光束像散橢圓高斯光束3.8 3.8 高斯光束參數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量高斯光束參數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量一、高斯光束是亥姆霍茲方程在一、高斯光束是亥姆霍茲方程在

2、 緩變振幅近似下的一個(gè)特解緩變振幅近似下的一個(gè)特解二、高斯光束的基本性質(zhì)二、高斯光束的基本性質(zhì)3.1 高斯光束的基本性質(zhì)高斯光束的基本性質(zhì)一、高斯光束是亥姆霍茲方程在緩變振幅近似下的一個(gè)特解一、高斯光束是亥姆霍茲方程在緩變振幅近似下的一個(gè)特解 電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律可用Maxwell方程組描寫。穩(wěn)態(tài)傳輸?shù)墓忸l電磁場(chǎng)，只研究電矢量的波動(dòng)方程，電矢量在光現(xiàn)象中起主要作用。在標(biāo)量近似下，波動(dòng)方程可寫為亥姆霍茲方程。高斯光束是亥姆霍茲方程在緩變近似下的一個(gè)特解。亥姆霍茲方程： 容易證明，平面波和球面波都是式（3.1.1）的特解。高斯光束則不是該式的精確解，而是在緩變振幅近似（SVA）下的一個(gè)特解。設(shè)：2

3、( , )( , )0E x y zk E x y z( , )( , )ikzE r zA r z e（3.1.1）（3.1.2）SVA：22Ak AzAAkzz解方程（3.1.1），可得解為：2222( )( )00( , )( )ri kzR zrzAE r zeez 振幅部分振幅部分相位部分相位部分 為腰斑，z=0處振幅減小到最大值 的 r 值，為高斯光束光斑半徑的最小值； 為瑞利長(zhǎng)度或共焦參數(shù)； 高斯光束的光斑半徑； 等相位面曲率半徑； 相位因子。01 e220001zk2( )200zz1z( )000zzR zzzzarctan0zz（3.1.4）（3.1.3）（3.1.5）（3

4、.1.6）（3.1.7）（3.1.8）二、基本性質(zhì)二、基本性質(zhì)002s00, x yz020z1、高斯光束在x,y平面內(nèi)，場(chǎng)振幅以高斯函數(shù) 形成從中心向外平滑減小。光斑半徑隨坐標(biāo)z按雙曲線向外擴(kuò)張， 。220( )1zzz22( )rze2、等相位面相位相同點(diǎn)的軌跡。令相位部分等于常數(shù)，近軸近似下，略去 ，有：( ) z22 ( )rzconstR z 等相位面為球面（3.1.9） 等相位面為平面； 等相位面亦可近似為平面； 取極小值； 在遠(yuǎn)場(chǎng)處可將高斯光束近似視為一個(gè)由 點(diǎn)出發(fā)，半徑為z的球面波。z=0,R ,200zzRzz00 z=z ,R= 2z,0zz Rz0 z 3、高斯光束的相移

5、由（3.1.4）式可知，總相移為：它表征高斯光束在點(diǎn)（r，z）出相對(duì)于原點(diǎn)（0，0）的相位差。2( , )( )2 ( )rr zk zzR z 幾何相移徑向相移附加相移（3.1.10）4、瑞利長(zhǎng)度 瑞利長(zhǎng)度的物理意義為：當(dāng) 時(shí)， 。在實(shí)用中常取 范圍為高斯光束的準(zhǔn)直范圍，在這段長(zhǎng)度內(nèi)，高斯光束可以近似認(rèn)為是平行的。所以，瑞利長(zhǎng)度越長(zhǎng)，就意味著高斯光束的準(zhǔn)直范圍越大，反之亦然。0zz()00z20zz5、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角可用下式定義： 可知高斯光束遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角在數(shù)量級(jí)上等于以束寬為半徑的光束的衍射角，即它已達(dá)到衍射極限。002 ( )limxzz（3.1.11） 綜上所述，可知高斯

6、光束在其軸線附近可以看作是一種非均勻高斯光束球面波，在傳輸過(guò)程中曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯函數(shù)，強(qiáng)度集中在軸線及其附近，且等相位面保持為球面（特殊范圍內(nèi)為平面）。3.2 3.2 高斯光束的復(fù)參數(shù)表示，高斯光束的復(fù)參數(shù)表示，ABCDABCD矩陣矩陣一、高斯光束的復(fù)參數(shù)表示一、高斯光束的復(fù)參數(shù)表示二、高斯光束的二、高斯光束的ABCDABCD定律定律一、高斯光束的復(fù)參數(shù)表示一、高斯光束的復(fù)參數(shù)表示 高斯光束由 、 和 中的任意兩個(gè)即可確定?？捎脧?fù)參數(shù) 將這三個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，定義 為：( )R z( ) zzqq211iqR0qziz利用式（3.1.6）和（3.1.7）易得：（3.2.1

7、）（3.2.2）當(dāng) 已知時(shí)， 、 可由下式求出：q( )R z( ) z211R e1ImRq1q （3.2.3）在討論高斯光束的傳輸變換問(wèn)題時(shí)，實(shí)用 q 參數(shù)法最為簡(jiǎn)便。 注意：對(duì) ，式（3.2.1）中 為真空（或空氣）中波長(zhǎng)； 當(dāng) 時(shí)， 應(yīng)理解為折射率 n 介質(zhì)波長(zhǎng)。1n 1n 二、高斯光束的二、高斯光束的ABCD定律定律首先說(shuō)明兩點(diǎn)：1、初始場(chǎng)分布為高斯函數(shù)的激光束經(jīng)過(guò)變換矩陣為 的光學(xué)系統(tǒng)變換之后，仍舊保持為高斯函數(shù)的形式。2、其復(fù)參數(shù)變換服從ABCD定律： 或?qū)憺椋篈BCD121AqBqCqD121/1/CD qqAB q（3.2.4）（3.2.5） 試證明這兩點(diǎn)試證明這兩點(diǎn)說(shuō)明：如

8、果復(fù)參數(shù)為 的高斯光束依次通過(guò)變換矩陣為：的光學(xué)系統(tǒng)后變?yōu)閺?fù)參數(shù)為 的高斯光束，利用矩陣乘法易證明，此時(shí)ABCD定律亦成立，但其中ABCD為下面矩陣M諸元：1qq1122121122,nnnnnABABABMMMCDCDCD21nMMM M即22112211nnnnABABABABMCDCDCDCD當(dāng) 和 為已知時(shí)，原則上由ABCD定律可以求出任意z處的 ，進(jìn)而再計(jì)算出 和 。此為研究高斯光束傳輸?shù)囊粋€(gè)基本方法。1q12nMMM、 、qR（3.2.6）（3.2.7）例：自由空間傳播設(shè)在z=0處有一等相位面為平面的高斯光束：由ABCD定律：020qi 101zM2001 ( /)z z000zz

9、Rzzz在自由空間中傳輸距離z后，設(shè)其復(fù)參數(shù)為 。因?yàn)閝0010 1qzqqz（3.2.8）（3.2.9）（3.2.10）將式（3.2.1）、（3.2.8）帶入式（3.2.10）中可得到：（3.2.11）（3.2.12）0qqzo3.3 高斯光束在非均勻介質(zhì)中的傳輸高斯光束在非均勻介質(zhì)中的傳輸 本節(jié)討論高斯光束在折射率 和吸收（或增益）系數(shù) 與空間坐標(biāo)有關(guān)的非均勻介質(zhì)中的傳輸。n( , )( ),( , )( ),220220n r zn 1z rr1r z1z rr1如圖3.3.1所示，設(shè) 、 隨 、 變化規(guī)律為： rznorz( , )n r z( , )r zo 圖3.3.1 非均勻介質(zhì)

10、 （3.3.1）（3.3.2）2annik 這種拋物線函數(shù)形式（式3.3.1、3.3.2）實(shí)際上包括了類透鏡介質(zhì)、飽和吸收體、可變光闌等常見(jiàn)的情況。復(fù)折射率 可寫為：n（3.3.3）將上式代入亥姆霍茲方程，得到：22220(1)0Ek nrE0( , )( , )ikn zE r zA r z e式中002annik2002()ain k 稱為傳輸常數(shù)設(shè)該解的形式為：（3.3.4）（3.3.5）（3.3.6）（3.3.7）代入（3.3.4），在緩變振幅近似下得到：20/2 ( )0( , )( )ikn rq zAA r zes z22222002120AAAiknk nr Arrrr上式解為

11、：（3.3.8）（3.3.9） 將式（3.3.9）代入（3.3.8），利用方程式對(duì)任意 成立條件，得到 和 的微分方程組：( )q z( )s zr22111d qqd zd ss d zq 100( )( )zzq zs zq若傳輸常數(shù) 與 無(wú)關(guān)，在邊界條件 下，求得式（3.3.10）、式（3.3.11）的解為： z（3.3.10）（3.3.11）1111cossincossin1sincosqzzqzqzszqz 021Imnq 00Re(/ )1Re()nqRn11AqBqCqD于是高斯光束的束寬 和等相位面曲率半徑 由下式?jīng)Q定：R（3.3.12）（3.3.13）（3.3.14）（3.3

12、.15）式（3.3.12）可改寫為：（3.3.16）式中A、B、C、D為矩陣M諸元：1cossinsincosABzzMCDzz非均勻介質(zhì)的非均勻介質(zhì)的ABCD矩陣矩陣（3.3.17）例：對(duì)熱透鏡介質(zhì)例：對(duì)熱透鏡介質(zhì)02,0a 令zl（透鏡厚度）設(shè) ，當(dāng)計(jì)及進(jìn)、出端的界面折射后：1l2002001cossin1/21sincosllll nnMlnlnll（3.3.18）（3.3.19）（3.3.20）這一公式已列入表2.2.1中3.4 高斯光束通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的變換高斯光束通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的變換 在折射率 的物空間 處入射復(fù)參數(shù)為 的高斯光束，通過(guò)變換矩陣 的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)后，在折射率 的像空間 處變

13、換為復(fù)參數(shù) 的高斯光束，于是有： 1n1s1q2n2s2qabcd2111,2iiiiiXiYiqRabcd1n1s11,q2n2s22,q1RP2RPz圖3.4.1 高斯光束通過(guò)復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的變換（3.4.1）由 至 的變換遵從ABCD定律：1q2q121/1/CD qqAB q式中，2121 2211110101acsbasdscs sABsabsMcdcsCDcd221112222211112122222111()()2()(/)2()XYBDXADBCACXAX ABXYBnn YYAX ABXYB（3.4.2）（3.4.3）（3.4.4） 式（3.4.4）及高斯光束通過(guò)復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的

14、一般變換公式，式中諸量均為實(shí)數(shù)。將式（3.4.1）（3.4.3）代入式（3.4.2），并利用矩陣變換的性質(zhì)，得：特例：（1）當(dāng)入射光束取在束腰 處， ，0110X 1101201011YYZ式中 為物方瑞利長(zhǎng)度，則式（3.4.4）成為01Z2012222011201222201(/)BDACZXBA ZnnZYBA Z（3.4.5）（3.4.6）（2）實(shí)際工作中最感興趣的是 ，即研究入射與出射高斯光束束腰間的變換問(wèn)題，此時(shí)式（3.4.4）簡(jiǎn)化為：120XX2012220102212010(/)BDACZBA ZZnnZ（3.4.7）設(shè) ，當(dāng) 時(shí)，可將式（3.4.4）簡(jiǎn)化為：102,iss ss

15、0c 1202220011201022221/2001(/)(/ )()(/)()innsd cascdcsc Znndcsc Z 式（3.4.8）決定了像方束腰位置 和束腰大小 ，常稱為成像公式和成像公式和物像比例公式。物像比例公式。is02（3.4.8）（3）通過(guò)薄透鏡的變換如圖3.4.2，設(shè) ，此時(shí)1011Mf121nn式中 f 為薄透鏡焦距。將式（3.4.9）代入式（3.4.8），得到（3.4.9）20010011111/(-)isfsZs sf0221/2001(-)ifsfZ物像比例公式：成像公式：（3.4.10）（3.4.11）00,q,ffq,iiq0iis0sfz當(dāng) 時(shí)，式（

16、3.4.10）過(guò)渡為幾何光學(xué)薄透鏡成像公式：2200101(-),0sfZZ0111issf物像比例：00iss22010222001(-)if ZZsfZ像方瑞利長(zhǎng)度 為，02Z（3.4.12）（3.4.13）（3.4.14）通常稱式（3.4.14）為高斯光束的景深公式景深公式，它說(shuō)明長(zhǎng)的準(zhǔn)直距離和良好的聚焦效果（小的束寬）二者不可兼得。在工程設(shè)計(jì)中只能根據(jù)具體問(wèn)題要求選擇適當(dāng)參數(shù)，在一定范圍內(nèi)予以滿足。3.5 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦 本節(jié)討論高斯光束通過(guò)薄透鏡的聚焦，出發(fā)點(diǎn)是式（3.4.10）、式（3.4.11）。這一問(wèn)題在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為求像方束寬 的極值。當(dāng) 一定時(shí)，由式（3.4.1

17、1）知 是 的函數(shù)，下面分兩種情況分別討論。i00fs、20010011111/(-)isfsZs sf0221/2001(-)ifsfZ（3.4.10）（3.4.11）一、一、 一定時(shí)，一定時(shí)， 隨隨 變化情況變化情況fi0s將式（3.4.11）對(duì) 求一階偏導(dǎo)數(shù)，得到0s00223/20001()(-)if f-sssfZ由式（3.4.2）求得1、 時(shí)時(shí)0sf0,min02011 (/)if Z2011 (/)ifsffZ因這時(shí) ，故 隨 的減小而單調(diào)減小，當(dāng) 時(shí)， 取極小值，0i0si0s00s i因此，當(dāng) 時(shí)， 總比 小，不論透鏡焦距 多大，總有一定聚焦作用，并且像距始終小于 ，這表示像

18、方束腰位置總在透鏡后焦點(diǎn)以內(nèi)。00s i0ff（3.5.1）（3.5.2）（3.5.3）2、 時(shí)時(shí)0sf因這時(shí) ，故 隨 的增加而單調(diào)減小，當(dāng) 時(shí)，00isi0s0s 0,iisf式中當(dāng)然，這只是理想極限情形。實(shí)際上當(dāng) 時(shí)，有：0sf2 20000( )1 (/)iffss200001()1(/)ssZ為入射在透鏡表面上的高斯光束束寬，且還有isf010000iZffss若同時(shí)還滿足 ，則001sZ因此，當(dāng)物距 較透鏡焦距 遠(yuǎn)大時(shí)， 越大， 越小，則聚焦效果越好。0sf0sf（3.5.4）（3.5.5）（3.5.6）（3.5.7）（3.5.8）3、 時(shí)時(shí)0sf0f 02011(/)zff0s圖

19、3.5.1 隨 的變化（ ）i0sfconst0s01fZ 上述討論結(jié)果可作圖示于下，不論 值多少，只要滿足條件 時(shí)，總有一定聚焦作用。且isf這時(shí) 達(dá)到極大值，,max0ifi僅當(dāng) ，即 時(shí)，透鏡才有聚焦作用。21f 01fZ（3.5.9）（3.5.10）二、二、 一定時(shí)，一定時(shí)， 隨隨 變化情況變化情況fi0s201000223/2001()()iZs sffsfZ2,max001001(/)()iZss2001001 (/) ()fsZsR s1、當(dāng)、當(dāng) 時(shí)時(shí)， 取極大值：i00()()R ss、式中 分別為高斯光束入射在透鏡處等相位面的曲率半徑和束寬。2、 時(shí)時(shí)0()fR s因 ，故

20、隨 的減小而單調(diào)減小。當(dāng) 時(shí)，0ifif0()/2fR s0i0()ifsisf僅當(dāng) 時(shí)，透鏡對(duì)高斯光束才有聚焦作用，且 越小，聚焦效果越好。當(dāng) 時(shí)，有0()/2fR s0fsf3、 時(shí)時(shí)0()fR s因 ，故 隨 的增加而單調(diào)減小。當(dāng) 時(shí)，0ififf 0i故在此范圍無(wú)聚焦作用。 隨 的變化情況示于下圖：if200011 (/)sz001()2R s0()R sfio圖3.5.2 隨 的變化（ ）if0sconst3.6 3.6 高斯光束的匹配高斯光束的匹配 一個(gè)諧振腔產(chǎn)生的單模高斯光束入射到另一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)。 如果模式不匹配（每個(gè)光學(xué)系統(tǒng)有自己的本征模式），將激發(fā)多模；若模式匹配，單模高斯光

21、束只會(huì)激發(fā)系統(tǒng)一個(gè)對(duì)應(yīng)的單模。 如圖3.6.1所示的兩個(gè)共軸球面腔，設(shè)在腔中產(chǎn)生束腰 的基模高斯光束， 腔中產(chǎn)生束腰 的基模高斯光束。如果在其間適當(dāng)位置插入一適當(dāng)焦距 的薄透鏡后，使由腔發(fā)出的光束與由腔發(fā)出的光束互為物像共軛，則該透鏡稱為兩腔的模匹配透鏡模匹配透鏡。i0f00,q,iiq12,qq0sis圖3.6.1 高斯光束的匹配一般的提法是：已知物方高斯光束的束腰 ，要求在像方得到束腰為 的高斯光束，求物距 、像距 和模匹配透鏡的焦距 應(yīng)滿足的關(guān)系式?？捎酶咚构馐膹?fù)參數(shù)表示和ABCD定律直接推導(dǎo)。0if0sis由ABCD定律：01100122122:111:iiiqqqqsqqqqfqq

22、qqs（3.6.1）（3.6.2）（3.6.3）將式（3.6.1）（3.6.2）代入（3.6.3），得：展開(kāi)上式左方，分離實(shí)、虛部，并利用均為純虛數(shù)，得到：0011()1iiqsqsf200211iiiqiq 20000()()()()iiiisfsfq qfq sfqsf（3.6.4）（3.6.5）（3.6.6）把式（3.6.5）代入式（3.6.6）求解 可得：0iss、220002200iiisfffsfff0if （3.6.8）（3.6.7）式中，（3.6.9）式（3.6.7）和（3.6.8）稱為高斯光束的模匹配公式。下面分兩種情況討論。（1）當(dāng) 給定時(shí)，模匹配公式中仍包含三個(gè)未知量 和

23、 ，因而可以在物理上允許范圍內(nèi)獨(dú)立選擇其中一個(gè)量，求解其余兩個(gè)量。（2）若 給定時(shí)，可聯(lián)立方程解出 和 ，但在實(shí)際問(wèn)題中必須注意檢查求出的結(jié)果在物理上是否合理。 0i、0iss、f0isss0iss、f3.7 像散橢圓高斯光束像散橢圓高斯光束 由環(huán)形腔、折疊腔之類的像散腔輸出的激光束，或者在各向異性介質(zhì)中傳播的激光束一般都為橢圓高斯光束。以各向異性介質(zhì)中傳播為例，給出基模橢圓高斯光束的數(shù)學(xué)描述。 高斯光束在各向異性非均勻介質(zhì)中傳播，設(shè)介質(zhì)折射率為 、增益系數(shù) 為：n2222022220( , , )(1),1,1( , , )(1),1,1xyxyxyxyn x y znxyxyx y zxy

24、xy場(chǎng)函數(shù)：0( , , )( , , )ikn zE x y zA x y z e（3.7.1）（3.7.2）（3.7.3）（3.7.8）將式（3.7.1）、（3.7.2）、（3.7.3）代入亥姆霍茲方程式，在緩變振幅近似下化為：2222222200222()0 xyAAAiknk nxyAxyz0002nnik2002(),iiiiix yn k 000000( )( )xyzizs zsq qq zq2202( )()00( , , )( )xyiknxyqxqyAA x y zes z傳輸常數(shù)在邊界條件為：式（3.7.4）的一個(gè)特解為：（3.7.4）（3.7.5）（3.7.6）（3.7

25、.7）1/200001cossin( )11sincos( )sincossincosiiiiiiiixxxiyyyxys zzqzzqzqzzq zqzz其中（3.7.9）（3.7.10） 對(duì)于本節(jié)所討論情況，光束參數(shù)雖然在xoz和yoz 面上不相等，但它們是可分離的，具有簡(jiǎn)單的像散特征。( , , )A x y z 描寫的光束為基模橢圓高斯光束。由 可知，在xoz和yoz 面上，橢圓高斯光束的參數(shù) 和 一般是不相等的 像散橢圓高斯光束。( )iq z( )xq z( )yq z( )i0iiii0iiAqBq zC qD1cossinsincosiiiiiiiiiizzABCDzz( )i

26、q z式（3.7.10）， 可改寫為：其中即 和 分別服從ABCD定律。因此前面對(duì)高斯光束討論結(jié)果可以分別用于表述橢圓高斯光束在xoz和yoz 面上的行為。( )xqz( )yqz（3.7.11）（3.7.12）3.8 3.8 高斯光束參數(shù)的測(cè)量高斯光束參數(shù)的測(cè)量 現(xiàn)已有多種實(shí)驗(yàn)技術(shù)和方法，對(duì)高斯光束參數(shù)進(jìn)行測(cè)量，但測(cè)量原理基本相同。本節(jié)內(nèi)容介紹對(duì)高斯光束光斑半徑、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角、等相位面曲率半徑、模式線寬等參數(shù)的測(cè)量原理和簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法。一、束寬和遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角的測(cè)量一、束寬和遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角的測(cè)量 實(shí)驗(yàn)裝置示于圖3.6.1，二極管陣列（或CCD）置于薄透鏡的后焦面上，遠(yuǎn)場(chǎng)光束強(qiáng)度的徑向分布在示波器上顯示，記錄。 按照光斑的定義，可由實(shí)驗(yàn)記錄直接求出在透鏡后焦面處高斯光束的光斑半徑 來(lái)。示波器00,qf0pf二極管陣列f 圖3.8.1 測(cè)量高斯光束束寬和遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角的實(shí)驗(yàn)裝置0001(1)11ssssffMsff（3.8.1）（3.8.2）