第四部分三重積分的計(jì)算教學(xué)ppt課件

1、第四節(jié) 三重積分的計(jì)算一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、小結(jié)三、小結(jié),0 r,20 . z一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)就就叫叫點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為面面上上的的投投影影在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，并并設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為為常常數(shù)數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面

2、分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 例例1 1 計(jì)算計(jì)算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區(qū)

3、區(qū)域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxII

4、I 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原原式式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)點(diǎn)為為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來確定，其中來確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可

5、用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為為常常數(shù)數(shù)r為為常常數(shù)數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸軸上上的的投投影影為為在在點(diǎn)點(diǎn)，面面上上的的投投影影為為在在設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2

6、 ddrdrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，例例 3 3 計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxI)(22，其中，其中 是是錐面錐面222zyx ， 與與平面平面az )0( a所圍的立體所圍的立體.解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo) ,:222ayxD dxdydzyx

7、I)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所圍圍 成成的的立立體體體體積積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡三重積分計(jì)算補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡三重積分計(jì)算運(yùn)用對(duì)稱性時(shí)

8、應(yīng)留意：運(yùn)用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)留意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的的 一一般般地地，當(dāng)當(dāng)積積分分區(qū)區(qū)域域 關(guān)關(guān)于于xoy平平面面對(duì)對(duì)稱稱，且且被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的奇奇函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為零零，若若被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的偶偶函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為 在在xoy平平面面上上方方的的半半個(gè)個(gè)閉閉區(qū)區(qū)域域的的三三重重積積分分的的兩兩倍倍.奇偶性奇偶性例例利利用用對(duì)對(duì)稱稱性性簡簡化化計(jì)計(jì)算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln

9、(222222其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域1| ),(222 zyxzyx.解解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的奇函數(shù)的奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 計(jì)算計(jì)算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由拋物是由拋物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所圍成的空所圍成的空間閉區(qū)域間閉區(qū)域.其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對(duì)對(duì)稱稱, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且

10、 關(guān)關(guān)于于yoz面面對(duì)對(duì)稱稱, 0 xzdv由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)下下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投投影影區(qū)區(qū)域域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 1 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素dzrdrddxdydz 2 球面坐標(biāo)的體積元素球面坐標(biāo)的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 3 對(duì)稱性簡化運(yùn)算對(duì)稱性簡化運(yùn)算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)三、小結(jié)三、小結(jié)思索題思索題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函