【數(shù)學(xué)】222橢圓的幾何性質(zhì)課件1（蘇教版選修2-1）

1、2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程)0(1)1 (2222babyax)0(1)2(2222baaybx1. 1. 橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和(2(2a) )大于定長(zhǎng)大于定長(zhǎng)(2(2c) )的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡(2(2a2 2c).).通過研究通過研究 曲線的方程曲線的方程,可以知道可以知道曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì).)0( 12222babyax問題1你能找出上述方程中你能找出上述方程中x，y的取值的取值范圍嗎范圍嗎?由上式知122ax122by所以 axabyb探索新知一、橢圓的范圍一、橢圓的范圍 oxy由由12222byax即即

2、byax和說明：橢圓位于直線說明：橢圓位于直線x=a和和y=b所圍成的所圍成的矩形之中矩形之中112222byax和問題問題2 2以以x代換代換x，以，以y代換代換y，方程改變嗎方程改變嗎?同時(shí)以同時(shí)以x代換代換x，以，以y代換代換y，方程改變嗎方程改變嗎?問題問題3 3 若點(diǎn)若點(diǎn)P(x，y)在橢圓上在橢圓上,點(diǎn)點(diǎn)(x，y)與橢圓與橢圓有什么關(guān)系有什么關(guān)系? 點(diǎn)點(diǎn)(x，y)與橢圓有什么關(guān)系與橢圓有什么關(guān)系?點(diǎn)點(diǎn)(x，y)與橢圓又有什么關(guān)系與橢圓又有什么關(guān)系?問題問題4 4 這說明橢圓具備什么性質(zhì)呢這說明橢圓具備什么性質(zhì)呢? ?想一想? ?二、對(duì)稱性二、對(duì)稱性橢圓的對(duì)稱性橢圓的對(duì)稱性yxOP（x

3、，y）P1（x，y）P2（x，y）從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱橢圓是橢圓是軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖象，也是圖象，也是中心中心對(duì)稱對(duì)稱圖形圖形x軸和軸和y軸軸是它的對(duì)稱軸，是它的對(duì)稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心是它的對(duì)稱中心結(jié)論結(jié)論 通過上面的分析,我們得到判斷曲線是否對(duì)稱的方法：以以x代換代換x, ,若方程不變?nèi)舴匠滩蛔? ,則曲線關(guān)于則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；若以若以- -y代換代換y, ,方程不變方程不變, ,曲線關(guān)于曲線關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱; ;同時(shí)以同時(shí)以 x代換代換x, ,以以 y代換代換y, ,方程不變方程不變, ,則方程關(guān)于則方程關(guān)于坐

4、標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱. . 在下列方程所表示的曲線中在下列方程所表示的曲線中, ,關(guān)于關(guān)于x軸和軸和y軸都對(duì)稱的是軸都對(duì)稱的是( ( ) ) A. x 24y B. x 22 x yy 0 C. x 24y25x D.9x 2y24看一看三、頂點(diǎn)三、頂點(diǎn)如圖,設(shè)橢圓的方程為 同學(xué)們計(jì)算一下橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).答案：A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)線段A1A2叫做橢圓的長(zhǎng)軸線段B1B2叫做橢圓的短軸22221(0)xyabab在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)A1A2B2B1xyOA1A2B2B1F2F1OxyB2F2 =aOF2 =cOB

5、2 =b 直角三角形直角三角形OB2F2,它反應(yīng)了它反應(yīng)了橢圓三個(gè)基本量之間的關(guān)系橢圓三個(gè)基本量之間的關(guān)系,所以所以叫做橢圓的叫做橢圓的特征三角形特征三角形.例例1求橢圓求橢圓 的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并畫出它的圖形率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并畫出它的圖形.解：a=5 ,b=3c=4925192522yx所以,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，(4，0)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)，(5，0)，(0，3)，(0，3)2a=10，2b=6注意：注意：長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸=2a短軸短軸=2b例例2 2 求符合下列條件的求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上）：軸上）

6、：（1）焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較接近的端點(diǎn)的距離為 ，焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直；（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）105我們來總結(jié)一下橢橢圓圓的的幾幾何何性性質(zhì)質(zhì)1 范圍范圍2 對(duì)稱性對(duì)稱性3 頂點(diǎn)頂點(diǎn)4 離心率離心率一、一、二、二、 性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用三、曲線對(duì)稱性的判定方法三、曲線對(duì)稱性的判定方法歸納小結(jié)一、復(fù)習(xí)導(dǎo)引一、復(fù)習(xí)導(dǎo)引 求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、頂求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)：點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)： （1）9x2+16y2=144； （2）4x2+3y2=12.二、學(xué)生活動(dòng)二、學(xué)生活動(dòng) 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上的橢

7、圓軸上的橢圓(ab0)，其范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、對(duì)，其范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、長(zhǎng)軸位置及長(zhǎng)度、短軸位置稱中心、長(zhǎng)軸位置及長(zhǎng)度、短軸位置及長(zhǎng)度？及長(zhǎng)度？12222bxay問題情境問題情境 取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫板的固定在畫板的F1和和F2兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓若細(xì)繩的長(zhǎng)度固定不變，將一個(gè)橢圓若細(xì)繩的長(zhǎng)度固定不變，將焦距分別增大和縮小，想象橢圓的焦距分別增大和縮小，想象橢圓的“扁扁”的程度的變

8、化規(guī)律的程度的變化規(guī)律橢圓的離心率橢圓的離心率 oxyace 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：叫做橢圓的離心率叫做橢圓的離心率（1）離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：因?yàn)橐驗(yàn)?a c 0，所以，所以1 e 0（2）離心率對(duì)橢圓形狀的影響：離心率對(duì)橢圓形狀的影響：e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越小，橢圓就越扁就越小，橢圓就越扁e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，從而，從而 b就越大，橢圓就越圓就越大，橢圓就越圓特例：特例：e =0，則，則 a = b，則，則 c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓 方程變?yōu)閳A

9、方程變?yōu)閳Aace 叫做橢圓的離心率.所以：e的取值范圍: 0e c 0，ca橢圓更扁ca0橢圓更圓橢圓方程橢圓方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率)(012222 babyax)(012222 baaybx aaxbbyaaxbby對(duì)稱軸：對(duì)稱軸：x 軸軸 ，y軸軸對(duì)稱中心對(duì)稱中心 ：坐標(biāo)原點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱軸：對(duì)稱軸： x 軸，軸，y軸軸對(duì)稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn)(a,0) (0,b)(0,a) (b,0)ace 0e1 ()橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)例例1求橢圓求橢圓 的離心率的離心率解解：a5 ，b3,C4925192522yx例例2 2 求求焦距為焦距為8 8，離心率為，離心率為0.80.8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例例3 3 已知橢圓已知橢圓 的離心率為的離心率為 ，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m 的值的值 1422myx23鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1若橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng)，則若橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng)，則其離心率為其離心率為 2若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正