中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)學(xué)案將軍飲馬類(lèi)題型大全含部分答案

1、“將軍飲馬”類(lèi)題型大全一.求線(xiàn)段和最值1（一）兩定一動(dòng)型例1:如圖，AMLEF,BNLEF,垂足為MN,MN=12mAW5m,BN=4mP是EF上任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值是m分析：這是最基本的將軍飲馬問(wèn)題，A,B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定一動(dòng)將軍飲馬型，根據(jù)常見(jiàn)的“定點(diǎn)定線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)”，可作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，連接AB,此時(shí)AP+PB即為A'B,最短.而要求AB,則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決.解答：作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',過(guò)點(diǎn)A'彳AC±BN的延長(zhǎng)線(xiàn)于C.易知AM=A隹NC=5mBO9m,AC=MN=12m

2、在RtA'BC中，AB=15m,即PA+PB的最小值是15m變式：如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,E,F,G為各邊中點(diǎn)，P為線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BPG周長(zhǎng)的最小值為.分析：考慮到BG為定值是1,則4BPG的周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為求BP+PG的最小值，又是兩定一動(dòng)的將軍飲馬型，考慮作點(diǎn)G關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，這里有些同學(xué)可能看不出來(lái)到底是哪個(gè)點(diǎn)，我們不妨連接AG則AGLBC再連接EG根據(jù)“直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半”，可得AE=EG則點(diǎn)A就是點(diǎn)G關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).最后計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，別忘了加上BG的長(zhǎng)度.解答：連接AG易知PG=PA,BPPG=BP+PA當(dāng)B,P,A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BP+P氏BA,

3、此時(shí)最短，BA=2,BG=1,即ABPG周長(zhǎng)最短為3.2（二）一定兩動(dòng)型例2:如圖，在4ABC中，AB=AO5,D為BC中點(diǎn)，AD=5,P為AD上任意一點(diǎn)，E為AC上任意一點(diǎn)，求P8PE的最小值.分析：這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，P,E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，由于ABC是等腰三角形，AD是BC中線(xiàn)，則AD垂直平分BC點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B,PC+P已PB+PE,顯然當(dāng)B,P,E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BE更短.但止匕時(shí)還不是最短，根據(jù)“垂線(xiàn)段最短”只有當(dāng)BE!AC時(shí)，BE最短.求BE時(shí)，用面積法即可.解答：作BE!AC交于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)P,易知ADLBCBA3,BO6,WJAD-BOBE-AC4X

4、6=BE-5,BE=變式：如圖，BD平分/ABCE,F分別為線(xiàn)段BCBD上的動(dòng)點(diǎn)，AB=8,ABC勺周長(zhǎng)為20,求EF+CF的最小值.分析：這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，F(xiàn),E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點(diǎn)定線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)”，但這題這樣做，會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題.因?yàn)辄c(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'必然在AB上，但由于BC長(zhǎng)度未知，BC長(zhǎng)度也未知，則C'相對(duì)的也是不確定點(diǎn)，因此我們這里可以嘗試作動(dòng)點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).解答：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E',連接E'F,則EF+CF=E'F+CF,當(dāng)E',F,C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，E'F+C已E'C,此時(shí)較短.過(guò)

5、點(diǎn)C作CE'，AB于E'',當(dāng)點(diǎn)E'與點(diǎn)E''重合時(shí)，E''C最短，E''C為AB邊上的高，E''O5.（三）兩定兩動(dòng)型例3:如圖，/AO&30°,OC=5,O512,點(diǎn)E,F分別是射線(xiàn)OAOB上的動(dòng)點(diǎn)，求C斗EF+DE的最小值.分析：這里的點(diǎn)C,點(diǎn)D是定點(diǎn)，F(xiàn),E是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，依舊可以用“定點(diǎn)定線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)”來(lái)考慮.作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).解答：作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D',連接CD'.CF+EF+DE

6、=CF+EF+D'E,當(dāng)C,F,E,D'四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，C斗EF+D已CD'最短.易知/D'OC=90°,OD=12,OC=5,CD'=13,CF+EF+DE最小值為13.變式：（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面AB寬，白球E距AD邊，距CD邊，有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD4,若要使白球E經(jīng)過(guò)邊AD,DC兩次反彈擊中紅球F,求白球E運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)的總長(zhǎng)度.分析：本題中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是定點(diǎn)，兩次反彈的點(diǎn)雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗(yàn)作出，即分別作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E',作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F',即可畫(huà)出白球E的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)，化歸為

7、兩定兩動(dòng)將軍飲馬型.解答：作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E',作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F',連接E'F',交AD于點(diǎn)G交CD于點(diǎn)H,則運(yùn)動(dòng)品&線(xiàn)長(zhǎng)為EJG*HF長(zhǎng)度之和，即E'F'長(zhǎng)，延長(zhǎng)E'E交BC于N,交AD于M,易知E'MhEMh,E'N=+=2m,NF=NOCF=+=,則RtE'NF中，E'F'=,即白球運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)的總長(zhǎng)度為.小結(jié)：以上求線(xiàn)段和最值問(wèn)題，幾乎都可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)”“一定兩動(dòng)”“兩定兩動(dòng)”類(lèi)的將軍飲馬型問(wèn)題，基本方法還是“定點(diǎn)定線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)”，利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”“垂線(xiàn)段最短

8、”的2條重要性質(zhì)，將線(xiàn)段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法來(lái)求解.當(dāng)然，有時(shí)候，我們也需學(xué)會(huì)靈活變通，定點(diǎn)對(duì)稱(chēng)行不通時(shí)，嘗試作動(dòng)點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(二)求角度例1:P為/AOB內(nèi)一定點(diǎn)，MN分別為射線(xiàn)OAOB上一點(diǎn)，當(dāng)PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，ZMPN800.(1) /AOB0(2)求證：OP平分/MPN分析：這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題，我們應(yīng)該先將MN的位置找到，冉來(lái)思考/AOB的度數(shù)，顯然作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'',連接P'P'',其與OA交點(diǎn)即為M,O皎點(diǎn)即為N,如下圖，易知/DPCWZAOBM補(bǔ)，則

9、求出/DPC的度數(shù)即可.解答：(1)法1：如圖，Z1+72=100°,/1=/P'+/3=2/3,/2=/P''+/4=2/4,則/3+/4=50°,/DP於130°,/AO&50°.再分析：考慮到第二小問(wèn)要證明OP平分/MPN我們就連接OP則要證/5=/6,顯然很困難，這時(shí)候，考慮到對(duì)稱(chēng)性，我們?cè)龠B接OP,OP',則/5=Z7,Z6=/8,問(wèn)題迎刃而解.解答：(1)法2:易知OP=OP',/7+/8=/5+/6=80°,/P'OP'=100°,由對(duì)稱(chēng)性知，/9=/11,

10、/10=Z12,/AO*/9+/10=500(2)由OP=OP',/P'OP'=100°知，/7=/8=40°,/5=/6=40°,OP平分/MPN變式：如圖，在五邊形ABODES,/BA2136°,/B=/E=90°,在BGDE上分別找一點(diǎn)MN,使得AAMN勺周長(zhǎng)最小時(shí)，則/AMN-/ANM的度數(shù)為.分析：這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題，必然是作A點(diǎn)關(guān)于BODE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'、A,連接AA，與BGDE的交點(diǎn)即為AMN長(zhǎng)最小時(shí)MN的位置.解答：如圖，./BAE=136°,./MAA+/NA'A=440由對(duì)稱(chēng)性知，/MAA=/MAA,/NAA=/NA'A,ZAMN-ZANM=2/MAA+2/NA'A=88°