基于多項(xiàng)式插值與三次樣條插值曲線擬合的比較

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015級(jí)數(shù)值分析課外課堂大作業(yè)論文題目： 基于多項(xiàng)式插值與三次樣條插值曲線擬合的比較姓 名： XXX學(xué) 號(hào)： XXXXXXXXXXX學(xué) 院： XXXXXXXXXXXXXXX專業(yè)方向: XXXXXXXXXXXXXXX聯(lián)系方式：（QQ號(hào)） （手機(jī)號(hào) ）導(dǎo)師姓名： 完成人（親筆）簽字 二0一五年十二月基于多項(xiàng)式插值與三次樣條插值曲線擬合的比較摘要：在數(shù)值計(jì)算中經(jīng)常要計(jì)算函數(shù)，當(dāng)函數(shù)只在有限點(diǎn)集上給定函數(shù)值要包含改點(diǎn)集的區(qū)間上用公式給出函數(shù)的簡單表達(dá)式，這就涉及在已知區(qū)間上用簡單函數(shù)逼近已知復(fù)雜函數(shù)問題。本文為了解決這類問題就采用多項(xiàng)式插值與三次樣條插值兩種插值法并利用MA

2、TLAB數(shù)值分析軟件進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)相應(yīng)數(shù)據(jù)的曲線擬合以獲得最佳曲線模型與相應(yīng)數(shù)據(jù)的曲線擬合，選出最優(yōu)的插值法以解決所給數(shù)據(jù)的曲線擬合問題。關(guān)鍵詞：函數(shù)；多項(xiàng)式插值；三次樣條插值；曲線擬合；MATLABAbstract: In numerical analysis ,the function value is often calculated .when the function is only given a function point set ,the simple expression of the function is given by the interval .which inv

3、olves the use of a simple function to approximate the known complex function .in order to solve this problem ,we use polynomial interpolation and cubic spline interpolation tow kind of interpolation method and use MATLAB numerical analysis software to program ,to achieve the curve fitting of the cor

4、responding date to obtain the best cure fitting ,and to choose the best interpolation method to solve the problem of curve fitting to the date. Keyword: Function ; Polynomial interpolation ; Cubic spline interpolation ; Fitting of a curve ; MATLAB 專心-專注-專業(yè)前言 現(xiàn)代科學(xué)研究中，物理量之間的相互關(guān)系通量是用函數(shù)來描述的，許多實(shí)際問題都用函數(shù)y=

5、f(x)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系其中相當(dāng)一部分函數(shù)是通過試驗(yàn)或觀測得到的也有少量函數(shù)關(guān)系是由經(jīng)典物理分析推導(dǎo)得到的，但許多實(shí)際問題很難用經(jīng)典理論分析得出，因?yàn)殡m然f(x)在某個(gè)區(qū)間a,b上是存在的，有的還是連續(xù)的，但往往這個(gè)f(x)并不包含我們所得函數(shù)表的所有值因此我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個(gè)即能反應(yīng)函數(shù)f(x)的特行，又便于計(jì)算的簡單函數(shù)p(x)，用p(x)近似f(x)，這樣確定的p(x)就是我們希望得得到的插值函數(shù)。 插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法。在現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)中用計(jì)算機(jī)程序控制加工機(jī)械零件，根據(jù)設(shè)計(jì)可給零件外形曲線的某些點(diǎn)加工是為控制每步走刀方向及步數(shù)就要算出零件外形曲線其他點(diǎn)的函數(shù)

6、值才能加工外形光滑的零件，插值函數(shù)就能很好解決這類問題，本文主要采用多項(xiàng)式插值與三次樣條插值來解決給定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用這兩種插值法構(gòu)造一個(gè)近似解析式y(tǒng)=f(x)p(x)利用該公式得出的p(x)函數(shù)曲線雖然不能保證通過所有樣點(diǎn)，但能很好地“逼近”它們從分反映已知數(shù)據(jù)間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，本文利用多項(xiàng)式插值與三次樣條插值兩種插值方法分別“逼近”已知點(diǎn)比較出最佳插值法。 第一章 數(shù)值算法的介紹一 多項(xiàng)式插值 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上有定義，且已知在點(diǎn)a上的值 ,若存在一簡單函數(shù)p(x)使 P()= ,i=0,1,n (1.1)成立就成P(x)為F(x)的插值函數(shù)，點(diǎn)，,稱為插值節(jié)點(diǎn)，包括插值節(jié)點(diǎn)的

7、區(qū)間a,b稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù)p(x)的方法成為插值法。若p(x)是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項(xiàng)式，即 P（x）=+ + (1.2)其中為實(shí)數(shù)就稱p(x)為插值多項(xiàng)式。 多項(xiàng)式插值包含多種插值法這里主要介紹拉格朗日插值法。 若n次多項(xiàng)式(x)(j=0,1,n)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件 j,k=0,1,n (1.3)就稱n+1個(gè)n次多項(xiàng)式上的n次插值基函數(shù)。所以拉格朗日插值多項(xiàng)式公式 (X)= (1.4)其中(x)=（x-）(x-)(x-), ()=(-) (-)(-)(-)二 三次樣條插值 在機(jī)械領(lǐng)域早期工程師制圖時(shí)，把富有彈性的細(xì)長木條(所謂的樣條)用壓鐵固定在樣點(diǎn)上，在其他地方讓它彎曲，然后

8、延木條畫下曲線，稱為樣條曲線樣條曲線實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到·數(shù)學(xué)樣條這一概念。定義:函數(shù)S(x)a,b ，且在每個(gè)小區(qū)間 ,+1 上是三次多項(xiàng)式，其中a =< <.< = b 是給定節(jié)點(diǎn)，則稱S(x)是節(jié)點(diǎn),.上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)上給定函數(shù)值= f ().( j =0, 1, , n) ，并成立S() = .( j= 0, 1, , n) ， (2.1)則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。由于插值節(jié)點(diǎn)有n+1個(gè)，故得到n個(gè)小區(qū)間，而每個(gè)小區(qū)間上要求一個(gè)三次多項(xiàng)式，每個(gè)區(qū)間需要4個(gè)條件，所以要確定樣條函

9、數(shù)S，共需要4n個(gè)條件。在插值節(jié)點(diǎn)上，S() = f(),j = 0,1,2,.,n,得到n+1個(gè)條件，在j = 1,2,.,n-1,由S，S的一階導(dǎo)數(shù)，S的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)可以得到3(n-1)個(gè)條件，所以總共得到了，4n-2個(gè)條件，要確定S還需要兩個(gè)條件。就是通常所說的邊界條件。常見的有一下3種：(1) 已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即 (2)兩端的二階導(dǎo)數(shù)已知，即 特殊情況為 此式稱為自然邊界。 （3）當(dāng)f(x)是以為周期的周期函數(shù)時(shí)，則要求S(x)也是周期函數(shù)這時(shí)邊界條件贏滿足 此時(shí)（2.1）式中。這樣確定樣條函數(shù)S(x)稱為周期樣條函數(shù)。第二章 曲線擬合問題 X 0 1 4 9 16 25 36

10、49 64 Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8下列數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值：可以得到平方根函數(shù)的近似，0,64上作圖。（1） 用這9個(gè)點(diǎn)做8次多項(xiàng)式插值(X)；（2） 用三次樣條（第一邊界條件）程序求S(x).（3） 從得到結(jié)果看0,64上，那個(gè)插值更準(zhǔn)確；在區(qū)間0,1上兩種插值那個(gè)更準(zhǔn)確？第三章 用MATLAB求解過程以及對結(jié)果的分析MATLAB是一種高級(jí)的數(shù)值分析處理軟件，本文的問題就是通過MATLAB來求解的通過有MATLAB編程分別求出用多項(xiàng)式（這里采用拉格朗日插值多項(xiàng)式）和三次樣條插值多項(xiàng)式的表達(dá)式再利用MATLAB語言編程處理圖像，我們可以根據(jù)圖像來分析具體如下：（1） 拉格朗日差值多項(xiàng)式

11、的MATLAB語言編程syms x l;x1=0 1 4 9 16 25 36 49 64;y1=0 1 2 3 4 5 6 7 8;n=length(x1);Ls=sym(0);for i=1:n l=sym(y1(i);for k=1:i-1 l=l*(x-x1(k)/(x1(i)-x1(k);endfor k=i+1:n l=l*(x-x1(k)/(x1(i)-x1(k);end Ls=Ls+l;endLs=simplify(Ls) %為所求插值多項(xiàng)式Ls(x).通過此程序求出多項(xiàng)式表達(dá)式：Ls=-/*t.2+95549/72072*t-1/*t.8-/*t.4+19/*t.7+/*t.

12、3+33983/*t.5-13003/*t.6(2) 三次樣條插值MATLAB語言程序 syms x1;x1=0 1 4 9 16 25 36 49 64;y1=0 1 2 3 4 5 6 7 8;x2=0:1:64;y3=spline(x1,y1,x2);p=polyfit(x2,y3,3); %得到三次樣條擬合函數(shù)S=p(1)+p(2)*x+p(3)*x2+p(4)*x3 %得到S(x)其運(yùn)行結(jié)果S（x）= 23491/-72833/*x+76713/*x2+6867/42624*x3（3）圖像處理 clear;x=0 1 4 9 16 25 36 49 64;y=0:8;t=0:0.1:

13、64;Y=t.(0.5);Ls=-/*t.2+95549/72072*t-1/*t.8-/*t.4+19/*t.7+/*t.3+33983/*t.5-13003/*t.6s=interp1(x,y,t,'spline');plot(x,y,'ro',t,Y,'r',t,Ls,'b't,s,'g');grid;圖像如下；圖1 其中：（1） 紅色代表已知點(diǎn)連接的曲線（2） 綠色代表三次樣條差值曲線（3） 藍(lán)色代表拉格朗日插值曲線所以有圖中可知在區(qū)間0,64上三次樣條插值明顯比多項(xiàng)式插值更逼近已知點(diǎn)幾乎與已知點(diǎn)重合，而在0,1區(qū)間上沒有明顯的差別。下圖為0,1區(qū)間圖像；學(xué)習(xí)心得體會(huì) 數(shù)值分析是計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法通過近一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，對于理論基礎(chǔ)知識(shí)我有了一定的了解。作為一名研究生在今后的科研中數(shù)值分析這門課程將成為我處理許多數(shù)學(xué)建模問題的一種很好的方法。在這一學(xué)期的學(xué)習(xí)中也是存在很多問題，這主要是因?yàn)樽约簩A(chǔ)掌握的不夠，但通過老師的指導(dǎo)數(shù)值分析這門課真正使我們做到理論與實(shí)際相結(jié)合，讓我們學(xué)會(huì)了學(xué)以致用。 通過此次大作業(yè)我真正認(rèn)識(shí)到自己的不足之處，看是簡單的大作業(yè)我自己做起來是那么的困難，能真正能夠完成此次作業(yè)多靠同學(xué)們的幫助，這也讓我認(rèn)識(shí)到