高等數(shù)學(xué)D11_1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ppt課件

1、無窮級(jí)數(shù) 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)第十一章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 *四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第一節(jié) 第十一章 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個(gè)和逼近于

2、圓的面積 A .0a1a2ana設(shè) a0 表示,時(shí)n即naaaaA210內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正邊形面積為n23機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 引例引例2. 小球從 1 米高處自由落下, 每次跳起的高度減少一半, 問小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說明道理.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程2g21ts 知g2st 則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263. 2( s )設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)間, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義：定義： 給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依,1nnu即1nnunuuuu

3、321稱上式為無窮級(jí)數(shù)， 其中第 n 項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和nkknuS1稱為級(jí)數(shù)的部分和.nuuuu321次相加, 簡記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱 S 為級(jí)數(shù)的和, 記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1nnuS當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值21nnnnuuSSr為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,lim不存在若nnS則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .顯然0limnnr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1q12nnqaqaqaaSqqaan

4、1時(shí)，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級(jí)數(shù)收斂 ,;1 qa,1時(shí)當(dāng)q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2). 假設(shè),1q,1時(shí)當(dāng)qanSn因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,1時(shí)當(dāng)qaaaaan 1) 1(因而nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .那么,級(jí)數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (

5、1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和23ln34lnnn1ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例3. 判別級(jí)數(shù)2211lnnn的斂散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2

6、) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為.2ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)1nnuc也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS那么nkknuc1,nScnnlimSc這說明1nnuc收斂 , 其和為 c S . nnSclim說明說明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

7、 完畢 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS1nnv則級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S證證: 令令,1nkknuS,1nkknv那么)(1knkknvu nnS)(nS這說明級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 那么)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級(jí)

8、數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證證: 將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)1nnu的前 k 項(xiàng)去掉,1nnku的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時(shí)由于n數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為.kSS 類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS若按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu則新級(jí)數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級(jí)數(shù)部分和序列 ),2,1(nSn的一個(gè)子序列,nnmmS limlimS推論推論: 若

9、加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但1111發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性判斷級(jí)數(shù)的斂散性:141141131131121121解解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nn121機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 設(shè)

10、收斂級(jí)數(shù),1nnuS則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項(xiàng)為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.nun,時(shí)當(dāng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注意注意:0limnnu并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .事實(shí)上事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 那那么么0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾

11、! 所以假設(shè)不真 .21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和若收斂求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 那么nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11從而,0limnnu這說明級(jí)數(shù)(1) 發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2

12、, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進(jìn)行拆項(xiàng)相消進(jìn)行拆項(xiàng)相消,41limnnS這說明原級(jí)數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn(2) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132這說明原級(jí)數(shù)收斂, 其和為 3 ., 3limnnS故(3) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 的充要條件是:*四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 定理定理.收斂級(jí)數(shù)1nnu, 0,ZNpnnnuuu21時(shí)，當(dāng)Nn ,Zp對(duì)任意有證證: 設(shè)所給級(jí)數(shù)部分和數(shù)列為),2, 1(nSn因?yàn)閚pnpnnnSSuuu21所以, 利用數(shù)列 ),2, 1(nSn的柯西審斂原理(第一章第六節(jié)) 即得本定理的結(jié)論 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. .112的斂散性nnpnnnuuu21解解: ,Zp對(duì)任意有利用柯西審斂原理判別級(jí)數(shù) 222)(1)2(1) 1(1pnnn)(1(1)2)(1(1)