一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理及典型練習(xí)習(xí)題(含答案)

1、一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一個(gè)一元一次不等式經(jīng)過(guò)不等式的同解變形后，都可以化為axb(a0)的形式.當(dāng)a0時(shí)，解集為 ；當(dāng)a0時(shí)，解集為 .2.一元二次不等式及其解法(1)我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為_(kāi)不等式.(2)使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解組成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函數(shù)與不等式000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1x2)有兩相等實(shí)根x1x2無(wú)實(shí)根ax2bxc0(a0)的解集Rax

2、2bxc0(a0)的解集x|x1xx23.分式不等式解法(1)化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型.方法：移項(xiàng)，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.(2)將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，如： f(x)g(x)0； 0 f(x)g(x)0；0 0 ()已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，則AB()A.2，1 B.1，2)C.1，1 D.1，2)解：Ax|x3或x1，Bx|2x2，ABx|2x12，1.故選A. 設(shè)f(x)x2bx1且f(1)f(3)，則f(x)>0的解集為()A.x|xR B.x|x1，xRC.x|x1 D.x|x1解：f(1)1b12b，f(3)93b1103b，由f(1)f(3)

3、，得2b103b，解出b2，代入原函數(shù)，f(x)>0即x22x1>0，x的取值范圍是x1.故選B. 已知<<2，則x的取值范圍是()A.2<x<0或0<x< B.<x<2<或x>2 <2或x>解：當(dāng)x>0時(shí)，x>；當(dāng)x<0時(shí)，x<2.所以x的取值范圍是x<2或x>，故選D. 不等式0的解集是 .解：不等式>0等價(jià)于(12x)(x1)0，也就是(x1)0，所以1x.故填. ()若一元二次不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為_(kāi).解：顯然k0.若k0，則只

4、須(2x2x)max，解得k；若k0，則只須(2x2x)min，解得k(3，0).故k的取值范圍是(3，0).故填(3，0).類(lèi)型一一元一次不等式的解法已知關(guān)于x的不等式(ab)x2a3b0的解集為，求關(guān)于x的不等式(a3b)xb2a0的解集.解：由(ab)x3b2a的解集為，得ab0，且，從而a2b，則ab3b0，即b0，將a2b代入(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故所求解集為(，3).點(diǎn)撥：一般地，一元一次不等式都可以化為axb(a0)的形式.挖掘隱含條件ab0且是解本題的關(guān)鍵.解關(guān)于x的不等式：(m24)xm2.解：(1)當(dāng)m240即m2或m2時(shí)，當(dāng)m2時(shí)，原不等式的解集為，不

5、符合當(dāng)m2時(shí)，原不等式的解集為R,符合(2)當(dāng)m240即m2或m2時(shí)，x.(3)當(dāng)m240即2m2時(shí)，x.類(lèi)型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x27x120; (2)x22x30；(3)x22x10; (4)x22x20.解：(1)x|x3或x4.(2)x|3x1.(3).(4)因?yàn)?，可得原不等式的解集為R.()已知函數(shù)f(x) 則不等式x(x1)f(x1)1的解集是()A.x|1x1 B.x|x1C.x|x1 D.x|1x1解：由題意得不等式x(x1)f(x1)1等價(jià)于 或 解不等式組得x1；解不等式組得1x1.故原不等式的解集是x|x1.故選C.類(lèi)型三二次不等式、二次函數(shù)及二次

6、方程的關(guān)系已知關(guān)于x的不等式x2bxc0的解集是x|5x1，求實(shí)數(shù)b，c的值.解：不等式x2bxc0的解集是x|5x1，x15，x21是x2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理知已知不等式ax2bxc0的解集為x|2x3，求不等式cx2bxa0的解集.解：不等式ax2bxc0的解集為x|2x3，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得即代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa>0(a0).即6x25x10，所求不等式的解集為.類(lèi)型四含有參數(shù)的一元二次不等式解關(guān)于x的不等式：mx2(m1)x10.解：(1)m0時(shí)，不等式為(x1)0，得x10，不等式的解集為x|x1；(

7、2)當(dāng)m0時(shí)，不等式為m(x1)0.當(dāng)m0，不等式為(x1)0，1，不等式的解集為.當(dāng)m0，不等式為(x1)0.()若1即m1時(shí)，不等式的解集為；()若1即0m1時(shí)，不等式的解集為；()若1即m1時(shí)，不等式的解集為.點(diǎn)撥：當(dāng)x2的系數(shù)是參數(shù)時(shí)，首先對(duì)它是否為零進(jìn)行討論，確定其是一次不等式還是二次不等式，即對(duì)m0與m0進(jìn)行討論，這是第一層次；第二層次：x2的系數(shù)正負(fù)(不等號(hào)方向)的不確定性，對(duì)m0與m0進(jìn)行討論；第三層次：與1大小的不確定性，對(duì)m1、m1與m1進(jìn)行討論.解關(guān)于x的不等式ax222xax(aR).解：不等式整理為ax2(a2)x20，當(dāng)a0時(shí)，解集為(，1.當(dāng)a0時(shí)，ax2(a2)

8、x20的兩根為1，所以當(dāng)a0時(shí)，解集為(，1；當(dāng)2a0時(shí)，解集為；當(dāng)a2時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)a2時(shí)，解集為.類(lèi)型五分式不等式的解法(1)解不等式1.解：1 10 0 0.0 得xx或x2.(2)不等式0的解集是 .解：00(x2)(x2)(x1)0，數(shù)軸標(biāo)根得x|2x1或x2，故填x|2x1或x2.點(diǎn)撥：分式不等式可以先轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的高次不等式，再利用數(shù)軸標(biāo)根法寫(xiě)出不等式的解集，如果該不等式有等號(hào)，則要注意分式的分母不能為零.用“數(shù)軸標(biāo)根法”解不等式的步驟：(1)移項(xiàng)：使得右端為0(注意：一定要保證x的最高次冪的項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)).(2)求根：就是求出不等式所對(duì)應(yīng)的方程的所有根.(3)標(biāo)根：在數(shù)

9、軸上按從左到右(由小到大)依次標(biāo)出各根(不需標(biāo)出準(zhǔn)確位置，只需標(biāo)出相對(duì)位置即可).(4)畫(huà)穿根線：從數(shù)軸“最右根”的右上方向左下方畫(huà)線，穿過(guò)此根，再往左上方穿過(guò)“次右根”，一上一下依次穿過(guò)各根,“奇穿偶不穿”來(lái)記憶.(5)寫(xiě)出不等式的解集：若不等號(hào)為“”，則取數(shù)軸上方穿根線以內(nèi)的范圍；若不等號(hào)為“”，則取數(shù)軸下方穿根線以內(nèi)的范圍；若不等式中含有“”號(hào)，寫(xiě)解集時(shí)要考慮分母不能為零.(1)若集合Ax|12x13，B，則AB()A.x|1x0 B.x|0x1C.x|0x2 D.x|0x1解：易知Ax|1x1，B集合就是不等式組 的解集，求出B，所以ABx|0x1.故選B.(2)不等式0的解集為()

10、1，) 1，)解：0得<x 1.故選A.類(lèi)型六和一元二次不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題(1)若不等式x2ax10對(duì)于一切x成立，則a的最小值為() B.2 C. D.3解：不等式可化為axx21，由于x，a.f(x)在上是減函數(shù)，.a.(2)已知對(duì)于任意的a1，1，函數(shù)f(x)x2(a4)x42a的值總大于0，則x的取值范圍是()x3 1或x3x2 1或x2解：記g(a)(x2)ax24x4，a1，1，依題意，只須x1或x3，故選B.點(diǎn)撥：對(duì)于參數(shù)變化的情形，大多利用參變量轉(zhuǎn)換法，即參數(shù)轉(zhuǎn)換為變量；變量轉(zhuǎn)換為參數(shù)，把關(guān)于x的二次不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于a的一次不等式，化繁為簡(jiǎn)，然后再利用一次函數(shù)的單調(diào)性

11、，求出x的取值范圍.對(duì)于滿足|a|2的所有實(shí)數(shù)a，求使不等式x2ax12xa成立的x的取值范圍.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x1)ax22x10，設(shè)f(a)(x1)ax22x1，則f(a)在2，2上恒大于0，故有： 即 解得x1或x3.類(lèi)型七二次方程根的討論若方程2ax2x10在(0，1)內(nèi)有且僅有一解，則a的取值范圍是()<1 >1C.1<a<1 a<1解法一：令f(x)2ax2x1，則f(0)·f(1)0，即1×(2a2)0，解得a1.解法二：當(dāng)a0時(shí)，x1，不合題意，故排除C，D；當(dāng)a2時(shí)，方程可化為4x2x10，而1160，無(wú)實(shí)根，故a2不適合

12、，排除A.故選B.1.不等式0的解集是()A.(，1)(1，2 B.1，2C.(，1)2，) D.(1，2解：00，且x1，即x(1，2，故選D.2.關(guān)于x的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集為，則m的取值范圍是()0 m2 <0解：由不等式的解集形式知m0.故選D.3.()已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為()A.x|x<1或x>lg2 B.x|1<x<lg2C.x|x>lg2 D.x|x<lg2解：可設(shè)f(x)a(x1)(a<0)，由f(10x)>0可得(10x1)<0，從而1

13、0x<，解得x<lg2，故選D.4.()在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x(單位：m)的取值范圍是()A.15，20B.12，25C.10，30D.20，30解：設(shè)矩形的另一邊為y m，依題意得，即y40x，所以x(40x)300，解得10x30.故選C.5.若關(guān)于x的不等式2x28x4a>0在(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()<12 >4>12 <4解：關(guān)于x的不等式2x28x4a0在(1，4)內(nèi)有解，即a2x28x4在(1，4)內(nèi)有解，令f(x)2x28x42(x2)212，當(dāng)

14、x2時(shí)，f(x)取最小值f(2)12；當(dāng)x4時(shí)，f(4)2(42)2124，所以在(1，4)上，12f(x)4.要使af(x)有解，則a4.故選D.6.若不等式x2kxk1>0對(duì)x(1，2)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.解：x(1，2)，x1>0.則x2kxk1(x1)(x1k)>0，等價(jià)于x1k>0，即k<x1恒成立，由于2<x1<3，所以只要k2即可.故填(，2.7.()已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.解：由題可得f(x)0對(duì)于xm，m1恒成立，即 解得m0.故填.8.若關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：x2axa3的解集不是空集x2axa30的判別式0，解得a6或a2.9.已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)2x的解集為(1，3).(1)若方程f(x)6a0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.解：(1)f(x)2x0的解集為(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0.因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)根，所以(24