第八章-運籌學(xué)-存貯論(存儲論-庫存論

1、第七章 存貯論(存儲論,庫存論) (Inventory theory)n引言n經(jīng)濟訂貨批量的存貯模型n具有約束條件的存貯模型n具有價格折扣優(yōu)惠的存貯模型n單時期的隨機存貯模型n教學(xué)目的與要求:在掌握EOQ公式的基礎(chǔ)上,學(xué)會幾種存儲模型的求解方法及存儲策略,并會用WinQSB求解存儲問題.n重點與難點:EOQ公式及幾個簡單模型,難點是公式太多,難于記憶.n教學(xué)方法:以分析問題為主,公式推導(dǎo)為輔,結(jié)合WinQSB講解.n思考題,討論題,作業(yè):本章習(xí)題.n參考資料:見前言.n學(xué)時分配:6學(xué)時.第一節(jié) 引言在生產(chǎn)和生活中,人們經(jīng)常進行著各種個樣的存貯活動,這是為了解決供應(yīng)(或生產(chǎn))與需求(或消費)之間

2、不協(xié)調(diào)或矛盾的一種手段.例如,一場戰(zhàn)斗在很短時間內(nèi)可能消毫幾十萬發(fā)炮彈,而兵工廠不可能在這么短的時間內(nèi)生產(chǎn)那么多炮彈,這就是供需矛盾,為了解決這一矛盾,只能將軍火工廠每天生產(chǎn)的炮彈儲存到軍火庫內(nèi),以備戰(zhàn)爭發(fā)生時的需要.這種供需不協(xié)調(diào)的現(xiàn)象十分普遍,在農(nóng)業(yè),商業(yè)和物資領(lǐng)域大量存在.人們在解決這些矛盾時,很容易想到用存貯這個環(huán)節(jié)來協(xié)調(diào)供需之間的矛盾.我們可以把存貯看作中心,把供應(yīng)與需求看作一個具有輸入(供應(yīng))和輸出(需求)的控制系統(tǒng).存貯輸入(供應(yīng))輸出(需求)為什么要研究存貯問題?存貯量過大會有什么后果:1.由于不必要的存貯,增加了庫存保管費及保管場地,而使產(chǎn)品價格增高;2.過高的存貯量占用了流

3、動資金使資金周轉(zhuǎn)困難,降低了資金利用率;3.過量存貯降低了材料或產(chǎn)品的質(zhì)量,甚至于產(chǎn)品過時,變質(zhì)損壞.存貯量不足會有什么后果:1.由于原料不足可能會造成停工,停產(chǎn)等重大經(jīng)濟損失;2.因缺貨失去銷售機會,失去顧客;3.用頻繁訂貨的方法以補充短缺的物資,這將增加訂購費用.為了統(tǒng)一供,需和存貯諸方面的矛盾,就要對存貯系統(tǒng)進行分析.從獲得最佳經(jīng)濟效益的目的出發(fā),求出最佳訂購批量,最佳訂購周期,從而得到最佳存貯量,使整個存貯系統(tǒng)所支付的費用最少.用數(shù)學(xué)語言來說就是建立一個目標(biāo)函數(shù),這個目標(biāo)函數(shù)是由總費用與定貨批量或定貨周期構(gòu)成的,并求使得目標(biāo)函數(shù)達到最小值的定貨批量或定貨周期.存儲問題的基本概念存貯問題

4、的基本要素(1)需求率:指單位時間內(nèi)對某種物品的需求量,以R表示.(2)定貨批量:定貨采用以一定數(shù)量物品為一批的方式進行,一次定貨包含某種物品的數(shù)量稱為批量,用Q表示.(3)定貨間隔期:指兩次定貨之間的時間間隔,用t表示.(4)定貨提前期:從提出定貨到收到貨物的時間間隔,用L表示.(5)存貯(定貨)策略:指什么時間提出定貨(對存儲進行補充)以及定貨(補充)的數(shù)量.幾種常見的存儲策略:t-循環(huán)策略:不論實際的存儲狀態(tài)如何,總是每隔一個固定的時間t,補充一個固定的存儲量Q.(t,S)策略:每隔一個固定時間t補充一次,補充數(shù)量以補足一個固定的最大存儲量S為準(zhǔn).因此每次補充的數(shù)量是不固定的,當(dāng)存儲余額

5、為I時,補充數(shù)量是Q=S-I.(s,S)策略:設(shè)s為定貨點(或保險存儲量,安全存儲量,警戒點等).當(dāng)存儲余額為I,若Is則不對存儲進行補充;若I s時,則對存儲進行補充,補充數(shù)量Q=S-I.補充后的數(shù)量達到最大存儲量S.(t,s,S)策略:在很多情況下,實際存儲量需要通過盤點才能得知,若每隔一個固定時間t盤點一次,得知存儲量為I,再根據(jù)I是否超過定貨點s決定是否定貨.與存貯問題有關(guān)的基本費用項目(1)一次費用或準(zhǔn)備費用:每組織一次生產(chǎn),定貨或采購某種物品所必須的費用(如差旅費,手續(xù)費,檢驗費等).通常認為它與定購數(shù)量無關(guān).但是,分配到每件物品上的費用隨購買量的增加而減少,此費用用C3表示.(2

6、)存儲費:包括倉庫保管費,占用流動資金的利息,保險金,存貯物品的變質(zhì)損失費等.以每件存貯物在單位時間內(nèi)所發(fā)生的費用,用C1表示.(3)缺貨損失費:這是一種由于未及時滿足顧客需要而產(chǎn)生的損失,包括兩種情況,其一是顧客不愿意等待而損失一筆交易,進而影響企業(yè)的聲譽.其二是顧客愿意等待稍后的供應(yīng)而發(fā)生的處理過期定貨的損失,用C2表示.在一個存貯問題中主要考慮兩個量:供應(yīng)(需求)量的多少;何時供應(yīng)(需求),即量和期的問題.按這兩個參數(shù)的確定性和隨機性,可分為確定性存貯模型和隨機性存貯模型.第二節(jié) 經(jīng)濟定貨批量的存貯模型1.基本的EOQ(Economic order quality 經(jīng)濟定貨批量,1915

7、年,英國,Harris)模型設(shè)一種物品的需求率R(件/年)是已知常數(shù),并以批量Q供應(yīng)給需求方,瞬間供貨,不允許缺 貨,貨到后存在倉庫中,并以速率R消耗掉.該類問題只考慮兩種費用:定貨費C3(元/次),存貯費C1(元/件年),試確定每次的定貨批量為多少時,使全年的總費用為最少.解:先用圖形表示這一過程QtT時間數(shù)量OC表示全年發(fā)生的總費用,TOC表示全年內(nèi)的定貨費,TCC表示全年內(nèi)的的存儲費,n表示全年的平均定貨次數(shù),.QDn 平均存儲量為 這是因為在時間t內(nèi)的需求量為Dt,此時的庫存量為Q-Dt,則平均庫存量為.21Q2211,.2DTOCCnCTCCC QQ.212121)21(1)|21|

8、(1)(120200QQQDTQDTQTTDtQtTdtDtQTTTT2122121121,2210,2.2.DCTOCTCCCC QTCQC DDCdCCQQEOQdQQCCDC C 求的最小值稱為公式此時212,.CQDTnDDCQ最佳定貨周期為例1 某商店有甲商品出售,每單位甲商品成本為500元,其存儲費用每年為成本的20%,該商品每次的定購費為20元,顧客對甲商品的年需求量為365個,如不允許缺貨,定貨提前期為零,求最佳定購批量最小費用及最佳定貨周期.解:21221120/,500 20%100/,365/,22 20 36512(),21002 20 100 3651208(),12

9、/.CCDC DQCC C DCQTD元 次元 年個 年單位元天 次如果定貨方式不按上邊的辦法,而是采取任意一種方式,如每隔20天定貨一次,每次定購20個單位,其總費用又如何呢?根據(jù)前邊的證明可知,平均存貯量為 ,則在這種定購方式下,平均存貯量為10個單位,于是Q21).,(36525.1820),(25.1820365),(100010%20500元總費用為元每年的定購費為次每年的定購次數(shù)為元每年的存貯費為顯然比按EOQ公式計算的結(jié)果要差.2.一般的EOQ模型時間庫存oAAMBE1S2SCt1t2t3t4t在一般的EOQ模型中,允許庫存發(fā)生短缺.生產(chǎn)部門按一定的速率

10、P進行生產(chǎn),需求部門的需求速率為D(PD),在 段,按速率P生產(chǎn),如果在這段無需求量,則存貯量可達到 點,如果有需求量實際可達到A點.在 和 內(nèi)生產(chǎn)停止,但需求仍按速率D進行,到達B點后存貯量為零,到C點發(fā)生最大短缺,從該點又恢復(fù)生產(chǎn),到E點補上短缺量,并開始一個新的生產(chǎn)周期.設(shè) 為最大存貯量, 為最大短缺量, 為開始一個周期的生產(chǎn)準(zhǔn)備費, 為單位產(chǎn)品在單位時間的存貯費, 為發(fā)生單位產(chǎn)品在單位時間短缺時的損失費,確定總費用為最小的最佳生產(chǎn)批量Q.1tA2t3t1S2SDCPCSC解:一個生產(chǎn)周期的長度為 ,若分別用OC,CC,SC表示一個周期的生產(chǎn)準(zhǔn)備費,存貯費和短缺費,TC表示單位時間的平均

11、費用,則4321tttt.)(2)(2),(2),(2,43214322114321432211ttttttSCttSCCttttSCCCOCTCttSCSCttSCCCCOCSPDSPD2212121111,)(tDPPtttDPDtDttDPDtPtS所以因為)()(),(,)(32432132432134334432ttDPPDttttDQttDPPtttttDPPtttDPDttDPDtS,)(2)()(22322322323322tttCtCDPDPCttDPPtDPPDtCtDPPDtCCTCSPDsPD0)(22)(2)(0)(22)(2)(2322332232323222322

12、322tCtCDtCttDPDPCtttTCtCtCDtCttDPDPCtttTCSPSDSPPD解出.332tCCCttPPSSPDSPSPSPDSPPSDSPSPDSPPPDSPSPDCCPDCCDCTCCCCPDDCCDtSCCCPDDCCDtSPDCCCCDCQCCDCPDCCtCCDCPDCCt)1 (2,)()1 (2,)()1 (2,)1 ()(2)()1 (2,)()1 (23221233.定貨提前期為零,允許缺貨的EOQ模型設(shè)S為最大允許缺貨量,在 時間間隔內(nèi),庫存量是正值,在 時間間隔內(nèi)發(fā)生短缺.每當(dāng)新的一批零件到達,馬上補足供應(yīng)所短缺的數(shù)量S,然后將Q-S的物品儲存在倉庫

13、.因此在這種情況下,最高的庫存量是Q-S,該模型總費用包括:定貨費保管費 和短缺費用 ,現(xiàn)在確定經(jīng)濟批量Q及供應(yīng)間隔期 ,使平均總費用最小.1t2t2C1C3Ct時間數(shù)量OQ1Q2Q1t2tt解:2131231313321113122313213132()2,2()2,()2().C D CCDC C CQCC CCCCDCCCCC C DC CCC CCTDC C經(jīng)濟存儲量Q =,最佳缺貨量Q最佳定貨周期例2 某百貨公司對海爾電冰箱的年需求量為4900臺,設(shè)每次定購費為50元,每臺每年存儲費為100元.如果允許缺貨,每臺每年的缺貨損失費為200元,試求最佳存貯方案.解:21350/,100/

14、,200/,4900/.CCCD元 次元 臺 年元 臺 年年 臺 年22 4900 50(100200)85(),100 2002 50 100 490028()200(100200)2 50(100200)0.0174()6.35(),4900 100 2002 4900 50 100 2005715().100200QQTC臺臺年天元4.非瞬時進貨,不允許缺貨的EOQ模型時間庫存AAOBS1t2tt.,21為最小內(nèi)的費用周期使在的值及相應(yīng)的確定最佳生產(chǎn)批量TCtSttQ公式如下:2121212,2(1)(1)2.C DQCC C DD PCD PCPTC DPD注:P為生產(chǎn)速率,D為消耗速

15、率,PD.例3 某企業(yè)每月需某產(chǎn)品100件,由內(nèi)部生產(chǎn)解決,設(shè)每月生產(chǎn)500件,每批裝備費為5萬元,每件每月存儲費為0.4萬元/件,求最佳生產(chǎn)批量及最小費用(計劃期為一個月).解:D=100件/月,P=500件/月,C1=0.4萬元/件,C2=5萬元/次.2122 5 10056(1/)0.4(1 100/500)C DQCD P 件212(1/)2 5 0.4 100(1 100/500)17.89CC C DD P 萬元第三節(jié) 具有約束條件的存儲模型如果在存貯模型中包含有多種物品,且定貨批量受到倉庫面積和資金等方面的限制,這樣在考慮最優(yōu)定貨批量時需要增加必要的約束條件.現(xiàn)在只考慮倉庫容量的

16、限制條件.121(1,2, ),:.,iiiiniiiiQiiniwWQwWiDCC設(shè)為第 種物品的定貨批量 已知第 種物品占用的存儲空間為倉庫的最大容量為則考慮各種物品的定貨批量時 應(yīng)加上約束條件又設(shè)第 種物品的定貨提前期為零 單位時間的需求率為定貨費和保管費分別為則使總費用最小的數(shù)學(xué)模型為21111min2. .0,1,iiniiiiniiiiDTCCC QQQwWstQin在不考慮約束條件時,如果用最佳定貨批量公式算出的結(jié)果滿足 式,則此時的各物品的最優(yōu)定貨批量已求出,否則應(yīng)按拉格朗日乘數(shù)法求最優(yōu)定貨批量,即121111( ,)2(0)iinniniiiiiiDLQQCC QQwWQ21

17、211020iiiiiiniiiC DLCwQQLQwW 2122iiiiiC DQCw在具體計算時,可令 由 式求出 的值,將其代入 式,如果滿足此式,則各物品的最佳定貨批量已得到,否則,可逐步減小 值,一直到求出的 值代入 式滿足為止.0iQiQ例4 考慮一個具有三種物品的存儲問題,有關(guān)數(shù)據(jù)如下表,已知總的存儲量為W=30立方米,試求各種物品的最佳定貨批量.物品 1 2 3 10 5 15 2 4 4 0.3 0.1 0.2 1 1 12iCiD1iC)(3mwi解:當(dāng) 時,由 可得2122iiiiiC DQCw. 5 .242 . 04152,201 . 0452, 5 .113 . 0

18、2102321QQQ:,305631其過程如下值進行試算現(xiàn)在減小即不滿足此式式代入iiiwQ0 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 10.0 9.0 8.2 7.6 14.1 11.5 10.0 8.9 17.3 14.9 13.4 12.2 41.4 35.4 31.6 28.71Q2Q3QiiiwQ31.13, 9, 8321QQQ第四節(jié) 具有價格折扣優(yōu)惠的存貯模型生產(chǎn)或銷售部門為鼓勵用戶加大定貨批量,常常規(guī)定一次定貨量達到規(guī)定數(shù)量時,給予價格折扣優(yōu)惠.,.,.,132133222111QQQCCCCQQQCQQQCQQ若計算出經(jīng)濟定貨批量價格折扣優(yōu)惠先不考慮例不允許缺貨的模型

19、型為以瞬時進貨較加總一起進行比短缺損失費同貨物價格存貯費費就需把定貨在計算最佳定貨批量時中其等等每件價格為時件價格為每時每件價格為時設(shè)定貨量.,;,22121依此類推時的各項費用總和只須比較定貨量為時若總和時的上述各項費用需比較定貨量為QQQQQQQQ例5 (P200例8.5)某復(fù)印社每月約消耗 復(fù)印紙80箱，他從匯文批發(fā)站進貨，每進一次貨發(fā)生的固定費用200元。匯文批發(fā)站規(guī)定，一次購買量 箱時，每箱120元， 時，每箱119元，當(dāng) 箱時，每箱118元。已知存儲費為16元/年箱，求該復(fù)印社每次進貨的最佳批量，使全年的總費用為最少。4A300Q 300500Q500Q 解：2121960,200

20、,16,22 200 960155.16DCCC DQC因為 ，故需將一次進貨量同 ， 時的全年總費用比較。1300QQ155Q 1300Q 2500Q 當(dāng) 時，全年總費用為960120016 155960 120117678.701552元Q155當(dāng)一次進貨為 時，全年總費用為1Q300960120016 300960 1191172803002元當(dāng)一次進貨為 時，全年總費用為2Q500960120016 500960 1181176645002元最優(yōu)決策：每次進貨300箱，全年總費用最少。 第二節(jié)所學(xué)的存儲問題中，需求與補充的相關(guān)各量都是確定的，但實際問題中需求量往往是一個不確定的值，如果

21、能將它表示成一個隨機變量，這就是需求是隨機的存儲模型。這里只研究單周期隨機存儲問題。典型的單周期存儲模型是“報童問題”（Newsboy Problem），它是由報童賣報演變而來的，在存儲論和供應(yīng)鏈的研究中有廣泛地應(yīng)用。第五節(jié) 單周期隨機存儲模型 該問題的特點是，在一個周期內(nèi)訂貨只進行一次，若未到期末貨已售完也不再補充訂貨；若發(fā)生滯銷，未售出的貨應(yīng)在期末降價處理。無論是供大于求還是供不應(yīng)求都會造成損失，研究的目的是確定該時期的訂貨量，使預(yù)期的總損失最少或總盈利最大。此問題在現(xiàn)實中大量存在，如報紙、書刊、服裝、食品、計算機硬件等時令性產(chǎn)品的訂貨。為了便于研究，需要引入各變量的記號：X：一個時期的需

22、求量，是一個非負的隨機量Q：一個時期的訂貨批量C：單位產(chǎn)品的獲得成本（Unit Acquisition Cost),即產(chǎn)品的購入價格P：單位產(chǎn)品的售出價格（Unit Selling Price)V：單位產(chǎn)品的殘值（Unit Salvage Value)，即未售出剩余產(chǎn)品的處理價格B：單位產(chǎn)品的缺貨成本（Unit Shortage Cost)H：供過于求時單位產(chǎn)品一個時期內(nèi)的持有（存儲）成本，供不應(yīng)求時等于零 ：供過于求時單位產(chǎn)品總成本（Unit Overstock Cost），即 =C-V+H ：供不應(yīng)求時單位產(chǎn)品總成本（Unit Understock Cost),即 =P-C+B0C0CuC

23、uC一、需求是離散型隨機變量的報童問題 如果一個時期內(nèi)需求量 是一個隨機變量，其取值為 ，概率分布為 ，最優(yōu)存儲策略是使該時期內(nèi)的總期望費用最小，或總期望收益最大。 當(dāng)訂貨批量 時，供大于求發(fā)生存儲，總費用的期望值為X,1,2,ix in( )iP xiQx0() ( )iiiQ xCQx P x當(dāng)訂貨批量 時，供不應(yīng)求發(fā)生缺貨，總費用的期望值為iQx() ( )iuiiQ xCxQ P x 綜上可得總費用用的期望值為0 ( )() ( )() ( )iiiiuiiQ xQ xE C QCQx P xCxQ P x 我們希望求得總費用期望值的最優(yōu)值。X 是離散型隨機變量，不能用求導(dǎo)數(shù)的方法求極

24、值。由于 取非負整數(shù)，由上式得出 取最小值的必要條件為XQ ( ) (1) ( ) (1)E C QE C QE C QE C Q于是有1002100 (1)(1) ( )(1) ( ) ( ) (1)(1) ( )(1) ( ) ( )iiiiQiiuiixxQQiiuiixxQE C QCQx P xCxQP xE C QE C QCQx P xCxQP xE C Q 解上式得到00100( )( )iiQuixuQuixuCP xCCCP xCC最佳訂貨批量應(yīng)按下面的不等式確定：1000( )( )iiQQuiixxuCP xP xCC設(shè) 稱為臨界值，它的兩邊都是累加概率。實際操作時，取

25、所有大于臨界值的累加概率中的最小者為最佳訂貨批量 。0uuCMCCQ例6 報童問題：某報童每天向郵局訂購報紙若干份。若報童一提出訂購，立即可拿到報紙。設(shè)訂購報紙每份0.35元，零售報紙每份0.50元，如果當(dāng)天沒有售完，第二天可退回郵局，郵局按每份0.10元退款。已知這種報紙需求的概率分布如下表，問報童應(yīng)定多少份報紙才能保證損失最少而賺錢最多？需求X9 10 11 12 13 14P(x)0.05 0.15 0.20 0.40 0.15 0.05 解：已知C=0.35，P=0.50，V=0.10，如果當(dāng)天訂貨批量小于需求量，則B=0，H=0。000.350.1000.250.500.3500.1

26、50.150.3750.150.25uuuCCVHCPCBCMCC計算上表的累加概率得到101100( )0.200.375( )0.40 xxP xMP x因此， ，即報童每天向郵局訂購11份報紙，能使報童每天獲利最多。11Q例7 某設(shè)備上有一關(guān)鍵零件需要更換，需求量 服從泊松分布，根據(jù)以往的經(jīng)驗平均需求量為5件，此零件的價格為100元/件。若零件用不完，到期末完全報廢；若備件不足，待零件損壞后再去購買，就會造成停工損失180元。試確定期初應(yīng)準(zhǔn)備多少件配件最好？X解：已知C=100，B=180，V=H=0,售價P=C=100，因此0100,100 100180180uCCVHCPCB泊松分布的概率分布為( ),0,1,!xP xexx根據(jù)題意，參數(shù) （為什么？），臨界值501800.6428180 100uuCMCC查泊松分布的概率分布值表，計算其累計概率可知，當(dāng) 時6Q 5600()0.51600.6428()0.7622xxP xMP x即期初應(yīng)有6個備件最好。二、需