大二下數(shù)值計算chapter

1、2011-4-20E=mcE=mc2 2Email: 密碼密碼: comphynju 矩陣對角化與本征值問題矩陣對角化與本征值問題BAX 線性方程組：線性方程組：XAX本征值問題：本征值問題：BAX 線性方程組：線性方程組：KKKKKmj-1mjmj+1XAX本征值問題：本征值問題：BAX 線性方程組：線性方程組：KKKKKmj-1mjmj+1.)(.)()(.)()()(1221122232122221212121NNNNNjjjjjjKxxxKdtxdmFxxKxxKdtxdmFxxKxxKdtxdmFxxKKxdtxdmF.)(.)()(.)()()(122112223212222121

2、2121NNNNNjjjjjjKxxxKdtxdmFxxKxxKdtxdmFxxKxxKdtxdmFxxKKxdtxdmFtijjeAxNjNjAAAAAAAAKm.2100.0.0.12100.01210.0012.21212nininnnjnninijinjnjxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaaa2121211222221111211XAX000021211222221111211ninnnjnninijinjnjxxxxaaaaaaaaaaaaaaa0)det( IA求矩陣特征值與特征向量的方法求矩陣特征值與特征向量的方法1. 1. 乘冪法乘冪法 ( (最大特征值最大特征值)

3、)2. 2. 反冪法反冪法 ( (最小特征值最小特征值) )3. Jacobi3. Jacobi方法方法 ( (對稱矩陣對稱矩陣) )4. QR4. QR方法方法 ( (更一般的算法更一般的算法) )乘冪法：求矩陣的按模最大的特征值與乘冪法：求矩陣的按模最大的特征值與相應的特征向量。相應的特征向量?；舅枷耄和ㄟ^迭代產(chǎn)生向量序列，由基本思想：通過迭代產(chǎn)生向量序列，由此計算特征值和特征向量的近似值。此計算特征值和特征向量的近似值。乘冪法乘冪法1110A特征值為特征值為:1=1.618032= 0.6180311)0(X)()1(kkAXX做如下迭代：做如下迭代：53321110)2()3(XAX

4、1.5 1.6666785531110)3()4(XAX1.66667 1.6 32211110)1()2(XAX2 1.5 138851110)4()5(XAX1.6 1.625 21131381110)5()6(XAX1.625 1.61538 1 2 21111110)0()1 (XAX)1(1)(1/kkxx)1(2)(2/kkxx342121131110)6()7(XAX1.61538 1.61905 553434211110)7()8(XAX1.61905 1.61765 895555341110)8()9(XAX1.61765 1.61818 1448989551110)9()1

5、0(XAX1.61808 1.61798 233144144891110)10()11(XAX1.61798 1.61806 3772332331441110)11()12(XAX1.61806 1.61803 3772332331441110)11()12(XAX1.61806 1.61803 特征值為特征值為:1=1.618032= 0.618031110A任取初時向量任取初時向量X(0)RknkikkkknkikkkxxxxAAXxxxxX21)(111211)1(kikikxx1lim 為為A按模最大特征值按模最大特征值X(k+1)為對應的特征向量為對應的特征向量乘冪法的規(guī)范運算：乘冪

6、法的規(guī)范運算：任取初時向量任取初時向量X(0)R，通常取，通常取X(0)（1,1,1）T迭代過程為：迭代過程為：11)1()1()1(11)()1(/,.)2 , 1 , 0(|maxkkkkkinikkkmmXYkxmAYX例：用乘冪法求矩陣例：用乘冪法求矩陣210120012A的按模最大的特征值和相應的特征向量。的按模最大的特征值和相應的特征向量。.10,) 1 , 0 , 0(3)0(TX取：?。航猓航猓篢X) 1 , 0 , 0()0(Step1.,) 1, 5 . 0, 0(, 2,) 2, 1, 0(1) 1 () 1 (1)0() 1 (TTmYXmAXYStep2.,) 1,

7、8 . 0, 2 . 0(, 5 . 2,) 5 . 2, 2, 5 . 0(2)2()2(2) 1 ()2(TTmYXmAXY9996973. 2100006049. 09990924. 29996973. 21389故由mm相應的特征向量為：相應的特征向量為：)9996973. 2 ,9993946. 2,8436517. 2(1u) 1,9996973. 0,9219772. 0(9990924. 2)9990924. 2,9981848. 2,7650948. 2()8(8)7()8(XmAXY9996973. 2)9996973. 2 ,9993946. 2,8436517. 2(9

8、)8()9(mAXY精確解：精確解：, 1, 2, 3121:1對應的本征向量T) 1, 1, 1 ( 9996973. 21迭代解：迭代解：Tu)9996973. 2 ,9993946. 2,8436517. 2(1反冪法反冪法反冪法：計算矩陣按模最小的特征值及特征向反冪法：計算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法量的方法基本思想：逆矩陣的特征值是原矩陣特征值的基本思想：逆矩陣的特征值是原矩陣特征值的倒數(shù)，特征向量相同倒數(shù)，特征向量相同XXAXAX1;1反冪法算法：反冪法算法：任取初時向量任取初時向量X(0)R，通常取，通常取X(0)（1,1,1）T迭代過程為：迭代過程為：kkkkkkkin

9、ikmYAXkmXYxm/1,.)2 , 1 , 0(/|)()1()()()(1max)(1)1(kkYAX例：求如下矩陣最小特征值例：求如下矩陣最小特征值及對應的特征向量及對應的特征向量1439AK Y(k) X(k+1)01 10.1904766 0.23809510.8 10.180952 0.2761920.655172 10.174056 0.30377730.572973 10.170142 0.31943440.532636 10.168221 0.32711750.514253 10.167345 0.33061860.506158 10.16696 0.3321670.50

10、2649 1 0.166793 0.33282980.501137 10.166721 0.333117A-1的按模最大特征值為的按模最大特征值為0.333117A-1特征向量為特征向量為(0.501137, 1)TA的按模最小特征值為的按模最小特征值為1/0.333117=3.0019A特征向量為特征向量為(0.501137, 1)T Jacobi Jacobi方法方法 （實對稱矩陣的全部特征根與特（實對稱矩陣的全部特征根與特征向量）征向量）定理：定理：P為為n階可逆陣，則階可逆陣，則A與與P1AP相似，相似陣有相同的特征值；相似，相似陣有相同的特征值；若若A對稱，則存在正交矩陣對稱，則存在

11、正交矩陣Q(QTQ=I)，使得，使得nTAQQ21計算如下矩陣的特征值和相應的特征向量計算如下矩陣的特征值和相應的特征向量0110AcossinsincosBcossinsincos0110cossinsincosABBTcossin2sincossincoscossin22222當當=/4時：時：2/22/22/22/2B1001ABBT0110AA的特征值為的特征值為1=-1, 2=-1A對應于對應于1= -1的特征向量的特征向量為：為：A對應于對應于2= 1的特征向量為：的特征向量為：2/22/21v2/22/22v當當=/4時：時：2/22/22/22/2B1001ABBT構(gòu)造一系列特

12、殊形式的正交陣構(gòu)造一系列特殊形式的正交陣Q1,.,Qn對對A作正交變換使得對角元素比重逐次增加，作正交變換使得對角元素比重逐次增加，非對角元變小。非對角元變小。當非對角元已經(jīng)小得無足輕重時，可以近似當非對角元已經(jīng)小得無足輕重時，可以近似認為對角元就是認為對角元就是A的所有特征值。的所有特征值。Jacobi法基本思路：法基本思路：Givens旋轉(zhuǎn)變換：旋轉(zhuǎn)變換：1cossinsincos1),(qpQp列列q列列p行行q行行記：記：)(),(),( , )(ijTijbqpAQqpQBaA則：則：2sin22cos2sincossin2sinsincos,cossin,sincos2222qqp

13、ppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipaaabbaaabaaabqpiaabbqpiaabb變換的目的是為了減少非對角元的分量，因此：變換的目的是為了減少非對角元的分量，因此：02sin22cosqqpppqqppqaaabbtan,2taaaspqppqq記記則則1 , 0012 , 02ststst的按模較小根的按模較小根所以：所以：dttct221sin11cos02sin22cosqqpppqqppqaaabb01tan2cot2tan2pqppqqaaa22cot2sin22cos2sincossin2sinsincos,cossin,sinc

14、os2222qqpppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipaaabbaaabaaabqpiaabbqpiaabb0,qppqpqqqpppqppppqipiqiiqqipipiipbbtaabtaabqpicadabbqpidacabb2sin22cos2sincossin2sinsincos,cossin,sincos2222qqpppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipaaabbaaabaaabqpiaabbqpiaabbJacobiJacobi迭代算法：迭代算法：取取p,q使使ijjipqaa max，則，則),

15、(),()()1(qpQAqpQAkTk定理：定理：若若A A對稱，則對稱，則,1)1(nkdiagA解解 記記 A(0)=A, 取取p=1,q=2, apq(0)=a12(0)=2,于是有于是有例：用例：用Jacobi 方法計算對稱矩陣的全部特征值方法計算對稱矩陣的全部特征值612152224A25. 02)0(12)0(22)0(11aaas780776. 0)1|/(|)sgn(2ssst788206. 011cos2t615412. 01sin2tt1 , 0012 , 02ststst所以所以再取再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,p=2,q=3,apq

16、(1)=a23(1)=2.020190,類似地可得類似地可得1000788206. 0615412. 00615412. 0788206. 01000cossin0sincos)(1pqRR(1)(0)112.43844800.96106.5615522.0201900.9612.0201906TAR AR241166. 40724794. 00320386. 8631026. 0724794. 0631026. 0438448. 2)2(A496424. 4209614. 00209614. 0320386. 8595192. 00595192. 0183185. 2)3(A496424.

17、4208653. 0020048. 0208653. 0377576. 80020048. 00125995. 2)4(A485239. 40020019. 00388761. 8001073. 0020019. 0001073. 0125995. 2)5(A485401. 4000009. 0001072. 0000009. 0388761. 800001072. 0125825. 2)6(A485401. 4000009. 00000009. 0388761. 8000125825. 2)7(A從而從而A的特征值可取為的特征值可取為 1 2.125825, 2 8.388761, 3 4.

18、485401特征向量為旋轉(zhuǎn)矩陣特征向量為旋轉(zhuǎn)矩陣R=R1R2的相應的各列矢量的相應的各列矢量5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0- 2.0- 3.0- 4.0-4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0- 2.0- 3.0-3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0- 2.0-2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0-1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.00.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.01.0- 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.02.0- 1.0- 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.03.0- 2.0- 1.0- 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.1 4.34.0- 3.0- 2.0- 1.0- 0.0 1.0 2.0 3.0 4.3 5.0求矩陣特征值與特征向量求矩陣特征值與特征向量KKKKKmj-1mjmj+1NjNjAAAAAAAAKm.2100.0.0.12100.01210.0012.21212N=100, K=1, m=1zxyk=1k=23456ij二維薄膜振動