第九章第8節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法ppt課件

1、第九章第九章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應用及其應用 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)偏導數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導公式隱函數(shù)的求導公式第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)微分學的幾何應用多元函數(shù)微分學的幾何應用第七節(jié)第七節(jié) 方向導數(shù)與梯度方向導數(shù)與梯度第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 第九章 第八節(jié)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應用問題二、最值應用問題三、條件極值三、條件極值xyz一、

2、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: : 若函數(shù)若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值則稱函數(shù)在該點取得極大值( (極小值極小值).).例如例如 : :在點在點 (0,0) (0,0) 有極小值有極小值; ;在點在點 (0,0) (0,0) 有極大值有極大值; ;在點在點 (0,0) (0,0) 無極值無極值. .極大值和極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值統(tǒng)稱為極值, ,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. .),(),(00yxfyxf ),(),(00yxfyxf 或2243yxz 22yxz yxz ),(),(00yxyxfz在在點點 的某鄰域內有的某鄰域內有xyz

3、xyz定理定理1.(1.(必要條件必要條件) )函數(shù)函數(shù) 在點在點 存在存在),(yxfz ),(00yx偏導數(shù)偏導數(shù), ,證證: :),(yxfz 在點在點),(00yx),(0yxfz 0 xx 在在),(0yxfz 0yy 在在據一元函數(shù)極值的必要條件據一元函數(shù)極值的必要條件0),(,0),(0000yxfyxfyx0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值取得極值取得極值取得極值取得極值取得極值且在該點取得極值且在該點取得極值 , ,則有則有說明說明(1) (1) 使偏導數(shù)都為使偏導數(shù)都為 0 0 的點稱為的點稱為駐點駐點 , ,但駐點不一定是極值點但駐點不一定是極值點. .例

4、例yxz 有駐點有駐點 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) 但在該點不取極值但在該點不取極值(2)(2)偏導數(shù)不存在點也可能是極值點偏導數(shù)不存在點也可能是極值點. .例例22yxZ 在點在點 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) 有極大值有極大值問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？時時, , 具有極值具有極值定理定理2 (2 (充分條件充分條件) )的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), , 且且令令那么那么:1):1)當當2)2)當當3)3)當當證明見證明見 第九節(jié)第九節(jié)(P122) . (P122) . 時時, , 沒有極值

5、沒有極值. .時時, , 不能確定不能確定 , , 需另行討論需另行討論. .若函數(shù)若函數(shù)的的在在點點),(),(00yxyxfz 000000 )y,x(f,)y,x(fyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 02 BAC02 BAC02 BAC 時取極大值時取極大值; ;0 A 時取極小值時取極小值. .0 A例例1.1.求函數(shù)求函數(shù)解解: :第一步第一步 求駐點求駐點. . 得駐點: (1,0) , (1,2) , (3,0) , (3,2) .第二步第二步 判別判別. .在點(1,0)處為極小值;在點(1,2)處不是極值;解方程組ABC),(yx

6、fx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導數(shù),),(66xyxfxx,),(0yxfyx66yyxfyy),(,12A,0B,6C,06122 BAC501),(f6012CBA,),(21f,)(06122 BAC0Axyxyxyxf9332233),(例例1 1 求函數(shù)駐點: (1,0) , (1,2) , (3,0) , (3,2) .在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.ABC的極值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC),(03 f6012CBA,3123),(f,)(0612

7、2 BAC,0Axyxyxyxf9332233),(例例2.2.討論函數(shù)討論函數(shù)及是否取得極值.解解: :顯然顯然 (0,0) (0,0) 是它們的駐點是它們的駐點 , , 并且在并且在 (0,0) (0,0) 都有都有02 BAC在(0,0)點鄰域內的取值可能為33yxz因而 z(0,0) 不是極值.因而0)()0,0(222yxz當022 yx時,222)(yxz000),(z為極小值.正正負負033yxz222)(yxz在點(0,0)xyzo求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數(shù)數(shù)解解

8、，得得駐駐點點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值.二二. . 最值應用問題最值應用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值 最值可疑點最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別：當區(qū)域內部最值存在特別：當區(qū)域內部最值存在, , 且只有一個極且只有一個極值點值點P P 時時, , 那么那么 )(Pf為極小( )值)(Pf為最小( )值大大大大求最值的一般方法：求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內的所有駐點處的函數(shù)值內的所有駐點處的

9、函數(shù)值及在及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.解解xyo6 yxD如圖如圖, , 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx且且4)1 , 2( f,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yxD)4(),(2yxyxyxfz 例例4.4.水箱所用材料的面積為水箱所用材料的面

10、積為令令得駐點得駐點)2,2(33某廠要用鐵板做一個體積為某廠要用鐵板做一個體積為2 2根據實際問題可知最小值在定義域內應存在根據實際問題可知最小值在定義域內應存在, ,323332222的有蓋長方體水箱的有蓋長方體水箱, ,問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最??？問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最??？yx2 2 Ayxyxy2 yxx2 yxyx222 00yx 0222 xyAx 0222 yxAy因此可斷定因此可斷定此唯一駐點就是最小值點此唯一駐點就是最小值點. . 即當長、寬均為即當長、寬均為, ,高為高為時，水箱所用材料最省。時，水箱所用材料最省。m3m解解: :設

11、水箱長設水箱長, ,寬分別為寬分別為 , m , m ,則高為則高為yx例例5.5. 有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來,解解: :設折起來的邊長為設折起來的邊長為則斷面面積為)20,120( xx24做成一個斷面為等腰梯形的水槽,問怎樣折法才能,cmx傾角為,x224xAcos2224xxx224(21sin) xsincossin2sin2422xxx使斷面面積最大cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xAcossinsin2sin2422xxxA)20,120( x0)sincos(cos2cos24 0 cos22122xxx

12、x解得:)(8,603cmx 由題意知,最大值在定義域內達到,而在域內只有一個駐點, 故為所求.,0sin0 xx224x三、條件極值三、條件極值極值問題極值問題無條件極值無條件極值: :條件極值條件極值: :條件極值的求法條件極值的求法: : 方法方法1 1 代入法代入法. .求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外對自變量除定義域限制外, ,還有其它條件限制還有其它條件限制例如例如 , ,轉化轉化,0),(下下在在條條件件 yx 的的極極值值求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中中解解出出從從條條件

13、件)(,(xxfz 方法二方法二. . 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法在條件在條件 下下, ,求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值. .0),(yx),(yxfz 分析分析: : 設條件方程設條件方程 )(xy0),(yx則問題等價于一元函數(shù)則問題等價于一元函數(shù))(,(xxfz0 xdydffxdzdyxyxxdyd0yxyxffyyxxff極值點必滿足極值點必滿足可確定隱函數(shù)可確定隱函數(shù)極值問題極值問題 , ,極值點必滿足極值點必滿足故故0 xxf0yyf0引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)),(),(yxyxfF極值點極值點必滿足必滿足000yyxxff輔助函數(shù)輔助函數(shù)F F 稱為拉格朗日稱為拉格朗日( Lag

14、range )( Lagrange )函數(shù)函數(shù) . .0 xxxfF 0 yyyfF 0 F利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法. .推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設),(),(),(21zyxzyxzyxfF解方程組可得到條件極值的可疑點 . 021xxxxfF 021yyyyfF 021zzzzfF 01 F02 F例如, 求函數(shù)),(zyxfu ,0),(zyx下的極值.0),(zyx在條件例例6 6 要設計一個容量為要設計一個容量為 的長方體開口水箱的長方體開口水箱, , 試問水試問水箱長、寬、高

15、等于多少時所用材料最??？箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？0V使使0VzyxyxzyzxS)(2zyx,則問題為求則問題為求yxz令令)()(20VzyxyxzyzxF解方程組解方程組得得303024,22VVzyx由題意可知合理的設計是存在的由題意可知合理的設計是存在的, ,430V長、寬為高的長、寬為高的2 2倍時，所用材料最省。倍時，所用材料最省。解解: : 設設zyx,分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高, ,下水箱表面積下水箱表面積最小最小. .在條件在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx因而因而 , , 當高為當高為解解令令 )12(),(23

16、zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u那那么么故故最最大大值值為為例例8.8.22yxz 求旋轉拋物面求旋轉拋物面與平面與平面之間的最短距離之間的最短距離. .解：解：2261 zyxd設設為拋物面為拋物面上任一點，上任一點，那么那么 P P ),(zyxP22yxz 的距離為的距離為022 zyx問題歸結為問題歸結為(min)22(2 zyx約束條件約束條件: :022 zyx目標函數(shù)目標函數(shù): :22 zyx作拉氏函數(shù)作拉氏函數(shù))()22(),(222yxzzyxz

17、yxF 到平面到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41 zyx令令22yxz 解此方程組得唯一駐點解此方程組得唯一駐點02)22(2 yzyxFy 0)2)(22(2 zyxFz02)22(2 xzyxFx 由實際意義最小值存在由實際意義最小值存在 , ,241414161min d647 故故試在橢圓試在橢圓解答提示解答提示: :CBAoyxED例例9 9 21 031013 yxkji)103, 0,0(21 yx)0, 0(14922 yxyx那么那么 ACABS 2110321 yx已知平面上兩定點已知平面上兩定點 , , ,)3 , 1(A)2 , 4(B

18、圓周上求一點圓周上求一點 , ,使使CABC 面積面積 最大最大. . S設設 點坐標為點坐標為 , ,C),(yx設拉格朗日函數(shù)設拉格朗日函數(shù)解方程組解方程組得駐點得駐點對應面積對應面積而而面積最大面積最大. .)491()103(222yxyxF 092)103(2 xyx 042)103(6 yyx 049122 yx646. 1 S,54,53 yx,5 . 3,2 EDSS比較可知比較可知, ,點點 與與 重合時重合時, ,三角形三角形CE內容小結內容小結1. 1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步第一步 利用必要條件在定義域內找駐點利用必要條件在定義域內找駐點. .即解方程組即解方程組第二步第二步 利用充分條件利用充分條件 判別駐點是否為極值點判別駐點是否為極值點 . .2. 2.