第03章 方差分析ppt課件

1、方差分析 第一節(jié) 方差分析的根本問題 第二節(jié) 單要素方差分析 第三節(jié) 雙要素方差分析 方差分析方差分析(Analysis of variance，ANOVA)又叫變量分析，是英國著名統(tǒng)計學家R . A . Fisher于20世紀提出的。它是用以檢驗兩個或多個均數(shù)間差別的假設檢驗方法。它是一類特定情況下的統(tǒng)計假設檢驗，或者說是平均數(shù)差別顯著性檢驗的一種引伸。為留念Fisher，以F命名，故方差分析又稱 F 檢驗 F-test方差分析的方差分析的根本功能根本功能對多組樣本平均數(shù)差別對多組樣本平均數(shù)差別的顯著性進展檢驗的顯著性進展檢驗本章重點本章重點二、數(shù)學模型二、數(shù)學模型一、方差分析的根本思想、目

2、的和用途一、方差分析的根本思想、目的和用途三、平方和與自在度的分解三、平方和與自在度的分解四、統(tǒng)計假設的顯著性檢驗四、統(tǒng)計假設的顯著性檢驗 五、多重比較五、多重比較六、六、ANOVAANOVA過程的運用過程的運用觀測目的experimental index： 為衡量觀測結果的好壞和處置效應的高低，實踐中詳細測定的性狀或觀測的工程稱為實驗目的。常用的實驗目的例如有：身高、體重、日增重、酶活性、DNA含量等等。影響要素 experimental factor： 觀測中所研討的影響觀測目的的定性變量稱之為要素。當調查的要素只需一個時，稱為單要素實驗；假設同時研討兩個或兩個以上要素的影響時，那么稱為兩

3、要素或多要素實驗。要素程度level of factor: 要素所處的某種特定形狀或數(shù)量等級稱為要素程度，簡稱程度。如研討3個種類奶牛產奶量的高低，這3個種類就是這個實驗要素的3個程度。實驗單位 experimental unit : 在實驗中能接受不同實驗處置的獨立的實驗載體叫實驗單位。一只小白鼠，一條魚，一定面積的小麥等都可以作為實驗單位。反復repetition: 在實驗中，將一個處置實施在兩個或兩個以上的實驗單位上，稱為處置有反復；一處置實施的實驗單位數(shù)稱為處置的反復數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處置飼料有4個反復。實驗處置treatment: 事先設計好的實施在實驗單位上的詳

4、細工程就叫實驗處置。如進展飼料的比較實驗時，實施在實驗單位上的詳細工程就是詳細喂哪一種飼料。觀觀測測值值不不同同的的原原因因要素效應要素效應(treatment effect)：程度不同引起程度不同引起實驗誤差：實驗過程中偶爾性實驗誤差：實驗過程中偶爾性要素的干擾和丈量誤差所致。要素的干擾和丈量誤差所致。方差：又叫均方，是規(guī)范差的平方，是表示方差：又叫均方，是規(guī)范差的平方，是表示變異的量。變異的量。在一個要素不同形狀下的實驗中，可以得出在一個要素不同形狀下的實驗中，可以得出一系列不同的觀測值。一系列不同的觀測值。方差分析的根本思想方差分析的根本思想總變異因因素素效效應應試試驗驗誤誤差差方差分析

5、的目的方差分析的目的確定各種緣由在總變異中所占的重要程度。確定各種緣由在總變異中所占的重要程度。要素效應要素效應實驗誤差實驗誤差相差不大，闡明實驗處置對目的影相差不大，闡明實驗處置對目的影響不大。響不大。相差較大，即要素效應比實驗誤差相差較大，即要素效應比實驗誤差大得多，闡明實驗處置影響是很大大得多，闡明實驗處置影響是很大的，不可忽視。的，不可忽視。方差分析的用途方差分析的用途1. 1. 用于多個樣本平均數(shù)的比較用于多個樣本平均數(shù)的比較2. 2. 分析多個要素間的交互作用分析多個要素間的交互作用3. 3. 回歸方程的假設檢驗回歸方程的假設檢驗4. 4. 方差的同質性檢驗方差的同質性檢驗1. 1

6、. 用于多個樣本平均數(shù)的比較用于多個樣本平均數(shù)的比較2. 2. 分析多個要素間的交互作用分析多個要素間的交互作用第一節(jié) 方差分析的根本問題 一、方差分析問題的提出 問題：為了探求簡便易行的開展大學生心血管系統(tǒng)機能程度的方法，在某年級各項身體發(fā)育程度根本一樣，同年齡女生中抽取36人隨機分為三組，用三種不同的方法進展訓練，三個月后，測得哈佛臺階指數(shù)如表 1 ，試分析三種不同的訓練方法對女大學生心血管系統(tǒng)的影響有無顯著性差別。表 1 分析 方差分析的直觀思想 方差分析的直觀思想方差分析的根本思想 根據(jù)變異的來源，將全部察看值總的離差平方和及自在度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其他每個部分的變異

7、可由某些特定要素的作用加以解釋。 經過比較不同來源變異的方差也叫均方MS，借助F分布做出統(tǒng)計推斷，從而判別某要素對察看目的有無影響。因 素 要素又稱因子，是在實驗中或在抽樣時發(fā)生變化的“量，通常用A、B、C、表示。方差分析的目的就是分析因子對實驗或抽樣的結果有無顯著影響。假設在實驗中變化的要素只需一個，這時的方差分析稱為單要素方差分析；在實驗中變化的要素不只一個時，就稱多要素方差分析。雙要素方差分析是多要素方差分析的最簡單情形。 水 平 因子在實驗中的不同形狀稱作程度。假設因子A有a個不同形狀，就稱它有 a 個程度。我們都針對要素的不同程度或程度的組合，進展實驗或抽取樣本，以便了解因子的影響。

8、 在A的不同程度上對Y的取值進展獨立測試，并假定其獨立同分布于某個正態(tài)分布，進一步可假定各總體具有一樣的方差，要素A的各程度的影響只表達在各總體均值的差別上。交互影響 當方差分析的影響因子不獨一時，必需留意這些因子間的相互影響。假設因子間存在相互影響，我們稱之為“交互影響；假設因子間是相互獨立的，那么稱為無交互影響。交互影響有時也稱為交互作用，是對實驗結果產生作用的一個新要素，分析過程中，有必要將它的影響作用也單獨別分開來。方差分析的原理 一方差的分解。 樣本數(shù)據(jù)動搖有兩個來源：一個是隨機動搖，一個是因子影響。樣本數(shù)據(jù)的動搖，可經過離差平方和來反映，這個離差平方和可分解為組間方差與組內方差兩部

9、分。組間方差反映出不同的因子對樣本動搖的影響；組內方差那么是不思索組間方差的純隨機影響。方差分解 離差平方和的分解是進入方差分析的“切入點，這種方差的構成方式為分析景象變化提供了重要的信息。 假設組間方差明顯高于組內方差，闡明樣本數(shù)據(jù)動搖的主要來源是組間方差，因子是引起動搖的主要緣由，可以以為因子對實驗的結果存在顯著的影響； 反之，假設動搖的主要部分來自組內方差，那么因子的影響就不明顯，沒有充足理由以為因子對實驗或抽樣結果有顯著作用。方差分解二均方差與自在度 要素或要素間“交互作用對觀測結果的影響能否顯著，關鍵要看組間方差與組內方差的比較結果。當然，產生方差的獨立變量的個數(shù)對方差大小也有影響，

10、獨立變量個數(shù)越多，方差就有能夠越大；獨立變量個數(shù)越少，方差就有能夠越小。 均方差與自在度 為了消除獨立變量個數(shù)對方差大小的影響，用方差除以獨立變量個數(shù)，得到“均方差Mean Square，作為不同來源方差比較的根底。 引起方差的獨立變量的個數(shù)，稱作“自在度。檢驗統(tǒng)計量 檢驗因子影響能否顯著的統(tǒng)計量是一個F統(tǒng)計量： F統(tǒng)計量越大，越闡明組間方差是主要方差來源，因子影響越顯著；F越小，越闡明隨機方差是主要的方差來源，因子的影響越不顯著。組內均方差組間均方差F29用線性模型來描畫每一觀測值：用線性模型來描畫每一觀測值：ij 隨機誤差隨機誤差 3.1要求要求ij 是相互獨立的，且服從正態(tài)分布是相互獨立

11、的，且服從正態(tài)分布 N(0,2 )數(shù)學模型數(shù)學模型),.,2 , 1,.,2 , 1(ainjyiijiijiiiaiiaiiinnnn個水平的影響：第，總平均：令,111aiiiijiijijnNainjy12i0), 0 (),.,2 , 1,.,2 , 1(1 . 3且相互獨立，可以改寫成)2 . 3(3.1.2 要素作用顯著性的檢驗 檢驗假設 或者 思索數(shù)據(jù)的總變化量不全相等),.2 , 1(:.:1210aiHHia0:0.:1210iaHH至少某個 ainjijTiyySS121)(總平方和分解 總離差平方和（組間方差）因素的平方和aiiiAyynSS12.)(（組內方差）誤差平方

12、和EATSSSSSS ainjijTiyySS121)(ainjiijEiyySS121.)(自在度確實定 是由于A的動搖引起的方差，但是，這里一切的變量并不獨立，它們滿足一個約束條件，真正獨立的變量只需n-1個，自在度是n-1。 是因子在不同程度上的均值變化而產生的方差。但是，a個均值并不是獨立的，它們滿足一個約束條件，因此自在度是a-1。 是由在各要素程度上的圍繞均值動搖產生，它們滿足的約束條件一共a個，失去了a個自在度，所以SSE的自在度是n-a。 自在度滿足如下關系： n-1=(a-1)+(n-a) TSSASSESS統(tǒng)計性質 無論 成立與否， 總是 的一個無偏估計； 為真時， 為 的

13、一個無偏估計。 啟發(fā)我們經過比較 和 來構造統(tǒng)計量檢驗假設。0H)/(anSSE220H) 1/( aSSAASSESS檢驗統(tǒng)計量 檢驗統(tǒng)計量是: 當 為真時，EAEAMSMSanSSaSSF)/() 1/(0H), 1(anaFF F值越大，越闡明總的方差動搖中，組間方差是主要部分，有利于回絕原假設接受備選假設；反之，F(xiàn)值越小，越闡明隨機方差是主要的方差來源，有利于接受原假設，有充分證聽闡明待檢驗的要素對總體動搖有顯著影響。因此，檢驗的回絕域安排在右側。F 接受域 回絕域檢驗P值當 為真時，F(xiàn) 的值應在1 的周圍動搖；反之，F(xiàn)的值有增大的趨勢。檢驗p值為 為由觀測數(shù)據(jù)求得的統(tǒng)計量F的觀測值。

14、0H)(0fFPpHf例1 測定東北、內蒙古、河北、安徽、貴州測定東北、內蒙古、河北、安徽、貴州5 5個地域黃鼬冬季針個地域黃鼬冬季針毛的長度，每個地域隨機抽取毛的長度，每個地域隨機抽取4 4個樣本，測定的結果如表，個樣本，測定的結果如表，試比較各地域黃鼬針毛長度差別顯著性。試比較各地域黃鼬針毛長度差別顯著性。地區(qū)地區(qū)東北東北內蒙古內蒙古河北河北安徽安徽貴州貴州合計合計1 132.032.029.229.225.225.223.323.322.322.32 232.832.827.427.426.126.125.125.122.522.53 331.231.226.326.325.825.82

15、5.125.122.922.94 430.430.426.726.726.726.725.525.523.723.7126.4126.4109.6109.6104.1104.199.099.091.491.4530.5530.531.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.8526.5326.533997.443997.443007.993007.992709.982709.982453.162453.162089.642089.6414258.2114258.21x2xx401 1首先計算出，及，并列于表中。首先計算出，及，并列于表中。x2x

16、2 2計算出離均差平方和與自在度：計算出離均差平方和與自在度：7 .186TSS71.173ASS41ATESSSSSS186.7-173.7112.99Tdf201191 adfA5(41)15Edf3 3計算均方差：計算均方差：43.43471.173AAAdfSSMS866. 01599.12EEEdfSSMS514424 4進展進展F F 檢驗：檢驗：15.50866. 043.43EAMSMSF查查F F 值表，得值表，得 3.063.06， 4.894.89，故，故F F0.01 F F0.01 ，闡明，闡明5 5個地域黃鼬冬季針毛長度差別個地域黃鼬冬季針毛長度差別極顯著。極顯著。

17、)15, 4(05. 0F)15, 4(01. 0F43結果做成方差分析表：結果做成方差分析表：不同地域黃鼬冬季針毛長度方差分析表不同地域黃鼬冬季針毛長度方差分析表變異來源變異來源SSSSdfdfs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01地區(qū)間地區(qū)間地區(qū)內地區(qū)內173.71173.7112.9912.994 4151543.4343.430.870.8750.1550.15* * *3.063.064.894.89總變異總變異186.70186.701919為了確定各個地域之間的差別能否顯著，需求進展為了確定各個地域之間的差別能否顯著，需求進展多重比較。多重比較。例2 贊揚

18、問題 問題：消費者與供應廠商間經常出現(xiàn)糾紛。糾紛發(fā)生后，消費者經常會向消費者協(xié)會贊揚。消協(xié)對以下幾個行業(yè)分別抽取幾家企業(yè)，統(tǒng)計最近一年中贊揚次數(shù)，以確定這幾個行業(yè)的效力質量能否有顯著的差別。結果如下表：觀測值行業(yè)零售業(yè)旅游業(yè)航空業(yè)家電制造業(yè)15768314426639495134929216544045347753456405865351744行業(yè)平均49483559總平均47.9方差分析：單因素方差分析SUMMARY組計數(shù)求和平均方差列 1734349 116.67列 2628848184.8列 3517535108.5列 4529559162.5方差分析差異源SSdfMSFP-value

19、F crit組間1456.63 485.54 3.4066 0.0388 3.1274組內270819 142.53總計4164.622贊揚問題的解贊揚問題的解ExcelSPSS例 3 紙張光滑度比較 四個不同的實驗室試制同一型號的紙張，比較各實驗室消費的紙張的光滑度，丈量了每個實驗室消費的8張紙，光滑度如表所示：GHD.xls 假設上述數(shù)據(jù)服從方差分析模型，對顯著程度0.05，檢驗各實驗室消費的紙張的光滑度能否有顯著差別。3.2.2 要素各程度均值的估計與比較 假設回絕原假設，那么以為要素A的a個程度的均值有顯著的差別。這時，需求進一步研討兩方面的問題： 第一，對各程度的均值作出估計； 第二

20、，比較各程度的均值的差別，即對每一對 與 的差別程度作出估計，以便為實踐運用選擇最優(yōu)的要素程度。i)(jij各程度均值的估計及其置信區(qū)間) 1 , 0()(/.2.Nynnyiiiiii. iy樣本均值 是 的一個無偏估計，且i可以證明 )()()/(1/ )(.2.antMSynanSSynEiiiEiii1所以，對給定的置信程度 ， 置信度為 的置信區(qū)間為 i)(,)(21.21.iEiiEinMSantynMSanty各對均值差別的置信區(qū)間.jiyy )()11()(.antSMnnyyEjijiji很顯然， 是 的一個無偏估計，ji可以證明 1所以，對給定的置信程度 ， 置信度為 的置

21、信區(qū)間為 ji)11()(,)11()(21.21.EjijiEjijiSMnnantyySMnnantyy1 假設此置信區(qū)間包含零，那么闡明根據(jù)所給觀測數(shù)據(jù)，可以 的置信度斷言 與 沒有顯著差別；假設整個區(qū)間在零的左邊，那么可以 的置信度斷言 小于 ；假設整個區(qū)間在零的右邊，那么可以 置信度斷言 大于 。11ijijij續(xù) 例3 根據(jù)例3中實驗室消費紙張的光滑度數(shù)據(jù)，求各實驗室消費的紙張光滑度的均值及其兩兩之差的置信度為95%的置信區(qū)間。 解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，四個實驗室消費的紙張光滑度的均值的置信度為95%的置信區(qū)間為 42.788，48.637，38.751，44.600 37.451，43

22、.300，34.326，40.175續(xù) 例3 兩兩均值之差的置信度為95%的置信區(qū)間分別為 -0.098，8.173； 1.202，9.473； 4.327，12.598； -2.836，5.436； 0.289，8.561； -1.011，7.261；:42:43:21:41:31:32多重比較與Bonferroni同時置信區(qū)間 在各要素程度的比較中涉及到多個置信區(qū)間，雖然每個置信區(qū)間的置信度都是 ，但多個這樣的置信區(qū)間結合起來的置信度就不再是 ，普通要比它小。11以 表示m個置信度為 的置信區(qū)間，那么由Bonferroni不等式：為使 同時發(fā)生的概率不小于 ，一個簡單的方法就是將每個置信區(qū)

23、間的置信度提高到 ，這時就有), 2 , 1(miEi1mEPEPEPmiimiimii1)(1)(1)(111), 2 , 1(miEi1m11)(1miiEPBonferroni同時置信區(qū)間1ji)11()(,)11()(21.21.EjimjiEjimjiSMnnantyySMnnantyy所以，對給定的置信程度 ，為了構造m個 置信度不小于 的置信區(qū)間，只需求對每個求區(qū)間 留意：Bonferroni同時置信區(qū)間的同時置信度只能保證不小于 ，因此得到的同時置信區(qū)間會顯得比較保守即得到的置信度為 的同時置信區(qū)間的長度往往比實踐上的大。11續(xù) 例3 求均值兩兩之差的置信度為至少為95%的Bo

24、nferroni同時置信區(qū)間。 解：將置信程度調整為0.05/6=0.0083， -1.695，9.770 -0.395，11.070 2.730，14.195 -4.432，7.032 -1.307，10.157 -2.607，8.857:42:43:21:41:31:323.2 兩要素等反復實驗下的方差分析.統(tǒng)計模型影響變量的要素A和B，其中A有a個不同程度，B有b個不同程度。在要素A和B的各程度組合下均做c(c1)次實驗，以 記在程度組合 下第k次實驗的Y的觀測值，對任一程度組合，假設且各樣本之間相互獨立。ijky),(jiBAckNyijijk,.2 , 1),(2統(tǒng)計模型且相互獨立，

25、：方差分析模型可表示為兩因素等重復試驗下的), 0(),.,2 , 1,.,2 , 1,.,2 , 1(2Nckbjaiyijkijkijijk)21. 3(引入記號總平均,111aibjijab的效應因素水平iiibjijiAb,1.1.的效應因素水平jjjaiijjBa,1.1.的交互效應與水平jijiijjiijjiijijBA),()()()(.統(tǒng)計模型bjijaiijbjjaiiijkijkijjiijkNckbjaiy11112, 0, 0, 0, 0), 0(),.,2 , 1,.,2 , 1,.,2 , 1()21. 3(且相互獨立，等價于：方差分析模型兩因素等重復試驗下的)2

26、3. 3(.交互效應及要素效應的顯著性檢驗 如下三個假設檢驗問題：0:0.:1210jBbBHH至少某個0:0.:1210iAaAHH至少某個0:0,:10ijABijABHH至少某個總平方和分解EABBAaibjckijijkjiijaibjbjjaiiaibjckijijkjiijjiaibjckijkTSSSSSSSSyyyyyycyyacyybcyyyyyyyyyyyySS1112.2.1112.12.1112.1211)()()()()()()()()(2.12. .12. .112.111() ,A()B() ,() ,aAiibBjjabABijijijbcaijkijEjkiS

27、SbcyySSacyySScyyyyyySS因素 的平方和；，因素 的平方和；交互效應平方和；誤差平方和?？梢宰C明21122122212) 1()(,) 1)(1()() 1()(,) 1()(cabSSEbacSSEbacSSEabcSSEEaibjijABbjjBaiiA，均方，誤差均方交互效應的均方；的均方；，因素的均方；因素) 1(,) 1)(1(B1A,1cabSSMSbaSSMSbSSMSaSSMSEEABABBBAA21122122212)(,)1)(1()(1)(,1)(EaibjijABbjjBaiiAMSEbacMSEbacMSEabcMSE，易得檢驗統(tǒng)計量),1(),1)

28、(1(),1(, 1(),1(, 1(cabbaFMSMSFcabbFMSMSFcabaFMSMSFEABABEBBEAA當原假設成立時檢驗值否則不能拒絕。拒絕原假設，值，若對于顯著水平,),(),(),(000pfFPpfFPpfFPpABABHABBBHBAAHAABBA留意 上述三個假設檢驗問題是同時討論的，但它們的位置有所不同，在詳細運用中，首先應調查有無交互作用的檢驗，假設檢驗的結論是不能回絕 即交互作用不顯著，接下來再思索要素或的效應的顯著性才有意義。0ABH 假設A和B之間存在交互作用，即不全為零，那么對于的兩個程度，它們在的第個程度上的兩個組合 和 下的均值之差為 該值能夠會與

29、B所處的程度有關。 ij)()()()(2121221121jijiiijijijijijijijB21,iiAA),(1jiBA),(2jiBA 兩要素方差分析中交互作用的解釋例如，A、B均有2個程度，以下圖給出能夠出現(xiàn)的兩種情況： 圖3.1 有交互作用時A的各程度均值在B的不同程度上的差別12221121A1A2B1B2520520B1B2A2A111212212)(a)(b 在有交互效應時，檢驗假設 和 的實踐意義并不大，尤其是當交互效應顯著，而A或B的效應不顯著時，對結果的解釋更應慎重。 相反，假設A與之間無交互作用，那么在B的任何程度上，均有 ，其在B的各程度上均相等且完全由A的程度

30、效應之差所確定，也真實地反映了A的不同程度對因變量的影響能否顯著。0AH0BH2121iijiji 在有交互效應時要調查各要素對Y的顯著性影響，普通只能將一個要素的各程度逐個給定，在各給定的程度上調查另一要素的各程度均值之間的差別來了解該要素對的影響。例. 某高校為了解數(shù)學專業(yè)和計算機低年級、高年級、研討生在人文社科知識方面的差別，從不同專業(yè)和不同級別的學生中各任選名參與有關考試，成果如表所示。 假設考試成果服從兩要素方差分析模型，對其作方差分析。結果分析 交互效應是不顯著的，即兩專業(yè)學生的人文社科知識程度的差別在各級別的學生中可以為是一樣的。同時，數(shù)學專業(yè)中各級別學生的人文社科知識程度的差別

31、與計算機科學專業(yè)中相應級別學生的知識程度差別可以為是一樣。 兩個要素對成果的影響均顯著，即兩個專業(yè)學生的人文社科知識程度是有顯著差別的，不同級別的學生的人文社科知識程度也有顯著差別。例. 三名修繕工修繕三種類型的計算機磁盤驅動系統(tǒng)，隨機指定修繕三種類型的磁盤驅動系統(tǒng)各個，修繕時間如表所示。假設修繕時間服從兩要素方差分析模型，試對此數(shù)據(jù)作方差分析。結果分析 交互效應是非常顯著的，即不同的修繕工修繕不同類型的驅動器所破費的時間是顯著不同的。 不同的修繕工與不同類型的驅動器對修繕時間的影響均不顯著。 交互效應能夠會掩蓋各要素對因變量的某些本質影響。.無交互效應時各要素均值的估計與比較 在給定的顯著程

32、度下，當交互效應不顯著，并且要素或至少有一個對因變量的影響顯著，那么可以對影響顯著的要素在各程度上的均值作出估計，并給出其本身及任兩個之差的置信區(qū)間。.iy 假設要素的影響顯著，那么對其任一個程度，為的一個無偏估計； 置信度為的置信區(qū)間為. i1iA均值的估計)/)1(,/)1(21.21.bcSMcabtybcSMcabtyEiEi均值差置信區(qū)間 兩個程度均值之差置信度為的置信區(qū)間為1)/2)1(,/2)1(21.21.2121bcSMcabtyybcSMcabtyyEiiEii置信區(qū)間 作同時比較，置信度不小于的同時置信區(qū)間為1)/2)1(,/2)1(21.21.2121bcSMcabty

33、ybcSMcabtyyEmiiEmii續(xù)例. 兩專業(yè)之間學生成果的均值之差和各級別學生之間成果的均值之差的置信度不小于的同時置信區(qū)間。 解：.專業(yè)要素 .，. 數(shù)學專業(yè)學生的人文社科知識顯著差于計算機科學專業(yè)的學生 .學生級別要素 .，. .，. .，. 由此結果知，在至少的置信度下可斷言兩個專業(yè)的研討生的人文社科知識強于低年級和高年級學生，而高年級學生與低年級學生的人文社科知識無顯著差別。.有交互效應時要素各程度組合上的均值估計與比較 假設要素和之間有顯著的交互效應，這時單獨思索或各程度上均值的差別并無多大實踐意義。這時，可經過直接比較要素各程度組合上的均值來了解其差別。),(jiBA.ij

34、u 對于給定的要素B的某個程度 ， 是 的估計 置信度為的置信區(qū)間為jB.ijyij),.,2, 1(ai 1)/)1(,/)1(21.21.cSMcabtycSMcabtyEijEij 作同時比較，置信度不小于的同時置信區(qū)間為1)/2)1(,/2)1(21.21.2121cSMcabtyycSMcabtyyEmjijiEmjiji續(xù)例3.6 對每一類型的磁盤驅動系統(tǒng)，給出三名修繕工修繕時間均值兩兩之差的置信度不小于95%的Bonferroni同時置信區(qū)間。 解：對于 類型， )706. 1,894.21( :)694. 9 ,494.10( :)494.21,306. 1 ( :312131

35、1121111B兩要素等反復實驗方差分析流程圖結束各水平均值估計和比較是結束否各因素是否顯著？否結束考察因素聯(lián)合影響是交互效應是否顯著？3.3兩要素非反復實驗下的方差分析 在要素和B的每個程度組合上僅做一次實驗，從而只需一個觀測數(shù)據(jù)，此時模型為2.2(1,2,., ,1,2,., )(0,),0,ijijijijijEijEyia jbNyySSSS，且相互獨立此時，故這說明不能由得到的估計。前節(jié)方法不適用！),1)(1( , 1(),1)(1( , 1(YBABA2babFMSMSFbaaFMSMSFSSABBBABAAAB檢驗統(tǒng)計量。的影響進行顯著性檢驗對因變量的各水平或對的一個無偏估計，進而構造以通過之間無交互效應，則可與假定 留意：這里曾經做了與之間無交互效應的假定。 假設根據(jù)問題的實踐背景和閱歷以為交互效應不顯著，那么可在每個程度組合上只做一次實驗，然后用上述方法進展分析。 假設分析的結果是在一定顯著程度下，或至少有一個對的影響顯著，那么可完全類似單要