人教版高數(shù)選修2第7講：直線與平面的空間向量表示及其夾角(學(xué)生版)

1、直線與平面的空間向量表示及其夾角1 理解直線的方向向量及平面的法向量；2 能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；3 能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理4 能用向量方法解決直線與直線，直線與平面，平面與平面的夾角的計(jì)算問題；5 了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用1直線的方向向量與平面的法向量的確定(1) 直線的方向向量： l 是空間一直線， A，B 是直線 l 上任意兩點(diǎn)， 則稱 AB為直線 l 的方向向量， 與AB 平行的任意非零向量也是直線 l 的方向向量(2) 平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面 內(nèi)兩不共線向量， n 為平面 的法向量，則求n

2、a0，法向量的方程組為nb 0.2用向量證明空間中的平行關(guān)系(1) 設(shè)直線 l1和 l2的方向向量分別為 1和2，則 l1l2(或 l1與 l2重合)?(2) 設(shè)直線 l 的方向向量為 ，與平面 共面的兩個(gè)不共線向量 1和 2，則 l或 l? ?(3) 設(shè)直線 l 的方向向量為 ，平面 的法向量為 u，則 l或 l? ?(4) 設(shè)平面 和 的法向量分別為 u1，u2，則 ? 3用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1) 設(shè)直線 l1和 l2的方向向量分別為 1和 2，則 l1l2?(2) 設(shè)直線 l 的方向向量為 ，平面 的法向量為 u，則 l?(3) 設(shè)平面 和 的法向量分別為 u1 和 u2，則 ?

3、 4空間向量與空間角的關(guān)系(1) 設(shè)異面直線 l1，l 2的方向向量分別為 m1，m2，則 l1與 l2 所成的角 滿足 cos _|cos m1，m2|m1 m2|m1|m2|15(2) 設(shè)直線 l 的方向向量和平面 的法向量分別為 m，n，則直線 l 與平面 所成角 滿足 sin |cosm，n | |mn|m| |n|(3) 求二面角的大小()如圖， AB，CD 是二 面角 l 的兩個(gè)面內(nèi)與棱 l 垂直的直線， 則二面角的大小 _AB，CD滿足n|()如圖， n1，n2分別是二面角 l 的兩個(gè)半平面 ，的法向量，則二面角的大小 |cos | |cos n1， n2 |，二面角的平面角大小

4、是向量 n1與 n2 的夾角 (或其補(bǔ)角 ) 5點(diǎn)面距的求法 如圖，設(shè) AB為平面 的一條斜線段， n為平面 的法向量，則 B到平面 的距離 d|AB|n|規(guī)律方法(1) 利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為 向量運(yùn)算其中靈活建系是解題的關(guān)鍵(2) 其一證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的 方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可當(dāng)然也可證直線的方向向量與平面法向量平行其 三證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè) 平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即

5、可類型一 利用空間向量證明平行問題PAAD例： 如圖所示，平面 PAD平面 ABCD ，ABCD 為正方形， PAD 是直角三角形，且 2，E，F(xiàn)，G分別是線段 PA，PD，CD 的中點(diǎn)求證： PB平面 EFG.練習(xí)：已知平面的一個(gè)法向量是n (1,1,1) ，A(2,3,1)，B(1,3,2) ，則直線 AB 與平面的關(guān)系是 ( )A AB B AB C AB DAB 或 AB 類型二 利用空間向量證明垂直問題且 ABBCBD2，ABC DBC例 2：(2014 遼寧 )如圖， ABC和 BCD所在平面互相垂直， 120， E，F(xiàn)分別為 AC，DC的中點(diǎn)(2) 求二面角 E BFC的正弦值練

6、習(xí)：如圖，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形， O 為底面中心， A1O平面 ABCD ，ABAA1 2.證明： A1C平面 BB1D1D.類型三 利用空間向量解決探索性問題例 3：如圖，在長方體 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為 CD的中點(diǎn)(1) 求證： B1EAD1；(2) 在棱 AA1上是否存在一點(diǎn) P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP的長；若不存在， 說明理由；(3) 若二面角 A B1E A1的大小為 30，求 AB的長練習(xí)：如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1C1C是邊長為 4 的正方形平面 ABC平面 AA1C1C，AB3

7、，BC 5.(1) 求證： AA1平面 ABC；(2) 求證：二面角 A1 BC1B1的余弦值； BD(3) 證明：在線段 BC1上存在點(diǎn) D，使得 ADA1B，并求 BC的值類型四 求異面直線所成的角BA1 與 AC所成的角例 4：在棱長為 a 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，求異面直線練習(xí)：練習(xí)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，E是 AA1中點(diǎn)，則異面直線 BE與 CD1所成角的余弦值為 ()1B.5C.3 10C. 103D.5類型五 利用空間向量求直線與平面所成的角例 5：在正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、F分別為 AB、C1D1的中點(diǎn)，則 A1

8、B1與平面 A1EF夾角的正弦C. 46D. 2P 為側(cè)棱 SD 的中點(diǎn)，且 SOOD，練習(xí) 1：正四棱錐 SABCD中， O 為頂點(diǎn)在底面上的射影，則直線 BC與平面 PAC所成的角是 練習(xí) 2：在正方體 ABCD A1B1C1D1中， E、F分別為 AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線 EF與 A1C1所成角 的大小是 類型六 利用空間向量求二面角例 6：如圖所示， P是二面角 AB棱上一點(diǎn)，分別在 ，內(nèi)引射線 PM，PN，若 BPM BPN 45， MPN60，則二面角 AB大小為 練習(xí)：如圖，四棱錐 PABCD中，底面 ABCD為平行四邊形， DAB60， AB 2AD，PD底 面 ABC.

9、D(1) 證明： PA BD；(2) 若 PDAD，求二面角 A PB C的余弦值1在正方體 ABCD A1B1C1D1中，直線 BC1與平面 A1BD所成的角的正弦值是 ( )A. 464B.C. 36D. 22 32A30B45C 60D903將正方形 ABCD沿對角線 BD折成直二面角 A BDC，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的為 ( )B ACD是等邊三角形D AB與 CD所成的角為 60AAC BDC AB與平面 BCD所成的角為 604在長方體 ABCDA1 B1 C1D1中，AB 2，BC AA1 1，則 D1C1與平面 A1BC1所成角的正弦值為 5. 如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1中

10、， ABC為等腰直角三角形， BAC90，且 ABAA1， D，E，F(xiàn) 分別為 B1A， C1C，BC的中點(diǎn)求證：(1) DE平面 ABC；(2) B1F平面 AEF.(1) 證明： ACAB1； (2) 若 AC AB1， CBB1 60， AB BC，求二面角 AA1B1C1的余弦值基礎(chǔ)鞏固( 1)1. 如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB90， AA12，ACBC1，則異面直線 A1B 與 ACA. 36B. 66C. 33D. 222. 在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱 PD平面 ABCD，ABPDa. 點(diǎn) E為側(cè)棱 PC 的中點(diǎn)，又作 DF PB交

11、PB于點(diǎn) F，則 PB與平面 EFD所成角為 ()A30B45C 60D903如圖所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， AA1底面 ABC，AB BCAA1， ABC90，點(diǎn) E、F分別是棱 AB、BB1的中點(diǎn)，則直線 EF和 BC1 所成的角是 4. 如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1中， M、N分別是棱 CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線 A1M與 DN所成角的大小是 5. 正四棱錐 S ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影， P為側(cè)棱 SD的中點(diǎn)，且 SOOD，則直線 BC 與平面 PAC所成的角是 能力提升( 2)6. 如圖所示，已知空間四邊形 ABCD的各邊和對角線的長都等于

12、a，點(diǎn) M、N 分別是 AB、CD的中點(diǎn)(1) 求證： MNAB， MNCD；(2) 求 MN的長；7. 如圖，在直三棱柱 ADE- BCF中，面 ABFE和面 ABCD都是正方形且互相垂直， M為 AB的中點(diǎn)， O為 DF的中點(diǎn)求證：(1) OM平面 BCF；(2) 平面 MDF平面 EFCD.8. 如圖所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1 2 2，C1H平面 AA1B1B，且 C1H 5.(1) 求異面直線 AC與 A1B1 所成角的余弦值；(2) 求二面角 AA1C1B1 的正弦值；(3) 設(shè) N為棱 B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn) M在平面 AA1B1B 內(nèi)，且 MN平面 A1B1C1，求線段 BM的長8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.