2022 屆“四省八校”高三下學期開學考試數(shù)學（文）試題（含答案）

1、2022 屆“四省八?！备呷聦W期開學考試數(shù)學（文）試題一、單選題1若集合，則(       )ABCD【答案】C【分析】根據(jù)分式不等式解法解出集合A，根據(jù)對數(shù)的運算法則計算出集合B，再根據(jù)集合交集運算得結(jié)果.【詳解】，.故選：C.2已知，復(fù)數(shù)（為虛部單位）為純虛數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（       ）A1BCD【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的出發(fā)運算結(jié)合純虛數(shù)的定義求出，從而可求出復(fù)數(shù)，即可得出答案.【詳解】解：，因為復(fù)數(shù)（為虛部單位）為純虛數(shù)，所以，解

2、得，所以，所以，所以z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3已知，則“”是“存在使得”的（       ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導公式即可判斷.【詳解】(1)當存在使得時，則；即不能推出. (2)當時，或，,所以對第二種情況，不存在時，使得成立，故“”是“存在使得”的既不充分不必要條件.故選：D4設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能為(       )ABCD【答案】C【分析

3、】判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷圖像.【詳解】，f(x)是定義在(1，1)上的奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，據(jù)此排除BD；又，選C.故選：C.5函數(shù)的最大值為(       )A2B3C4D5【答案】D【分析】利用三角恒等變換公式化簡f(x)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】f(x)最大值為5，故選：D.6已知，則下列關(guān)系中成立的是ABCD【答案】C【分析】利用對數(shù)式特殊值，解對數(shù)方程，再比較x,y,z的大小關(guān)系【詳解】由題意知，解得同理可解得，比較x和y：取，比較x和z：取，比較y和z：取，綜上所述：，故選C【

4、點睛】對數(shù)式特殊值有，結(jié)合對數(shù)式指數(shù)式互化，解決一些特殊的對數(shù)方程再構(gòu)造同指數(shù)冪比較大小7函數(shù)對于都有，恒成立，在區(qū)間上無最值.將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，圖像左移個單位，上移3個單位得到，則下列選項正確的是（       ）A在上單調(diào)遞增B當時取得最小值為C的對稱中心為（）D右移m個單位得到，當時，為偶函數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求出對稱中心與對稱軸可得函數(shù)周期求，再利用特殊值求出求出函數(shù)解析式，根據(jù)圖象變換得出的解析式，利用單調(diào)性，對稱性判斷ABC，再根據(jù)平移后得為偶函數(shù)求，判斷D即可.【詳解】因為，恒成立可知

5、為函數(shù)的一個對稱中心，為函數(shù)的一條對稱軸，所以，解得.，,，,滿足題意則，令,解得，當時，的增區(qū)間為，故在上不是增函數(shù)，故A錯誤；當時，不為最小值，故B錯誤；令,解得，所以的對稱中心為，故C錯誤；右移m個單位后可得，當為偶函數(shù)時，故時，故D正確.故選：D8已知正方體的棱長為2，M為的中點，N為正方形ABCD內(nèi)一動點，則下列命題正確的個數(shù)是(       )若，則點N的軌跡長度為.若N到平面與直線的距離相等，則N的軌跡為拋物線的一部分.若N在線段AC上運動，則.若N在線段AC上運動，則.A1B2C3D4【答案】C【分析】連接D

6、N、MN，求出DN，根據(jù)圓的定義可求N的軌跡，根據(jù)圓的周長可求軌跡長度；根據(jù)幾何關(guān)系可知N到平面的距離即為N到直線BC的距離，N到直線的距離即為NA，根據(jù)拋物線的定義即可判斷N的軌跡；連接，證明平面即可；連接連接AC和BD交于O，連接MO，則MO，由此即可判斷.【詳解】連接DN、MN，DM平面ABCD，點N的軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓的，點N軌跡長度為圓的周長的，為，故正確；如圖，過N作NEBC與E，連接AN：平面ABCD平面且兩平面交于BC，NE平面，NE即為N到平面的距離；平面ABCD，AN，AN就是N到直線的距離；若N到平面與直線的距離相等，即NENA，根據(jù)拋物線的定義可知N的軌跡是

7、以A為焦點，BC為準線的拋物線的一部分，故正確；連接：是正方形，平面平面，同理可證平面正確；連接AC和BD交于O，連接MO，ABCD時正方形，OBOD，又M是的中點，在三角形中，MO，若N在線段AC上運動，只有當N為AC中點O才滿足，故錯誤.正確的命題是：，正確的個數(shù)為：3.故選：C.9若曲線存在垂直于y軸的切線，則a的取值范圍是(       )ABCD【答案】C【分析】問題等價于f(x)的導數(shù)在x0時有零點，再參變分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題.【詳解】依題意，f(x)存在垂直與y軸的切線，即存在切線斜率的切線，又，有正根，即有

8、正根，即函數(shù)y2a與函數(shù)的圖像有交點，令，則g(t)，g(t)g()，2a，即a.故選：C.10設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)（）的導函數(shù)，當時，則使得成立的x的取值范圍是（       ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)不等式的形式構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行求解即可.【詳解】令，則，在上為減函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，在上為減函數(shù).又，不等式，或，或，成立的x的取值范圍是，故選：D11已知拋物線過焦點的直線與拋物線交于、兩點，則最小值為（      

9、; ）ABCD【答案】D【分析】推導出，然后在代數(shù)式上乘以，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，所以，所以，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.12在x軸上方作圓與x軸相切，切點為，分別從點，作該圓的切線AM和BM，兩切線相交于點M，則點M的橫坐標的取值范圍(       )ABCD【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖像，根據(jù)幾何關(guān)系研究動點M的軌跡即可.【詳解】當M

10、在第一象限時，如圖，設(shè)直線AM，BM與圓分別相切于點E，F(xiàn)，由題可知，又，根據(jù)雙曲線的可知，M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上(不能取頂點)，此時M恒坐標；當M在第三象限時，如圖，同理可得，根據(jù)雙曲線的定義可知，此時M是以A、B為焦點的雙曲線的左支上的點(不能為頂點)，此時M恒坐標；綜上，M點的橫坐標的取值范圍.故選：A.二、填空題13已知實數(shù)x，y滿足則的最小值為_.【答案】2【分析】先求出可行域，然后根據(jù)直線截距求出最小值.【詳解】解：由題意得： ，對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：設(shè)，則，平移此直線，由圖象可知直線，經(jīng)過時，直線的截距最小，得到最小，所以.故答案為：14若一幾何體三視圖如圖所示，則

11、幾何體的表面積為_.【答案】【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體為圓錐，根據(jù)圓錐表面積計算方法計算即可.【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為圓錐，如圖所示：h2，r1，l，圓錐表面積為.故答案為：.15在中，已知，則的取值范圍為_.【答案】【分析】利用二倍角公式分析得出，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡得出，令，則，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，因為、，故，所以或.因為，故，故.則由正弦定理得，因為，所以，所以，設(shè)，則，則，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，則，即.所以的取值范圍為.故答案為：.16瑞士著名數(shù)學家歐拉在年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距

12、離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”，直線與軸與雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心、重心、垂心所成集合，若的斜率為，則該雙曲線的離心率可是以是，.以上結(jié)論正確的是_.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，求出與軸的交點、直線與雙曲線的兩漸近線的交點、的坐標，對該三角形的外心、重心、垂心的坐標進行分類討論，結(jié)合已知條件求出雙曲線的離心率，即可得解.【詳解】設(shè)直線的方程為，令，可得，設(shè)直線與軸的交點，雙曲線的漸近線方程為，與直線聯(lián)立，可得，.由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，當、依次為三角形的外心、重心

13、、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為，化為，；當、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為化為不成立；當、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為，化為，；當、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為，化為不成立；當、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為，化為，；當、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為化為不成立.故選：.三、解答題17已知數(shù)列中，.(1)設(shè)，求證是等差數(shù)列；(2)求的通項.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】

14、（1）式子變形后，可知是首項，公差為1的等差數(shù)列.（2）利用累加法和錯位相減法即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：由已知可得：即即，所以是首項，公差為1的等差數(shù)列.(2)由（1）知則得到，得.18云南某小區(qū)抽取年齡在2-22歲100人做核酸檢測由于工作人員不小心畫出直方圖后把原始數(shù)據(jù)丟失(1)估算抽取人群的平均年齡.(2)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.試估計此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù).(3)用分層抽樣的方式從第一組（年齡在2-6歲）和第五組（年齡在18-22歲）中一共抽取5人再從5人中任選2人求兩人的年

15、齡差不超過4歲的概率.【答案】(1)（歲）(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)的方法進行計算；（2）先確定第50百分位數(shù)來自于哪一組，然后利用的第50百分位數(shù)計算公式進行計算；（3）根據(jù)可能事件概率的計算公式進行求解.【詳解】(1)解：由題意得平均年齡（歲）(2)第50百分位數(shù)位于區(qū)間，由，所以第50個百分位為.(3)根據(jù)分層抽樣原理第一組抽2人，第五組抽3人再從5人中任取2人共有10種基本結(jié)果（兩個人來自歲組有種；兩人來自歲組由種；一人來自歲組，一人來自歲有種）.要使年齡差小于4歲等價于兩人來自同組（）有4種結(jié)果所以概率.19如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上的一

16、點，且，為線段上的動點.(1)當為何值時，平面平面，并說明理由；(2)若，平面平面，求出點到平面的距離.【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）取，即點為的中點，證明出平面，結(jié)合面面垂直判定定理可得出結(jié)論；（2）由題意可知為的中點，利用已知條件求得以及三棱錐的體積，計算出的面積，利用等體積法可求得點到平面的距離.【詳解】(1)解：當時，平面平面，理由如下：因為底面，平面，所以，因為為矩形，所以，又，所以平面.因為平面，所以.因為，所以為線段的中點，又因為，所以，又，所以平面，因為平面，所以平面平面.(2)解：因為平面平面，由（1）可知為的中點.因為底面，所以點到底面的距離為，所以，因為，

17、所以，所以，平面，平面，則，同理可知，為的中點，則，所以，設(shè)點到平面的距離為，由得，解得.20已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，函數(shù)恒成立，求實數(shù)取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求得，分、兩種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由題意可知對任意的恒成立，令，分、三種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，驗證能否恒成立，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)解：函數(shù)的定義域為，當時，則，所以在上單調(diào)遞增；當時，則由知，由知，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，

18、單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)解：由題意知恒成立，而，由，得，令，則.若，則在上單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，不符合題意；若，則，當時，在上單調(diào)遞增，從而，所以在在單調(diào)遞增，所以，不符合題意；若，則，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，本題涉及端點效應(yīng)，一般的解題思路就是對參數(shù)的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，驗證對應(yīng)的不等式能否恒成，由此求解.21如圖，已知橢圓，曲線與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于、，直線、分別與交于點、.(1)證明：以為直徑的圓經(jīng)

19、過點；(2)記、的面積分別為、，若，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用斜率公式結(jié)合韋達定理計算得出，可得出，即可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)的斜率為，則的方程為，將直線的方程分別與曲線、的方程聯(lián)立，可求得點、的坐標，同理可得出點、的坐標，可求得、，進而可得出的表達式，利用基本不等式可求得的取值范圍.【詳解】(1)證明：若直線的斜率不存在，則該直線與軸重合，此時直線與曲線只有一個交點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由得，設(shè)、，則、是上述方程的兩個實根，于是，.又因

20、為點，所以，所以，即，所以為直徑的圓經(jīng)過點.(2)解：由已知，設(shè)的斜率為，則的方程為，由解得或，則點的坐標為，又直線的斜率為，同理可得點的坐標為.所以，由得，解得或，則點的坐標為，又直線的斜率為，同理可得點的坐標，于是，因此，當時，即當時，等號成立，所以，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其