圖形運(yùn)動(dòng)中函數(shù)關(guān)系的確定-教師版

1、【例1】 已知：在 RtAABC中，/ A=90°, AB=AC=1 , P是AB邊上不與 A點(diǎn)、B點(diǎn)重合的任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， PQ丄BC于點(diǎn)Q, QR丄AC于點(diǎn)R.(1)求證：PQ=BQ;(2)設(shè) BP=x, CR=y,求 y 關(guān)于（3）當(dāng)x為何值時(shí)，PR / BC .【答案】詳見解析.【解析】（1）證明：Q A 90 , ABAC 1,又Q PQ BQ , BPQ 45 ,Bx的函數(shù)解析式,VBPQ為等腰三角形,PQ BQ ；VBPQ 中,BQx2在 RtVABC 中，BCAB2BC2廠1.2在等腰直角VCQR中，CRy,CQ 2 y , Q CQ即.2y22x ,y21 x21 ,

2、0 x 1(3)解：Q PR/BC , PQBC ,PR PQ,又QVBPQ為等腰三角形，PQ2 x,（2）解：在等腰直角Q BP x,BC2PR PQBQQ PR/BC ,APR AP1 x , PR/ PRPQ ,PRQ PRPQ,即22(1 x).RQC 45 ,B 45 ,Q AQPR/BC , PQ BC ,90o , APAR2x 2（1 x），【總結(jié)】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，第3）問注意根據(jù)平行得到角的關(guān)系，再進(jìn)行計(jì)算.13 / 25【例2】 如圖所示，已知：在RtAABC中，/ C=90 ° , P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ丄PC.交線

3、段CB的延長線與點(diǎn) Q.(1)當(dāng) BP=BC 時(shí)，求證：BQ = BP;(2)當(dāng)/ A=30 ° , AB=4 時(shí)，設(shè)BP=x,BQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.【答案】【解析】詳見解析.(1)證明：QBPBC ,BPCBCP .PQ PCBPC BPQ90BCPBQP90BPQ BQPBQ BP(2)過P作PHQ ACBBCA垂足為,AB 4ABC60 ,BC2Q BP x,13BH1 -x, PHx22CH 21x2Q PQ2 PH 2QH2,PQ2CQ2PH2 QH2CQ2PH2 CH 22PH2QH2CQ2 CH2即2 x21 y -2x2y 2224y xy2

4、x22x2x22x1 xy44x90 ,2【總結(jié)】本題主要考查了勾股定理,30CP22 2CQ PHCH2進(jìn)行分析.直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用， 解題時(shí)注意從多個(gè)角度【例3】 如圖所示，已知：在 RtAABC中，/ C=90AC=6，點(diǎn)D是斜邊 AB中點(diǎn)，作DE丄AB,交直線AC于點(diǎn)E;若/ A=30 °，求線段 CE的長;當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，設(shè)BC=x, CE=y,義域;若CE=1，求BC的長.詳見解析.【解析】y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定AQ C 90 , A30ABC60又Q DE垂直平分AB ,ABEBAE30CBE ABCABE30又 Q C 90 ,CE1 -BE21

5、AE2Q AC 6, BEAE4 ,CE -2BE 2線段CE的長為2 ；(2) Q DE垂直平分AB ,AEBE 6y在 RtVBCE 中，BC2CE2BE2 ,即x22 y二 y 3 丄 x2(0x6)；(1)聯(lián)結(jié)BE ,6（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，由（得132)1 x 12當(dāng)點(diǎn)E在AC延長線上時(shí)， AE BE在 RtVBCE 中，BC2即x2 1272，解得:綜上所述，若CE 1 ,2 2CE BE ,BC的長為2 6或4 3 .【總結(jié)】考查學(xué)生對(duì)勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用,綜合性較強(qiáng)，第（3）小問注意要分類討論.【例4】 如圖，在梯形 ABCD中,AD/

6、BC,/ ABC = 90o, AB = BC= 8，點(diǎn) E 在邊 AB 上,DE丄CE , DE的延長線與 CB的延長線相交于點(diǎn) F .(1)求證：DF = CE;(2)當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，求CD的長;(3)設(shè) CE= x, AD = y,試用x的代數(shù)式表示y.DB H【答案】(1)詳見解析；(2) CD 10;( 3)1 2一2xx8648 .【解析】(1)證明：過D作DH BC，垂足為/AD/BC,/ ABC = 90o, AB= BC, DHABBC .Q DE CE, CEBBEF 90 ,Q F BEF 90 ,CEB F ,VCEB也 VDFH AASCE DF ;(2) Q E

7、為AB中點(diǎn),AE BE,二 VADE = VBFEA.A.SDE DFQBC8 ,BE 4, BC8,CE45DF ,DE25 ,CDDE2CE7 10;(3)Q CEDF x , BC8 ,BEx264 ,AE8. x2Q ADy,DE2 y28.x2264Q DHBC ,CD2 DH 2CH2于822y .Q DE2 22 CE22 2CD ,y8x264x28282y ,64 .1DF，1 2 _x8x264【總結(jié)】考查梯形為背景下的三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用,同時(shí)運(yùn)用勾股定理解決函數(shù)問題.【例5】 如圖，在正方形 ABCD中，AB = 1 , E為邊AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A、B重合

8、）,F為BC延長線上的一點(diǎn)，且 AE = CF，聯(lián)結(jié)EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)G.(1)求證：DE = DF ;(2)聯(lián)結(jié)DG，求證：DG丄EF ;(3)設(shè)AE = x, AG = y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域.【答案】詳見解析.【解析】（1）：正方形ABCD ,K二 AD DC , BAD DCB 90 AE = CF , VAED VCFD ,DE DF ;（2）如圖，過點(diǎn)F作FK /AB與AC的延長線交于點(diǎn) KBAC K ,B BFK , AC是正方形ABCD的對(duì)角線,BAC 45 ,B 90 ,K 45 ,BFK 90K KCF45 , KFCF , Q AECF, KF AEVAEG

9、 VKFG , EG FGQ DE DF ,EF DG ；(3) QVAEGVKFG , AGKGQ AE x, AGKF CF x, KG在 RtVCKF 中,CK 2x ,同理：AC . 2 , CG 2 yQ GH CG CHy .2 y 2x2x 1【總結(jié)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等綜合應(yīng)用, 解題時(shí)注意從多個(gè)角度進(jìn)行分析.【例6】 如圖，在直角梯形 ABCD中，AD / BC,AB丄BC, BC = 9，/ C= 60 °，將一個(gè)30 ° 角的頂點(diǎn)P放在DC邊上在滑動(dòng)(P不與D、C重合)，保持30。角的一邊平行于 BC, 與邊A

10、B交于點(diǎn)E，30。角的另一邊與射線 CB交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF .(1) 當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，求CP的長；(2) 當(dāng)點(diǎn)F在CB邊上時(shí)，設(shè)CP = x , PE = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函(3)當(dāng)EF = CP時(shí)，求 CP的長.【答案】詳見解析.【解析】解：(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí),QEP/BC ,PBCEPB30 ,Q C 60 ,BPC90 ,22(2)過點(diǎn)F作FHEP于HQ FPC90 , C60 ,CPx , FC 2x,Q EPF30 , PH3x2Q四邊形EBFH是矩形，EHBF 9 2x31yx9 2x 9x22FPCP -BC9 ；;3x.當(dāng)四邊形EFCP是平行四邊形時(shí)

11、,EFCP,EF / /CP , CF PE y.C 60 ,二 FC 2x ,解得：x185當(dāng)四邊形EFCP是等腰梯形時(shí), 貝U EF CPEFB60-ABF 90°,又FPCD , CF 2CP2x,數(shù)定義域;解得:綜上所述，當(dāng)EF = CP時(shí)，CP的長為18 或 6.5【總結(jié)】考查直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定以及直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用, 第(3)小問要注意進(jìn)行分類討論.【例7】 如圖，在正方形ABCD中，AB = 4,點(diǎn)E是邊CD上的任意一點(diǎn)（不與C、D重合），將厶ADE沿AE翻折至 AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)AG .(1)求證： ABGAFG ;(2)

12、若設(shè) DE = x, BG= y,(3) 聯(lián)結(jié) CF，若 AG / CF,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍;求DE的長.【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】（1）證明：由翻折易證VAED也VAEFAD AF , DAFE90AFG 90 ,AFGB 90 .正方形ABCD ,AD AF . AGAG ,RtVABG 也 RtVAFGH.L ;FG yQ DEEFx ,GE x y .Q AB4 ,EC4x, CG4 y222xy4 x4 y ,16 4x 一y-0 x4;4 x(3)Q CF/AGAGBFCGQ AGBAGF ,FCGCFGGFGCBGy,2y 4,y164x

13、442, x,DE4x33(2) Q2 ,【總結(jié)】考查圖形運(yùn)動(dòng)及動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合全等三角形的綜合應(yīng)用能力,RtVABG 也 RtVAFG , BGAGFCFG解題時(shí)注意對(duì)基本圖形的尋找.【例8】 如圖，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn) A(4, 0)，已知過點(diǎn)A的直線I與y軸正半軸交于點(diǎn) P, 且厶AOP的面積是8，正方形 ABCD的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2， h),其中h>2.(1) 求直線I的表達(dá)式；(2) 求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(用含h的代數(shù)式表示)【難度】【答案】詳見解析.【解析】(1)解：Q A 4,0 , AO 4 .Q SVAOP 8，且直線I與y軸正半軸交于點(diǎn) P ,P 0 ,4直線1的表達(dá)式為：yx

14、4 ；(2)過B、D分別作BMx軸，DN x軸，垂足分別為 M、NQ正方形ABCD , ABAD ,VABM 也 VDAN ,Q B 2, h , A 4, 0 ,AM2 , BM h ,DN 2, AN h , ON h 4 ,D 4 h,2 .【總結(jié)】本題主要考查一次函數(shù)與正方形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例9】 如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AB延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE, AF丄CE,垂足為點(diǎn)F ,交BD、BC于點(diǎn)H、G.設(shè)BE = x, CG = y.(1) 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出 x的定義域;(2) 當(dāng)點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)時(shí)，證明：CG = 2OH .【難度

15、】【答案】(1) y 1 x 0 x 1 ；(2)詳見解析.【解析】(1) Q正方形ABCD , AB BC ,Q AF CE, EAF ECB ,易證 RtVABG 也 RtVCBE A.S.A , BE BG x,又Q GC GB 1 , x y 1 , y 1 x 0 x 1 ；(2)取CG中點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)OPQ 正方形 ABCD , OA OC , BAC ACB 45 , AC BD ,QCP PG , OP/AG ,Q F是CE中點(diǎn)，且 AF CE , AF垂直平分 CE .AC AE , FAC FAB 22.5 , BHG AHO 67.5Q AGBGACACG 67.5, BHG

16、 BGH, BH BGQGH/OP, BHG BOP , BGH BPO ,BOPBPO ,BO BP, OH PG , CG 2OH.【總結(jié)】考查正方形的性質(zhì)應(yīng)用以及線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例10】EF、BC的延長線相交于點(diǎn) G,設(shè) AE= x, BG = y.(1)求y與x之間函數(shù)解析式,并寫定義域;當(dāng)點(diǎn)F為CD中點(diǎn)時(shí),AE的長.【答案】(1) y0 x2 x；(2)AE的長為2或6 .【解析】解：(1)過點(diǎn)E作EHBC于點(diǎn)正方形 ABCD , EH BC BH = AE= x, EH AB 6 / FEB = Z EBC, EGBG GH y x.T EG2

17、EH2 GH2 , y262如圖，正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E、F分別在邊 AD、CD上，/ FEB =Z EBC,x 18y0x6 ;2 x(2) Q點(diǎn)F為CD中點(diǎn),FDFC .Q DE/CG,EDVEDF也 VGCF12解得:GC ,18x2即 x 8x 12y 122, X2即AE的長為2或6 .【總結(jié)】本題主要考查正方形形的性質(zhì)與勾股定理的綜合運(yùn)用，注意進(jìn)行分析.【難度】【答案】詳見解析.【解析】解:(1)QA 60 , DEAB ,AE2AD2x,又 Q AC AECE ,y2x 30 x32 ；Q F是BE的中點(diǎn)，CF1DF - BE2FCBCBF,FDBDBF ,CFEDFE

18、2CBFDBFQ A 60 ,ABC30 :CFDVCDF是等邊三角形;(2) Q ACB 90 ,A60 , AC證明：在 RtVECB和RtVEDB中,ECB EDB 90 ,BF .CFE 2 CBF , DFE 2 DBF ,，即 CFD 2 CBA.60 ,3, BC 3 3 .【例11】 如圖所示，已知：在 ABC中，/ ACB=90。，/ A=60 ° , AC=3，點(diǎn)D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合)，過點(diǎn)D作DE垂直于AB交射線AC與E,連接BE ,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接 CD、CF、DF .(1) 當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上(點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合)時(shí)，設(shè) AD=x, C

19、E=y. 直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域; 求證： CDF是等邊三角形；(2) 如果 BE = 27，求出AD的長.在 RtVBCE 中，CE . BEBc 1 .當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，AD - AE - 3 11 ;2 2當(dāng)點(diǎn)E在AC延長線上時(shí)，AD 1AE 1 3 12 .2 2綜上所述：AD的長為1或2 .【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn) 用，綜合性較強(qiáng)，注意認(rèn)真分析題中條件.【例12】如圖，已知：在 ABC中,個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE丄AB,垂足為E,點(diǎn)/ CBA=90。，/ A=30 ° , BC=3 , D 是邊 AC 上的一交線段C

20、B的延長線交于點(diǎn)G.求證：AF=FP;設(shè)AD=x, GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;【難度】【答案】詳見解析.【解析】(1) Q DEAB ,A30ADE 60 .Q DE DF ,DFEDEF1ADE230QFP EF ,PFE90PFA 9030FPA 30A ,AFFP;若點(diǎn)P到AC的距離等于線段 BP的長，求線段 AD的長.120 ,Q DEAB ,A 30DFDEGBPCFD-AD2F在CD上，且 DE = DF，作FP丄EF，交線段 AB于#/25FP APQBPGFPA30PBG 180 , CBABG1 1 -GP - 2 2y,G903060 .QC903

21、060VGCF是等邊三角形,GCGF，即1 -y33 y -x,90 ,223x 0 x 2BP的長，則43P為GF的中點(diǎn),(3) 若點(diǎn)P到AC的距離等于線段3GP FP，即 6 3x x，解得:2即線段AD的長為4 .3【總結(jié)】考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，要注意分析.【例13】 如圖，在直角厶 ABC中，/ B=90 °，/ C=30 ° , AC=4, D是AC邊上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)(不與A、C點(diǎn)重合)，過點(diǎn)D作AC邊的垂線，交線段 BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F是線段EC 的中點(diǎn)，作 DH丄DF

22、，交射線 AB于點(diǎn)H，交射線 CB于點(diǎn)G .(1)求證：GD=DC ;(2)設(shè)AD=x, HG=y .求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;(3)當(dāng)BH=1時(shí)，求CG的長.2【答案】詳見解析.【解析】(1) Q EDAC , C 30 , F是EC的中點(diǎn),QGDDF ,CGDC 30 ,GDDC ;(2) QABC90 ,C 30 , AC4 ,AQ HDACCGD60 , AHHD AD ,Q ADx, AC4 , HGy, GD iCD 4x .若DH交線段AB的延長線于點(diǎn)H ,有HGGDy 4x x ,y 2x 4 2 x 4;若DH交線段AB于點(diǎn)H，有 GDGH AD ,4 xy

23、x,y 42x 1 x 2;(3)若DH交線段AB的延長線于點(diǎn)H ,Q BH1,H60o,HBG 90o,BG2乜3G ；2Q BC2 , CG232 2若DH交線段AB于點(diǎn)H ,Q BH1 , G30o,HBG 90o,BG22Q BC2 , CG2 3乜 5 <3 ;FC ,DF60綜上所述,60 , AB 2 .C FDC 30 , GFD2 2【總結(jié)】本題主要考查對(duì)三角形內(nèi)角和定理,CAD ,等腰三角形的性質(zhì)和判定,直角三角形斜邊中線性質(zhì)，以及含30角的直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，此題中還要注意分類討論思想的運(yùn)用.23 / 25【例 14】 在梯形 ABCD 中，AD / BC,/

24、 B=90 °，/ C=45 ° , AB=8, BC=14，點(diǎn) E、F 分別在邊 AB、CD上，EF / AD，點(diǎn)P與AD在直線 EF的兩側(cè)，/ EPF=90°, PE=PF ,射線EP、FP與邊BC分別相交于點(diǎn) M、N，設(shè)AE=x, MN=y.(1) 求邊AD的長;(2) 如圖，當(dāng)點(diǎn) P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域;(3)如果MN的長為2,求梯形AEFD的面積.【答案】(1)AD 6 ;(2) y 3x 10(3)梯形176ABCD的面積為 一或32 .9【解析】(1)過D作DH BC與EF、BC分別交于點(diǎn)G、HQ 梯形 ABCD

25、 中， B 90 , DH /ABQ C45 ,CDH 45 , CHDHAB 8ADBHBCCH 6 ;(2)Q DHEF,DFECFDG45 , FG DGQ EGAD6 ,EF x 6,Q PEPF ,EF / /BC ,PFEPEFPMNPNM ,PMPN .AE過點(diǎn)P作QR EF與EF、MN分別相交于Q、R ,又Q AD/BC ,四邊形ABHD是矩形.Q MPNEPF 90 , QRMNPQEFPR-MN212y.QQR BEy 3x18 x, x 6210x310 1當(dāng)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí),MN3x 10,AEADEF ?AE6|1769當(dāng)P在梯形ABCD外部時(shí),AESaefd2

26、AD EF ?AE32 .注意對(duì)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查梯形性質(zhì)及常見輔助線的添加, 的確定，并且要進(jìn)行分類討論.【例15】 如圖，等腰梯形 ABCD中，AD = BC = 5, AB= 20, CD = 12, DH丄AB, E是線段HB上一動(dòng)點(diǎn)，在線段 CD上取點(diǎn)F使AE = EF，設(shè)AE= x, DF = y.(1)當(dāng)EF / AD時(shí)，求AE的長;(2)求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;(3)將厶ADF沿AF所在直線翻折，點(diǎn)落在平面上的的長.【答案】(1) AE 5 ； ( 2) y x x2265 ；;32D處，當(dāng)D'E= 1時(shí)，求AE(3)

27、 AE的長為3 2或34 .【解析】解：(1) QEF/AD , DF /AE ,四邊形AEFD是平行四邊形,Q EA EF , 四邊形 AEFD是菱形,AE AD 5 ;(2)過點(diǎn)E作EMDC 于 M ,在 RtVEMF 中，MF.EF2EM2.x2 9 , DM HEDF DM MF ,65x32(3)聯(lián)結(jié)AF ,QEA EF , EAFAFE . Q DC /AB , DFA1D'必落在射線EF上，當(dāng)D'E 1時(shí)，有x y -或y3EFA AFE ,1x3解得：AE 3.2 或 AE 34 .【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及翻折的綜合應(yīng)用，一方面要注意定義域的確定,

28、另一方面要注意分類討論.【例16】 如圖，三角形紙片 ABC中，/ C=90°,Z A=30 ° , AB=10 .將紙片折疊使在AC邊上的點(diǎn)D處，折痕與 BC、AB分別交于點(diǎn)E、F .(1)設(shè)BE=x, DC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍;(2)當(dāng)厶ADF是等腰三角形時(shí)，求BE的長.【答案】詳見解析.【解析】解：(1)在RtVABC中,30,AB10 ,BC -AB 5 .2由折疊可知：DE BE x,CE在RtVCDE中，由勾股定理得:5y 10x 25 x 5 ;2(2)當(dāng) DF AD 時(shí)，貝U AFD A 30過點(diǎn)D作DH AF于H ,DF

29、AD 2DH , AH , 3DH ,25 / 25DHAF 2AH 2.3DH ,2 3DH 2DH 10,CD AC 2DH 5,25 10x 25, x 5 ;當(dāng) AD AF 時(shí)，貝U ADF 75Q EDF B 60°, CDE 45 , VCDE是等腰直角三角形,x 2 5 x ,解得：x 10 5 2 ；當(dāng)DF AF時(shí)，不符合題意.綜上所述，BE的長為5或10 5 2 .【總結(jié)】考查直角三角形性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用，注意分類討論思想的運(yùn)用.【例17】 如圖，已知： ABC中，/ ACB=90 °，/ A=30°, D是邊AC上不與點(diǎn) A、C 重合的任

30、意一點(diǎn)， DE丄AB,垂足為點(diǎn) E, M是BD的中點(diǎn).(1) 求證：CM=EM ;(2) 如果BC= 3 ,設(shè)AD=x, CM=y,求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上移動(dòng)時(shí)，/ MCE的大小是否發(fā)生變化的大??；如果發(fā)生變化，說明如何變化.【難度】【答案】1)詳見解析；(2) yX2 6x 122?如果不變，求出/ MCE(3)不變，MCE 30 .【解析】(1)證明：在RtVABC中， ACB 90 , M是BD的中點(diǎn),11CM -BD，同理 ME -BD ,22CM ME ;(2)解：在 RtVABC 中，Q ACB 90 , A 30 , BC 3 ,AB

31、2BC 2 3 ,由勾股定理，得：AC 3 .Q AD x, CD3 x.在 RtVBCD 中，222f2BCD 90 , BD BC CD , BD33 x ,QCM 1BD , CM y ,22x 3 ；(3) 不變.QM 是 RtVBCD 斜邊 BD 的中點(diǎn)， MB MC , MBC MCB ,CMDMBCMCB 2 MBC,同理EMD2 MBE . CMDEMD2 MBC 2 MBE2MBCMBE 2 ABC ,即CME2 ABC120 .QMC ME , MCE MEC 30 .【總結(jié)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，對(duì)于直角三角形的性質(zhì)與推論要靈活運(yùn)用.【例1

32、8】 一張三角形紙片 ABC,/ ACB=90°,/ A=30°, BC=6，沿斜邊 AB的中線CD把這張紙片剪成厶 AC1D1和厶BC2D2兩個(gè)三角形(如圖2),將厶AC1D1沿直線D2B(AB) 方向平移(點(diǎn)A, D1, D2, B始終在同一直線上)，當(dāng)點(diǎn)D1與點(diǎn)B重合時(shí)停止平移，在 平移的過程中，C1D1與BC2交于點(diǎn)E, AC1與C2D2、C2B分別交于點(diǎn)F、P .(1) 當(dāng)厶AC1D1平移到如圖3所示位置時(shí)，猜想 D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)設(shè)平移距離與x的函數(shù)關(guān)系式,【答案】詳見解析.【解析】解：(1) D1EQ C1D1 / /C2D2 ,

33、Q ACB 90 ,DCDA同理:BD1D1E .DB ,D1E D2F ；C1Q AD1BD2 , AD2 BD1,1625D1圖3B(2) 在 RtVABC 中，Q A 30 , BC 6, AB 12 ,即 ADi BD 2 Ci Di C? D26 .Q D2D1x ,D1E BD1 D2F AD26 x ,C2F C1E x .Q在VBC2D2中，C2到BD2的距離就是VABC的AB邊上的高為3,3 ,VBC2D2 的面積 1 6 3 3293 .設(shè)VBEDi的BDi邊上的高為60°, BESVBED1-21BD1 h29 3 3 3x Tx2在 RtVCzPF 中,Q F

34、PC290 ,C260°, CFxPC2 2，PF3xV，ySVBC2D2S/BED1SVC2FP1 x 3x2 2 2沁 X2 3 3x 08SVC2FP【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查結(jié)合圖形的平移與面積的結(jié)合,注意利用直角三角形的性質(zhì)求出相關(guān)線段長，從而求得三角形的面積.【例19】 已知 ABC中，AB=10 , BC=6, AC=8，點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在 D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直角的兩邊分別與邊 AC、BC交于E、F.(1)取運(yùn)動(dòng)過程中的某一瞬間， 畫出 ADE關(guān)于D點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，E的對(duì)稱點(diǎn)為E，試判斷BC與BE的位置關(guān)系，并說明理由;(2)設(shè)AE=x,

35、BF=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,【答案】(1) BE' BC ；( 2) y 25 4x(734【解析】解：(1)延長ED至E'，聯(lián)結(jié)BE'Q AB 10, BC 6, AC 8, C 90 .QD是AB中點(diǎn),VAED VBE'D S.A.S并寫出定義域.xA DBE ', Q C 90 ,A CBA90 ,DBE'CBA 90 ,BE'BC ;(2)聯(lián)結(jié)EF、E'F ,Q EDF90 , EDE'D ,FD垂直平分EE',EF E'F .Q AE x,BFCE ACx 8 x , CF 6EF2 CE2

36、CB2置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D .(1)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B'，設(shè) OB' =x,OC=y,試寫出y關(guān)于x的QVAED VBE'D S.AS , A ABE , DE DE ,BE/AC ,CBE90o.Q AEBE' x,2yx282 2x6 y ,y25 4x3 .當(dāng)y6時(shí)，解得:x-;當(dāng)y0時(shí)，解得：x2544故定義域?yàn)椋? x 25 .44【總結(jié)】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)，注意與勾股定理的綜合運(yùn)用.1 隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】已知一直角三角形紙片OAB，/

37、AOB=90°, OA=2, OB=4，將該紙片放在，放31 / 25函數(shù)解析式，并確定 y的取值范圍.3【答案】(1)C0，2 ;(2) y【解析】解:(1)聯(lián)結(jié)AC ,QOB設(shè)OC4，延CD折疊后使點(diǎn)a，貝U AC BC 4B與點(diǎn)A重合,BC AC在RtVACO中，由勾股定理得:224a 3, C 0,3 ;2 2(2)聯(lián)結(jié)B'CBCB'C 4 y ,Q延CD折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合,在RtVB'OC中，由勾股定理得：y2x24 yy 1x22 3 y 2 .8 2【總結(jié)】本題考查等腰三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定, 用，綜合性比較強(qiáng)，解題時(shí)要注意

38、進(jìn)行分析.勾股定理，折疊的性質(zhì)的綜合運(yùn)【習(xí)題2】在等邊 ABC中，AB=8，點(diǎn)D在邊BC上， ADE為等邊三角形. 且點(diǎn)E與點(diǎn)D在直線AC的兩側(cè)，過點(diǎn) E作EF / BC, EF與AB、AC分別相交于點(diǎn) F、G.(1)如圖，求證：四邊形 BCEF是平行四邊形;(2)設(shè)BD=x, FG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,(3)如果AD的長為7時(shí)，求線段FG的長.【難度】【答案】詳見解析.【解析】(1)證明：QVABC和VADE是等邊三角形,-MBADDACDACCAE60 ,BADCAE ,VBADVCAE S.A.S ,ACEABC60 .Q ACB60 ,ABCACBACE180 ,ABC BCE

39、 180 ,AB / /CE , Q EF / /BC ,四邊形BCEF是平行四邊形；(2)解:QV BAD VCAE ,ECBD .Q四邊形BCEF是平行四邊形，BF EC , BF BD x .Q FG /BC , VABC是等邊三角形，VAFG是等邊三角形，AF FG y .Q AB AF BF , x y 8 ,(3)解：過A作AM BC交BC于M ,可得M為BC的中點(diǎn)，即BMCM4,AM4.3, MD 4 xQ AD2 AM MD2 ,4824 x49 ,解得:為 3, X25 .當(dāng)x 3時(shí)，y 5 ;當(dāng)x5,y 3,故 FG 3 或 FG 5 .【總結(jié)】本題主要考查全等三角形的判定

40、與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意進(jìn)行分析.【習(xí)題3】如圖所示，已知：在正方形 ABCD中，點(diǎn)P是射線BC上的任意一點(diǎn)（點(diǎn) B與點(diǎn)C除外）聯(lián)接DP，分別過點(diǎn)C、A作直線DP的垂線，垂足為 E、F.點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，那么線段 AF、CE、EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 巧青證明你的結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，正方形的邊長為 并寫出函數(shù)的定義域；在的條件下，當(dāng)x=1時(shí).求EF的長【難度】【答案】（1） EF AFCE ；(2) y 4 x2 0x近；(3) EF 廳 1.【解析】解：（1） EFAFCE .Q AD DC , AFDDEC , ADFVADF VDCE ,DFCE , A

41、FDEAF CE EF ;（2）由（1）證明可知：DF CE ,AFQ CE x , AF y ,DE y .在 RtVCDE 中，CD2,x2y24 ,y/4x2 0 xJ2 ；DE .2,設(shè)CE=x, AF=y.求y與x的函數(shù)解析式DCE ,AB(3) 當(dāng) x 1 時(shí)，y 3, DE 3 .又Q DF CE 1 , EF DE DF ,EF 3 1 .考查學(xué)生解決實(shí)際問題的【總結(jié)】本題主要考查三角形全等的證明及勾股定理的綜合運(yùn)用, 能力.【習(xí)題4】已知：三角形紙片 ABC中，/ C=90 ° , AB=12 , BC=6 , B'是邊AC上一點(diǎn).將33 / 25三角形紙片

42、折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn)B '重合,(1)設(shè) BE=x, B' C=y,試建立并直接寫出x的取值范圍;(2)當(dāng)厶AFB '是直角三角形時(shí),【答案】(1) y 2 3x 9 3 x 6(2) x 4或 x 24 12.3 .折痕與BC、AB分別相交于E、y關(guān)于求出B與點(diǎn)B'重合,B【解析】解：(1) Q三角形紙片折疊，使點(diǎn)BE B'E ,B'Ex, CE362 3x 93 x6 ；90,AB 12 , BC6 ,A 30 ,FB'E90時(shí)，則AB'F60 ,60 ,B'EC30 ,B'C1 -B'E ,1 y -x

43、,221 -x,x 2412.3 ,Q3x 6, x24 12 3 ;2 90時(shí)，貝UEB'C30 ,BAFB'2 3x 9EB'CQ C60 .當(dāng) AB'F1EC -EB',6 x212x，x 4；綜上所述：x 4或x 24 12 3 .【總結(jié)】考查折疊的性質(zhì)，折疊前后兩圖形全等,即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等;還考查了直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用.35 / 25課后作業(yè)【作業(yè)1】如圖所示：長方形紙片 ABCD的邊AB=2 , BC=3，點(diǎn)M是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， (不與點(diǎn)C重合)，把這張長方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在M上，折痕交邊 AD與點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)

44、F.(1) 寫出圖中全等三角形；(2) 設(shè)CM=x, AE=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，寫出定義域；(3) 試判斷/ BEM能否可能等于90度?如可能，請(qǐng)求出此時(shí) CM的長；如不能，請(qǐng)說 明理由.【答案】詳見解析.【解析】解：(1)VBEFVMEF ;DM 2 x, DE 3 y .Q BE2ME，又 BEAE2AB2 ,ME2 2DE2 DM2>222y43 y2 x1 223yxx -0 x2 ；632(3)Q BEM 90>AEB18090DEMABEDEM ,Q BEME ,VAEBVDME ,1 2AEDM, y2 x,2 xx4x 9 ,6解得：X11 ,X213QC

45、Mx,CM1 .(2) Q CMx, AEy,90DEMDME ,【總結(jié)】本題主要考查折疊的性質(zhì)，折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，還 考查了直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用.【作業(yè)2】如圖，在菱形 ABCD中，AB = 4,/ B= 60°,點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), / PAQ = 60°, PQ交 射線CD于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為x, PQ= y.D(1) 求證： APQ是等邊三角形；(2) 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;(3) 如果PD丄AQ,求BP的值.【難度】Q AB AD, BD , VABF VADE ,AF AEQ PAQPAFFAQFAQQAEFAE60PAFQAE,VFAP VQAE, AQAP ,Q PAQ 60 ,VAPQ是