哈爾濱工業(yè)大學(xué)1993年量子力學(xué)試題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 1993年量子力學(xué)考研試題 一 .設(shè)是粒子數(shù)算符的本征函數(shù)，相應(yīng)之本征值為，算符和滿足對(duì)易關(guān)系。證明：（其中）和也是的本征函數(shù)其相應(yīng)的本征值分別為和。解：用粒子數(shù)算符作用到上，即 上式表明是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為。同樣，用粒子數(shù)算符作用到上，即 上式表明也是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為。 二. （類似2000年第二題）質(zhì)量為的粒子在一維勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)，若已知該粒子在此勢(shì)阱中有一個(gè)能量的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度。解：對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為 其中， 在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件 得到 于是有 此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于 故 ， 最后，得到勢(shì)阱

2、的寬度 三. （類似習(xí)題選講5.7）設(shè)作一維自由運(yùn)得粒子時(shí)處于 態(tài)上，求和時(shí)粒子動(dòng)量與動(dòng)能的平均值。解：由于動(dòng)量算符與動(dòng)能算符對(duì)易，它們有共同本征函數(shù) 而時(shí)的波函數(shù) 歸一化常數(shù)為 動(dòng)量的取值幾率為 ；動(dòng)量的平均值為 動(dòng)能的平均值為 因?yàn)?，?dòng)量算符合動(dòng)能算符皆與哈密頓算符對(duì)易，故它們都是守恒量，而守恒量的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變，時(shí)的結(jié)果與時(shí)完全一樣。 四. （見習(xí)題選講6.3）對(duì)于類氫離子的任何一個(gè)本征態(tài)，利用維里定理、費(fèi)曼-海爾曼定理計(jì)算與。 解：已知類氫離子的能量本征值為 （1）式中，為玻爾半徑。由維里定理知 （2）總能量 （3）所以，得到 （4） 類氫離子的哈密頓算符為 （5）將視為

3、參數(shù)，利用費(fèi)曼-海爾曼定理，得到 （6）由于， （7）所以， （8）將其代入（6）式，有 （9） 五. （類似1996年第四題）設(shè)兩個(gè)自旋為粒子構(gòu)成的體系，哈密頓量， 其中，為常數(shù)，與分別是粒子1和粒子2的自旋算符。已知時(shí)，粒子1的自旋沿軸的負(fù)方向，粒子2的自旋沿軸的正方向，求時(shí)測(cè)量粒子1的自旋處于軸負(fù)方向的幾率。解： 體系的哈密頓算符為 選擇耦合表象，由于，故四個(gè)基底為 ；在此基底之下，哈密頓算符是對(duì)角矩陣，即 可以直接寫出它的解為 ， ， ， ， 已知時(shí)，體系處于 因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故時(shí)刻的波函數(shù)為 粒子1處于軸負(fù)方向的幾率為 六 粒子在一維勢(shì)場中運(yùn)動(dòng)，非簡并能級(jí)為，如受到微擾的作用，求能量到二級(jí)修正，并與精確解比較。解：已知滿足的本征方程為 由 可知 第個(gè)能級(jí)的一級(jí)修正為 能量的二級(jí)修正為 利用 得到 近似到二級(jí)的解為 精確