概率統(tǒng)計第十五講

1、1 e-mail:e-mail:主頁主頁 23.3 協(xié)方差，相關系數(shù)協(xié)方差，相關系數(shù)一一.協(xié)方差定義與性質(zhì)協(xié)方差定義與性質(zhì) 1.協(xié)方差定義協(xié)方差定義 (P129)若若r.v. X的期望的期望E(X)和和Y的期的期望望E(Y)存在存在, 則稱則稱Cov(X, Y)=EX E(X)Y E(Y).為為X與與Y的的協(xié)方差協(xié)方差, 易見易見 Cov(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y). 當當Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0時，稱時，稱X X與與Y Y不相關。不相關。“X“X與與Y Y獨立獨立”和和“X X與與Y Y不相關不相關”有何關系？有何關系？3例例2 設設(X, Y)在在D=(X,

2、Y)：x2+y2 1上服從均勻上服從均勻分布，求證：分布，求證：X與與Y不相關，但不是相互獨立的。不相關，但不是相互獨立的。證證: othersyxyxf011),(22 11 1 101)(221111 dyxdxXExx 0)(221111 dyxydxXYExx 40)()()(),( YEXEXYEYXCovX與與Y不相關不相關.而而 othersxxdyxfxxX011121)(22112 othersyydyyfyyY011121)(22112 )()(),(yfxfyxfYX 故故,X與與Y不獨立不獨立.52.協(xié)方差性質(zhì)協(xié)方差性質(zhì) (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X);

3、 (2) Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0 (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中其中a, b為為 常數(shù)常數(shù)證證: Cov(aX, bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY)=abE(XY)-aE(X)bE(Y)=abE(XY)-E(X)E(Y)=abCov(X,Y)6 (4) Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);證證: Cov(X+Y，Z)= E(X+Y)Z-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) (5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov

4、(X, Y).證證: 由方差性質(zhì)由方差性質(zhì)(3)的證明過程有的證明過程有)()(2)(2)()()(YEXEXYEYDXDYXD ),(2YXCov注注:D(X-Y)=DX+(-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)7方差與協(xié)方差的定義方差與協(xié)方差的定義期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對比期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對比不相關與獨立不相關與獨立切比雪夫不等式切比雪夫不等式8期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對比期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對比期望期望方差方差協(xié)方差協(xié)方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y

5、)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)當當X與與Y獨立時獨立時E(XY)=E(X)E(Y)9EXEX: :設隨機變量設隨機變量X X B B（12,0.5),Y 12,0.5),Y N(0,1),N(0,1),Cov(X,Y)=-1,Cov(X,Y)=-1,求求V=4X+3Y+1V=4X+3Y+1與與W=-2X+4YW=-2X+4Y的方差與協(xié)方差的方差與協(xié)方差22)(12),(6),(16)(8)42,34(),(44),(16)(16)(4)(33),(24)(9)(16)(1)(, 3)(, 65

6、. 012)(: YDXYCovYXCovXDYXYXCovWVCovYXCovYDXDWDYXCovYDXDVDYDXDXE答答10二.相關系數(shù)相關系數(shù) 1. 定義定義 若若r.v. X，Y的方差和協(xié)方差均存在的方差和協(xié)方差均存在, 且且DX0,DY0，則，則DYDX)Y,Xcov(XY 稱為稱為X與與Y的的相關系數(shù)相關系數(shù). 注：注：若記若記DXXEXX)(* 稱為稱為X的標準化，易知的標準化，易知EX*=0，DX*=1.且且).(),cov(*YXEYXXY 112.相關系數(shù)的性質(zhì)相關系數(shù)的性質(zhì) (1) | XY| 1； (2) | XY|=1存在存在常數(shù)常數(shù)a, b 使使PY= aX+

7、b=1； (3) X與與Y不相關不相關 XY=0;1.設設(X,Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D:0 x1,0yx上的均勻分上的均勻分布布,求求X與與Y的相關系數(shù)的相關系數(shù)D1x=y othersDyxyxf0),(2),(解解12322)(010 xdyxdxXE312)(010 xydydxYE412)(010 xydyxdxXYE1(, )()() ( )36COV X YE XYE X E Y181942)(0102 xdydxxXD181912)(0210 xdyydxYD )()(),(YDXDYXCOVXY 21D113XYXYXYUXXYUX 求求）求求,),1 , 1(2,),1 ,

8、0()122 以上以上EXEX的結(jié)果說明了什么？的結(jié)果說明了什么？解解1)454)(,121)(,41)(,31)(,21)( YDXDXYEYEXE968. 0454121121 XY 2)0)(, 0)( XYEXE0 XY 14.),(),(3222121 XYNYX則則設設例例可見，若（可見，若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則）服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨獨立立的的充分必要條件充分必要條件是是X與與Y不相關不相關。154.4 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣1. K階原點矩階原點矩 Ak=E(Xk), k=1, 2, 而而E(|X|k)稱為稱為X的的K階絕對原點矩；階絕對原點矩；2. K階

9、中心矩階中心矩 Bk=EX-E(X)k, k=1, 2, 而而E|X-E(X)|k稱為稱為X的的K階絕對中心矩；階絕對中心矩；3. K+l階混合原點矩階混合原點矩 E(Xk Yl), k, l=0, 1, 2, ；4. K+l階混合中心矩階混合中心矩 EX E(X)kY E(Y)l, k, l=0, 1, 2, ；165. 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣1.定義定義 設設X1， , Xn為為n個個r.v., 記記cij=Cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, , n. 則稱由則稱由cij組成的矩陣為隨機變量組成的矩陣為隨機變量 X1， , Xn的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣C。即。即 nnnnnnnnijccccccccccC.)(212222111211P94 n維正態(tài)分布及性質(zhì)（看書！）維正態(tài)分布及性質(zhì)（看書?。?7設設(X,Y)(X,Y)服從服從N(1,0,3N(1,0,32 2,4,42 2,-0.5),-0.5)分布，分布，Z=X/3+Y/2Z=X/3+Y/21)1)求求Z Z的期望與方差的期望與方差; ;2)2)求求X X與與Z Z的相關系數(shù)的相關系數(shù); ;3)3