公平的評卷系統(tǒng)模型

1、公平的競賽評卷系統(tǒng)模型摘要本文針對數(shù)學(xué)建模競賽評卷系統(tǒng)進(jìn)行模型建立和求解.問題一：研究一種答卷編號加密和解密的數(shù)學(xué)公式方法（其中題號為明號）；通過碼制轉(zhuǎn)換和異或運(yùn)算進(jìn)行簡單易算、可隨意轉(zhuǎn)換且保密性良好的加密和解密方法。問題二：研究一種評閱答卷分配的數(shù)學(xué)公式方法。通過以滿意度最大為目標(biāo)函數(shù)建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，把所有評委分組，分別為7,8,5,5）,再引入隸屬度函數(shù)，以廣泛度最大為目標(biāo)函數(shù)，回避本校答卷和滿足某些特殊要求為約束條件建立優(yōu)化模型，給各題組的評委具體分配答卷。問題三：研究評分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法。通過運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理分析了評委的類型一客觀公平型、一致性偏高型、一致性偏低型、大幅

2、度波動型和作弊型。問題四：研究最終的分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算公式，該公式要處理那些可能出現(xiàn)的“不公平”，及尺度偏差。通過對各類型的評委的評分作出合理的量化，并以這些量作為權(quán)值對不合m理分?jǐn)?shù)進(jìn)行最終調(diào)整，最終調(diào)整公式為：Sj=£WiSj.i1綜上所述，利用本文所建立的各種模型，可以有效的對試卷編號進(jìn)行加密，合理的對試卷分配，根據(jù)評委的公正性和每份試卷打分的置信區(qū)間可以給出最終分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式，反應(yīng)了試卷的真實(shí)水平。關(guān)鍵詞：加密系統(tǒng)，滿意度，廣泛度一、問題提出（1）數(shù)學(xué)建模競賽吸引了眾多的大學(xué)生、研究生甚至中學(xué)生的參與，越來越多的人關(guān)心競賽評卷的公平性.現(xiàn)今大多數(shù)的評卷工作是這樣進(jìn)行的：先將答卷編成密

3、號，評委由各參賽學(xué)校（20-50所）派出，按不同的題目分成幾個題組，每個題組由M個評委組成，評閱N份答卷，每份答卷經(jīng)L個評委評閱，評委對每份答卷給出等級分（A4；A,A-B+,B,B-C+,C,C-D）,如果L個評委給出的分?jǐn)?shù)基本一致，就給出這份答卷的平均分，否則需討論以達(dá)成一致（其中M=5-10,N=60-200,L=3-5）.假定有35所學(xué)校298個參賽隊(duì)參賽，數(shù)據(jù)見附錄1.其中：數(shù)字前兩位代表學(xué)校，甲組選做A,B題；乙組選做C,D題；25名評委所屬的學(xué)校編號為：1-17,20,21,22,24,26,28,29,30.每份試卷經(jīng)四位評委評閱，編號為15,22的只容許評C,D題，編號為26

4、的只容許評A,B題，編號為1,4,6,12,16的評委要求評A題，編號為2,5,7,10的評委要求評B題；編號為24的評委要求評C題，編號為29的評委要求評D題.其余按所在學(xué)校的甲、乙組別及個人的要求安排。二、模型假設(shè)與符號說明（一）模型假設(shè)1假設(shè)除了問題中某些評委提出的要求，其他評委無明確要求；2假設(shè)每個評委的評卷速度和閱卷量相近；3假設(shè)每個評委在評卷過程中不會交流評卷業(yè)務(wù)以外的試卷信息，獨(dú)立地評出每份答卷的分?jǐn)?shù)，對于評閱同一份答卷的評委不會相互交流各自所評的分?jǐn)?shù).（二）符號說明1 .答卷的加密與解密B明文空間，它是全體明文的集合；C密文空間，它是全體密文的集合；K密鑰空間，密鑰是加密算法中

5、的可變參數(shù)；E加密算法，它是一族由B到C的加密變換；D解密算法，它是一族由C到B的加密變換.2 .答卷的分配a,b,c,d：分配到題組A、B>GD的評委數(shù)目;kXij:在第k個題組中，第i個評委評閱第j所學(xué)校答卷的份數(shù);U1在第k個題組中，第j所學(xué)校的答卷數(shù)；入：第k個題組的總答卷數(shù)；叱：在第k個題組中，第i個評委評閱答卷的總份數(shù)；mk:第k個題組的評委數(shù)；nk:第卜個題組的參賽學(xué)校數(shù).3 .分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算sj:第i個評委評閱第j份答卷的分?jǐn)?shù);4 :第j份答卷的平均分；Sj:第j份答卷的最終分?jǐn)?shù)；wi:第i個評委的類型系數(shù).5 .統(tǒng)計(jì)量說明1）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)V-選擇標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)考察平均分的代表性

6、.標(biāo)準(zhǔn)差仃是反映一組數(shù)據(jù)分布的離散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以絕對值表示.標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值，用百分比表示，即：(1)VX比較每份答卷的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù).若答卷A比答卷B的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)大，說明評委對答卷A的意見差異更大，即使答卷A和B的平均分相同，答卷A的評分問題上存在較大爭議，應(yīng)當(dāng)慎重考慮，需要進(jìn)一步考察.2）離差絕對值之和Sa將某評委對每份答卷的評分，分別減去該答卷的平均分，即得到該評委對該答卷的離差，將全部離差的絕對值累加求和，得出該評委的離差絕對值之和，即：(2)S；=£Xj-Xj上式Xij表示第i個評委對第j份答卷的評分，為表示第j份答卷的平均分.離差絕對值之和的大小反映各個評

7、委對測評對象整體水平的看法，離差絕對值之和與測評對象整體水平成負(fù)相關(guān)，離差絕對值之和越大，測評對象整體水平越不整齊，內(nèi)部差異即離散程度則越大.3)離差代數(shù)和0將各個評委對每一份答卷的評分，分別減去該答卷的平均分，即得到該評委對該答卷的離差，將全部離差累加求和，即得到該評委的離差代數(shù)和，離差代數(shù)和沒有直接意義，必須與離差絕對值之和結(jié)合起來考察，才有實(shí)際意義.4)絕代比rad絕代比是每個評委的離差絕對值之和與其離差代數(shù)和的比值，即:isarad二£(3)Sdrad有以下三種情況:1",這是因?yàn)槊恳浑x差均取正值或負(fù)值，其代數(shù)和不存在正負(fù)抵消現(xiàn)象，正好與離差絕對值之和一致，這種情況

8、只有該評委的評分全部低于或高于平均分時才出現(xiàn)；/的比值很高，也就是說，離差絕對值之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于離差代數(shù)和的絕對值，這種情況，往往因?yàn)樵撛u委的評分往往遠(yuǎn)離總體平均分，同時，具體評分圍繞平均分上下波動，因此，離差正負(fù)相抵后所得的代數(shù)和，其數(shù)值較小，兩相比較，rad的數(shù)值較大;rad比1稍大，是因?yàn)樵撛u委所評分?jǐn)?shù)在平均分?jǐn)?shù)線上下小幅波動.三、模型分析、建立、求解1.模型分析：(1)對加密系統(tǒng)的分析，通過對編號的碼制轉(zhuǎn)換便于我們對位進(jìn)行異或邏輯運(yùn)算，從而使加密過程更加隱蔽、易行；(2)把所有答卷編號進(jìn)行矩陣排列，再按列操作，可以簡化加密工作量；(3)通過要求評委們各自秘密發(fā)送3-5個字母給公證人，再由公

9、證人順序或逆序排列(只有所有評委和公證人的“密鑰”都被知道了，已知道加密算法的人才能破譯該系統(tǒng))，從而大大增加了破譯的難度，提高了加密系統(tǒng)的保密性能；(4)異或邏輯運(yùn)算是一種可逆運(yùn)算，簡單易行，不僅隱蔽了原本學(xué)校和參賽的信息，同時又保證了針對每個不同的序號能得到一個唯一與其對應(yīng)的16位二進(jìn)制序列,實(shí)現(xiàn)對于答卷分配的分析，我們先提出滿意度函數(shù)，再引入模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)來求解，較好地滿足了回避本校答卷和評委廣泛度盡量大的要求；運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，根據(jù)不同的評分特點(diǎn)把評委分成不同類型，再用層次分析法來檢驗(yàn)評委的公平性，使得問題的描述比較清晰；運(yùn)用加權(quán)的方法調(diào)整分?jǐn)?shù)，在實(shí)際操作上具有一定的意義.2.

10、模型建立：1）評委分組：依題意，把25個評委分配到A、B、C、D四個題組，必須滿足以下要求：a.每個評委只能分配到一個題組中；b.為了回避本校答卷，分組過程中每個評委所在的題組需要評閱的題目是該評委所在學(xué)校的參賽隊(duì)選擇最少的題目；c.嚴(yán)格滿足特殊要求中某些評委只容許評閱的題組的要求；d.在滿足公平原則和以上3項(xiàng)原則前提下，盡量滿足特殊要求中某些評委要求評閱的題組的要求；e.在滿足以上原則的前提下，使每個評委評閱的答卷盡可能廣泛；f.對于沒有提出要求或題目沒有明確限制評閱題組的評委，在滿足以上幾項(xiàng)原則前提下，我們對這些評委進(jìn)行隨機(jī)分配.基于以上原則，我們采用數(shù)學(xué)規(guī)劃中的整數(shù)規(guī)劃，引入滿意度的概念

11、，并用決策變量ykl表示對其量化：用k=1,2,3,4表示四個題組A、B、C、D,用1=12，25表示25個評委1-17、20、21、22、24、26、28、29、30,ykl表示第1個評委被分到第k個題組的滿意度大小.滿意度定義為：a）當(dāng)某個評委的“只容許”條件被滿足時，ykl=2,否則為-2;b）當(dāng)某個評委的“要求”條件被滿足時，ykl=1,否則為-1;c）當(dāng)沒有特殊要求的評委被分到任意題組時，其滿意度為0.我們可以用Y表示由ykl組成的矩陣，則Y可寫成以下形式：1-101-11-100-10100-21000-2-120-10- 110-11-110010-100-2-1000-2-12

12、0-10Y=- 1-10-1-1-1-100-10-1002-100021-20-10- 1-10-1-1-1-100-10-1002-10002-1-2010_所以對于矩陣的每一列4個元素只能選取其中(4)由于每個評委只能分配到一個題組，一個，于是我們以最大滿意度為目標(biāo)函數(shù):425'max-yklkdl=1其中，ykl是基于Y矩陣的得到的一系列矩陣中的最優(yōu)矩陣Y的元素.由題目可知，每個題組至少要有5個評委評閱答卷，同時從表3.1可以看到選擇題組A、B的參賽隊(duì)要比選擇題組C、D的多，為了保證閱卷的公平性，分配到題組A、B的評委數(shù)目應(yīng)該比C、D的多，不妨假設(shè)題組A和B的評委數(shù)至少分別比題

13、組C和D的多1,于是有以下模型（I）:425一一,max.二二yk|k4l4'a+b+c+d=25a+b>12s.t.c.51d泌（I）我們運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Lingo9.0來求解以上的數(shù)學(xué)模型，得到下面的分配結(jié)果（見表3.1）:表3.1評委答卷分配是組加該題組評委數(shù)目該題組評委所在學(xué)校編號A71,4,6,12,16,28,30B82,5,7,10,17,20,21,26C511,13,14,15,24D53,8,9,22,292）答卷分配：在評閱過程中，每份答卷必須經(jīng)四位不同的評委評閱，同時要求評委回避本校答卷，滿足某些特殊要求，在此基礎(chǔ)上盡可能使評委評閱的答卷廣泛，也就是說，該評委

14、所評閱的答卷含不同學(xué)校數(shù)目盡量多.在上一步中已經(jīng)討論了把25名評委分到四個題組的問題，現(xiàn)在我們以題組A為例,建立模型求解出題組A評委的具體分配情況，其他題組可以類似地求解.題組A的評委數(shù)為7,分別是1、4、6、12、16、28、30,我們重新對這些評委編號為1,2,.7,選做題組A的學(xué)校編號為1,2,.,19.為了使評委評閱答卷盡可能廣泛，我們引入模糊數(shù)學(xué)的柯西型隸屬度函數(shù)，給出各評委每評閱一份答卷的值一一廣泛度：fXjxij卜1+(5)其中廣泛度“Xij）是Xij的減函數(shù)，表示當(dāng)?shù)趇個評委評閱的答卷越廣泛，即所含學(xué)校越多，Xij越小，則廣泛度f（Xj）越大，（見表3.2）:表3.2Xu函數(shù)表

15、xij123456f(Xj)0.88320.86210.83510.80000.75380.6923-6-xij789101112f(xij)0.60980.50000.36000.20000.05880于是，我們以廣泛度最大為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型（R）:719max二二fXijXij1 4j4-7£Xj=4Uj,j=1,，19i3719EExij=495s.t.，ijm19£Xj=bi,i=1,，7j4小45,65（n）在模型（R）中，第一約束條件表示每所學(xué)校的每份答卷都有4位評委評閱；第.約束條件表示所有的答卷都有4位評委評閱；第三、四約束條件表示每個評委評閱一定量的答

16、卷，且答卷量相當(dāng).推廣到其他題組，把模型（R）寫成模型（田）：mknkmax二二fxikX、k=1,2,3,4iajw“mk工xij=4Uj,j=1,nkImknkxAkS.t.'imj三nkZxij=bi,i-1,mkj=1,kkk1(m)bibl,buJkk其中，b和E分別表示第k個題組評委評閱答卷數(shù)的下界和上界.3.模型求解：1）答卷的加密一個密碼系統(tǒng)，通常簡稱為密碼體制，由五部分組成，可用數(shù)學(xué)符號描述如下1:s=b,c,k,e,d（1）對于每一個確定的密鑰，加密算法將確定一個具體的加密變換，解密算法將確定一個具體的解密變換，而且解密變換就是加密變換的逆變換.對于明文空間B中的每

17、一個明文，加密算法E在密鑰Ke的控制下將明文B加密成密文C:(5)C=EB,Ke于是，我們對加密算法E按以下步驟對答卷編號進(jìn)行加密：Stepl進(jìn)行碼制轉(zhuǎn)換；Step2確定密鑰；Step3明文與密鑰進(jìn)行異或運(yùn)算；Step4把結(jié)果轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制；Step5添加題組標(biāo)示，即為密文.為了更好地理解該算法，我們選取了一個編號（1209B題）來簡單描述：Stepl把1209的每個數(shù)字轉(zhuǎn)換為四位二進(jìn)制，即0001001000001001;Step2隨機(jī)選取一個3-5個字母的英文單詞，如num,把每一個字母轉(zhuǎn)化為ASCII碼，即110117109再把ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，即11010010000010000

18、001111010,1取前16位，即1101001000001000Step3按位進(jìn)行異或運(yùn)算，即用密鑰K=1101001000001000與Step1得到的二進(jìn)制序列0001001000001001異或,得到序列1100000000000001Step4把新得到的序列轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，即五位數(shù)字49153;Step5在49153的最高位前添加2,即249153,代表該參賽隊(duì)是B題組的（數(shù)字1、2、3、4分別代表題組A、B、C、D）.故：編號1209B題的密號為249153.為了減少工作量和提高加密系統(tǒng)的保密性，我們可將所有的參賽隊(duì)編號按先后順序先自上而下、后從左到右地排列成nxm的矩陣；按每一列

19、逐列進(jìn)行整體加密；每一個評委分別秘密地發(fā)給公證人（注：該公證人不參與評卷工作，只負(fù)責(zé)對答卷加密、解密和分配答卷的工作.）3-5個字母的英文單詞，公證人按順序或逆序把每一個字母轉(zhuǎn)化為ASCII碼，再把各ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，取一定的位數(shù)，此位數(shù)取決于每一列的編號轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后的全體比特數(shù).這樣，就可以簡化了Step2隨機(jī)選取密鑰的工作量，同時不會降低其保密性能.而解密算法D在密鑰Kd的控制下將密文C解密出同一明文B：M=D（C,Kd）=D（E（B,Ke）（）如果一個密碼體制的Ke=Kd,則成為單密鑰密碼體制或?qū)ΨQ密碼體制，否則成為雙密鑰密碼體制.我們在本文中采用單密鑰密碼體制，即Ke=Kd,

20、對答卷編號進(jìn)行加密和解密.針對本題，我們加密的目的是把各參賽隊(duì)的序號反映出來的學(xué)校信息以及每個參賽學(xué)校不同隊(duì)伍的組號信息進(jìn)行隱藏，即對答卷編號隱藏，而各答卷編號（即題號）是明號.因此可以得出以下結(jié)論：明文空間B為各參賽隊(duì)的序號，密文空間C為我們對明文空間B進(jìn)行加密后的號碼.2）答卷的解密對密號進(jìn)行解密，實(shí)際上是對加密算法的逆運(yùn)算，即D=E.我們對解密算法D按以下步驟對密號進(jìn)行解密：Stepl評委們公開各人秘密發(fā)給公證人的字母，公證人公開其按順序還是逆序排列評委們的字母；Step2把所有字母轉(zhuǎn)換為ASCII碼，再把各ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，取一定的位數(shù)，此位數(shù)取決于每一列的編號轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后的

21、全體比特數(shù)；Step3取密號的后五位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，得到的結(jié)果與密鑰K進(jìn)行異或運(yùn)算；Step4所得結(jié)果每四位二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成一位十進(jìn)制，按順序逐個轉(zhuǎn)換，得到的結(jié)果每四位十進(jìn)制便是明號，即答卷的編號.3）數(shù)據(jù)的處理在答卷數(shù)量不至于太多同時參賽學(xué)校不至于太少的情況下，我們要求每個評委來自不同學(xué)校，以示其公平性.而本問題中要求，每個題組的M個評委來自不同學(xué)校，則我們不需要考慮某學(xué)校參賽隊(duì)數(shù)目與來自該校的評委數(shù)比例關(guān)系的公平性問題.對于附錄給出的數(shù)據(jù)，我們經(jīng)統(tǒng)計(jì)可得以下的信息：35所學(xué)校298個參賽隊(duì)，各參賽隊(duì)選擇題組分別為A題95個、B題107個、C題50個、D題46個（見下表1）.25名評委分別來自不

22、同學(xué)校，評委所屬的學(xué)校編號分別為：1-17、20、21、22、24、26、28、29、30.對于評委評閱答卷，還有些特殊要求，如：編號為15、22的只容許評C、D題，編號為26的只容許評A、B題，編號為1、4、6、12、16的評委要求評A題，編號為2、5、7、10的評委要求評B題；編號為24的評委要求評C題，編號為29的評委要求評D題（見表3.3）.表3.3參賽學(xué)校與組隊(duì)情況學(xué)校代碼123456789101112131415161718誠竽校艮獨(dú)該號校上電該學(xué)校C題該學(xué)挪題134367667644475225217434445134666g635262222總計(jì)3086101510112010

23、1010101515577_8_竽校代碼1920212223242526272829303132333435總計(jì),譙學(xué)校A款該學(xué)校E1題該空校題該學(xué)校D題213273344334231211463224334311119S1075046總計(jì)3781O576S6$8542321298表3.4評委評閱答卷的特殊要求評委集號1234567$10111213學(xué)校代號只容許評閱要求評閱12345678910111213BABABBA評委算號14251171819202122232425學(xué)校將號只容許評閱熨求建詫1415161720212224置282g30C.DQDJLBACD4）評委的公平性評價在評卷

24、過程中，不可避免地會出現(xiàn)評分一致偏高或偏低的情況，也有可能出現(xiàn)某些評委評分不公正的現(xiàn)象.于是，給出一種評分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法，是非常必要的.本文運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，引入幾個統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)各評委的評分特點(diǎn)在這些統(tǒng)計(jì)量上表現(xiàn)出來的不同特征，對不同特點(diǎn)的評委進(jìn)行分類，從而實(shí)現(xiàn)評分一致性或公正性的檢驗(yàn).4.1評分特點(diǎn)的分類從經(jīng)驗(yàn)角度看，觀察評委的評分線與平均分線的關(guān)系，實(shí)際上有這樣幾種評委的評分傾向：1）客觀公平型：這種評委的評分線圍繞平均分線做小幅波動.他們試圖按照客觀標(biāo)準(zhǔn)掌握評分標(biāo)準(zhǔn)，保持客觀公允態(tài)度，謹(jǐn)慎小心，離差絕對值較小，即使在平均分線上下波動，但起伏不大，其離差絕對值之和與離差代數(shù)和的比

25、值雖大與1,但比較接近1,或者比值在開區(qū)間（1,2）里.從經(jīng)驗(yàn)角度看，這類評委的評分水平比較高，主觀傾向與客觀實(shí)際相接近，是比較理想的評委.T一平均分公平性圖1公平型評委評分曲線圖2） 一致性偏高型：評委的評分線始終高于全體評委打分確定的平均分線，與平均-10-分線呈近似平行的關(guān)系.這種評委是一種帶有主觀色彩的“公正”評委，有一個穩(wěn)定的主觀傾向在理解和掌握評分標(biāo)準(zhǔn)，堅(jiān)持按偏松的傾向打分,T-平均分偏高型圖2偏高型評委評分曲線圖3） 一致性偏低型：評委的評分線始終低于全體評委打分確定的平均分線，與平均分線呈近似平行的關(guān)系.與一致性偏高型評委相似，堅(jiān)持從嚴(yán)的傾向打分,T一平均分-一偏低型圖3偏低型

26、評委評分曲線圖-11-4）大幅度波動型：這種類型的評分其離差代數(shù)值的方差較大，離差絕對值方差較小.離差絕對值之和較大，離差代數(shù)和較小，喘的絕對值較大且符號不定.5）作弊型：這種評委的評分線與平均分線的關(guān)系有明顯的不規(guī)則性形態(tài).這里最常見的情況是，該評委給出的大多數(shù)對象的分?jǐn)?shù)與平均分線呈一有規(guī)律的吻合，但是在少數(shù)個別分?jǐn)?shù)上出現(xiàn)明顯的跳躍，遠(yuǎn)離平均分線.似乎在有意壓低其他大多數(shù)測評對象的分?jǐn)?shù)，而故意抬高自己看好或是有特殊關(guān)系的個別測評對象的分?jǐn)?shù).-12-4. 2檢驗(yàn)方法采用層次分析法，其檢驗(yàn)步驟如下圖:圖6層次分析法其中，Dd表示第i個評委的離差代數(shù)值的方差，D；表示第i個評委的離差絕對值的方差.

27、首先計(jì)算全部評委的離差代數(shù)值的方差，將超過20的視為不公平型，將低于20的視為公平型.其次，對于不公平型計(jì)算離差絕對值的方差，以15為門限將其分為大幅波動型和作弊型.同時，對于公平型首先利用離差絕對值之和將其分為評分一致型和客觀公正型，劃分的標(biāo)準(zhǔn)以該評委評閱試卷的份數(shù)乘以5作為區(qū)分大小的臨界值.最后對于評分一致性再計(jì)算點(diǎn)，通過判斷其符號將其分為一致性偏高和一致性偏低.這樣就將評委分為五類.5）分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算1 “不公平”及尺度偏差的處理在分?jǐn)?shù)調(diào)整中，我們要處理那些可能出現(xiàn)的“不公平”及尺度偏差.由于每份答卷只由四名評委評閱，若使用除去最高分和最低分后求平均分的方法，就只剩下2名評委，再求平均分就

28、沒有普遍意義了.從第三問中，我們已經(jīng)把評委分成不同特點(diǎn)的類型：客觀公平型、一致性偏高型、一致性偏低型和作弊型.根據(jù)不同的類型，分別把評委的分?jǐn)?shù)乘以該類型的權(quán)系數(shù)，再累加求平均.1）客觀公平型：這種類型的評委評分比較公正，權(quán)系數(shù)可以認(rèn)為是1.2 ）一致性偏高（偏低）型：-13-n(7)'、Sjj=1wi、“Sijj1nn'Sij'、Sj其中，j。表示第i個評委評閱的全部n份答卷的總分，7表示n份答卷平均分的總分.該權(quán)值表示了一個相對合理的分?jǐn)?shù)占該評委所給分?jǐn)?shù)的比例.3）大幅度波動型：將大幅度波動型評委所評的成績分為大幅偏高和大幅偏低兩種，分別按照（9）所給的權(quán)系數(shù)公式進(jìn)行

29、折算.對于這類評委所評成績高（或低）出平均分兩個等級分以上的試卷認(rèn)為此時的成績合理性較低，取消該評委對此份試卷的評分.4）作弊型：評委如在某些試卷上出現(xiàn)作弊行為則取消該評委對該張?jiān)嚲淼脑u分，以其他三個評委所評的分?jǐn)?shù)作為有效成績進(jìn)行下一步處理.2最終分?jǐn)?shù)調(diào)整公式綜上所述，我們給出的最終分?jǐn)?shù)調(diào)整公式為：mSj=£WiSj（8）id其中，m表示第J份答卷評委最終評出的有效分?jǐn)?shù)時評委的人數(shù)，即去除被取消成績的評委人數(shù).4）答卷分配經(jīng)數(shù)學(xué)軟件Lingo9.0的編程求解（程序見附錄2）,我們得到以下的答卷分配結(jié)果（見表3.5,表3.6.表3.7.表3.8）:表3.5A題組的答卷分配情況編號評委編

30、匕123456789101112131415161718191；。2I2I5454433I2I3I5I3114224921044444232431231161031340344323431131112I10I3I2I4443432I2I0I4I31121116821444443232422031128722344343223431231130I8I2I3I5433442I2I3I3；311211表3.6B題組的答卷分配情況-14-編號評委編123456789101112131415161718192：8:033246231313131313230582220237243343231307932

31、222062433432313010:913112224720:3:34r31213117922222362333432303020821132272333432213121；812；112222724；3r34二312131269212222623335312131表3.7C題組的答卷分配情況編號評委編;、514202122232425262728293031323334351122325233322322021113122253333223231111142021633433231212111512325233323422111024222172034333131201表3.8D題組的答卷

32、分配情況編號評委編51420212223242526272829303132333432135314232243010181234323132243101192144323232242111022123601323334211112922353231433021111其中，A題組的評委每人閱卷54,551份，B題組的評委每人閱卷53,541份，C題組的評委每人閱卷40份，D題組的評委每人閱卷36,371份.四、結(jié)果評價對模型的最終結(jié)果進(jìn)行了預(yù)期估算和實(shí)際模型檢驗(yàn)，我們以本班同學(xué)模擬參賽隊(duì)并以另一部分作為評委，按照本模型給出的方法進(jìn)行求解，其結(jié)果符合預(yù)期期望并且符合計(jì)算結(jié)果，因此其結(jié)果是可靠的。

33、五、模型檢驗(yàn)1）對于問題一，由加密表得知，不同的明文經(jīng)加密后產(chǎn)生不同的密文，并且經(jīng)過解密-15-后得到的明文都與原明文相同，合理。達(dá)到了題目要求的簡單易算，可隨意變換，保密性好的要求。2）從試卷的分配表中，我們實(shí)現(xiàn)了題目中的各項(xiàng)制約，包括評委不評本校試卷和評閱他所對應(yīng)的題目的要求3）由matlab作圖可分析得，用此模型求解符合實(shí)際情況。六、模型評價1）對于問題1提出的加密系統(tǒng)模型，實(shí)質(zhì)上是對明文進(jìn)行碼制轉(zhuǎn)換和異或邏輯運(yùn)算，簡單易行，可隨意變換且保密性能好；2）對于答卷分配，我們先提出滿意度函數(shù)，再引入模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)來求解，較好地滿足了回避本校答卷和評委廣泛度盡量大的要求；3）運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

34、的原理，根據(jù)不同的評分特點(diǎn)把評委分成不同類型，再用層次分析法來檢驗(yàn)評委的公平性，使得問題的描述比較清晰；4）運(yùn)用加權(quán)的方法調(diào)整分?jǐn)?shù)，在實(shí)際操作上具有一定的意義.七、推廣與應(yīng)用結(jié)合實(shí)際情況，該模型可作為比賽時的評分規(guī)則，依照該模型的公平性原則進(jìn)行統(tǒng)計(jì)評分，可保證比賽的公平性。參考文獻(xiàn)1張煥國，劉玉珍，密碼學(xué)引論M,武漢：武漢大學(xué)出版社，2003.102美D.E.R.丹寧，密碼學(xué)與數(shù)據(jù)安全M,北京：科學(xué)出版社，1991.113韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用M,北京：高等教育出版社，2005.64謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGCa件M,北京：清華大學(xué)出版社，2005.75段華洽，評委打分

35、的真實(shí)有效性問題的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，-16-附錄附錄1XX賽區(qū)參賽情況表XX賽區(qū)參賽情況表序號選題序號選題序號選題序號選題序號選題序號選題序號選題序號選題序號選題序號選題0101A0201A0507A0801A1001B1301A1501A2001C2401C2804C0102B0202B0508A0802B1002A1302A1502B2002C2402D2805C0103B0203A0509B0803B1003B1303A1503B2003D2403C2806D0104A0204B0510B0804A1004A1304A1504A2004D2404D2901C0105A0205B0511A0805

36、B1005A1305B1505B2005D2405D2902D0106B0206B0512C0806B1006B1306B1601B2006C2406D2903C0107B0207A0513C0807B1007B1307A1602B2007D2407C2904D0108A0208A0514D0808B1008A1308B1603B2101C2501C2905D0109B0301A0515D0809A1009B1309B1604A2102D2502D2906D0110B0302B0601B0810A1010B1310B1605A2103D2503C2907C0111A0303A0602A0811

37、B1101B1311B1606B2104C2504C2908C0112B0304B0603B0812B1102B1312A1607B2105D2505D3001D0113A0305A0604A0813A1103A1313A1701A2106D2506C3002C0114B0306B0605B0814A1104A1314B1702A2107D2601C3003C0115A0401A0606A0815B1105B1315B1703A2108D2602D3004D0116B0402B0607B0816B1106B1401A1704A2201C2603D3005D0117A0403A0608A0817

38、A1107A1402A1708B2202C2604D3101C0118A0404A0609A0818B1108A1403B1709B2203C2605D3102C0119B0405A0610A0819B1109B1404B1710A2204D2606C3103C0120B0406B0701B0820B1110B1405A1801B2205D2607C3104D0121A0407B0702B0901B1201A1406B1802B2206C2608C3201C0122B0408A0703A0902A1202B1407B1803B2207C2701D3202D0123B0409B0704B0903

39、A1203B1408B1804B2208C2702C3301C0124B0410A0705A0904B1204B1409B1805A2209D2703D3302D0125B0501B0706A0905B1205B1410A1806A2210C2704C3303C0126A0502A0707A0906A1206A1411A1807B2301D2705D3401C0127A0503B0708B0907A1207A1412D1808B2302C2706C3402D0128B0504A0709B0908A1208B1413C1901A2303D2801C3501C0129B0505A0710A0909

40、A1209B1414C1902B2304C2802D0130A0506A0711A0910B1210A1415D1903A2305C2803D-17-附錄2lingo程序代碼model:sets:S1/1.7/:;s2/1.19/:u;link(s1,s2):x;endsetsdata:U=13436766764447522522;enddata(-1);max=sum(link(i,j):x(i,j)*(1+(x(i,j)-12)/4)A(-2)Ffor(s2(j):sum(s1(i):x(i,j)=4*u(j);sum(link(i,j):x(i,j)=380;for(link(i,j):

41、gin(x(i,j);end-18-附錄3matlab作圖程序代碼%(plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,3);holdon;plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,5);holdon;plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,7);holdon;%JS=;JDataEvg=;JSEvg=zeros(7);JSCount=zeros(7);fori=1:length(JData2)cnt=JData2(i,1);jsarr=JData2(i,:);JDataEvg(i)=(jsarr(3)+jsarr(3)+jsarr(3)/3.0;JS(jsarr(