第三章89剛體力學(xué)

1、第三章第三章剛剛 體體 力力 學(xué)學(xué)導(dǎo)讀導(dǎo)讀 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)描述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)描述 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)加速度定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)加速度 歐勒動(dòng)力學(xué)方程歐勒動(dòng)力學(xué)方程3.8 剛體繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體內(nèi)只有一點(diǎn)始終不動(dòng)剛體內(nèi)只有一點(diǎn)始終不動(dòng). 圓盤繞軸圓盤繞軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), 該軸固結(jié)在內(nèi)該軸固結(jié)在內(nèi)懸架懸架, 內(nèi)懸架繞固結(jié)于外懸架的內(nèi)懸架繞固結(jié)于外懸架的ON軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng), 外懸架又繞軸外懸架又繞軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng). 三軸交點(diǎn)三軸交點(diǎn)O始終不動(dòng)的始終不動(dòng)的.rtrvddOrRP 剛體繞固定點(diǎn)剛體繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則體內(nèi)任一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則體內(nèi)任一點(diǎn)P 的線加速度為的線加速度為

2、轉(zhuǎn)動(dòng)加速度轉(zhuǎn)動(dòng)加速度rrrtrrttva2dd dddd向軸加速度向軸加速度剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí), 剛體內(nèi)任一點(diǎn)剛體內(nèi)任一點(diǎn)P的速度及加速度為的速度及加速度為 rvvadd dd2rrrtarrtaaAA例例1 當(dāng)飛機(jī)在空中以定值速度當(dāng)飛機(jī)在空中以定值速度V沿半徑為沿半徑為R的水平圓形軌的水平圓形軌道道C轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)彎時(shí), 當(dāng)螺旋漿尖端當(dāng)螺旋漿尖端B與中心與中心A的聯(lián)線和鉛垂線成的聯(lián)線和鉛垂線成 角時(shí)角時(shí), 求求B點(diǎn)的速度及加速度點(diǎn)的速度及加速度. 已知螺旋槳的長度已知螺旋槳的長度AB=l, 螺螺旋槳自身旋轉(zhuǎn)的角速度為旋槳自身旋轉(zhuǎn)的角速度為 1.解解: 取螺旋槳的中心取螺旋槳的中心A為

3、動(dòng)坐標(biāo)系原為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)點(diǎn), 其單位矢量如圖其單位矢量如圖, 則當(dāng)飛機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)則當(dāng)飛機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí), 整個(gè)飛機(jī)繞整個(gè)飛機(jī)繞 k 轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 0=V/R, 故螺旋漿的合成角速度為故螺旋漿的合成角速度為kRVj1又當(dāng)飛機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)，又當(dāng)飛機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)，A描繪一半徑為描繪一半徑為R的水平圓周的水平圓周, 故故A的速度為的速度為V, 方向沿圓周的切線方向沿圓周的切線, 即即j的方向的方向. 取取A為為基點(diǎn)基點(diǎn), 則螺旋槳尖端則螺旋槳尖端B的速度為的速度為kljRlVilklilkRVjjVrjVvsinsin1coscossin111現(xiàn)在求現(xiàn)在求B點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度 . 因因A點(diǎn)加速點(diǎn)加速度為度為

4、 V 2/Ri . 而而tkRVtjtdddddd1因因k為恒矢量為恒矢量, 故故tjtdddd1又又iRVjkRVjtj0dd故故iRVtjt11dddd所以所以, B點(diǎn)的點(diǎn)的加速度為加速度為kljRVlilkRVjkliliRViRVrrtaaAsinsincos cossin dd11112 coscos2sinsin21122212kljRlViRlVlRVa 剛體繞定點(diǎn)剛體繞定點(diǎn)O以角速度以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 其運(yùn)動(dòng)方程是其運(yùn)動(dòng)方程是2 歐勒動(dòng)力學(xué)方程歐勒動(dòng)力學(xué)方程MtJddJ是剛體繞定點(diǎn)是剛體繞定點(diǎn)O的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩, M為諸外力對為諸外力對O點(diǎn)的主矩點(diǎn)的主矩. 我們選用固定在

5、剛體上并一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系并選用我們選用固定在剛體上并一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系并選用O點(diǎn)點(diǎn)上的慣量主軸為動(dòng)坐標(biāo)軸上的慣量主軸為動(dòng)坐標(biāo)軸, JxI1 x , JyI2 y , JzI3 z . 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度等于剛體角速度坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度等于剛體角速度 ,如把角動(dòng)量如把角動(dòng)量J和隨和隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系O-xyz固著在一起固著在一起, 和位置矢量和位置矢量r相仿相仿, J 對時(shí)間微商應(yīng)為對時(shí)間微商應(yīng)為 J. 不過實(shí)際上不過實(shí)際上J 相對于相對于O-xyz也在也在發(fā)生變化，它的每一個(gè)分量也都是時(shí)間的函數(shù)發(fā)生變化，它的每一個(gè)分量也都是時(shí)間的函數(shù), 所以所以JkJjJiJtJzyxdd因因 kM

6、jMiMMkjikIjIiIJzyxzyxzyx321所以所以zyxzyxzyxzyxMIIIMIIIMIII213132321歐勒動(dòng)力學(xué)方程歐勒動(dòng)力學(xué)方程機(jī)械能守恒律（外力為保守力時(shí)）機(jī)械能守恒律（外力為保守力時(shí)）EVIIIzzyyxx22221一般來說一般來說, 有動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程就可以完全確定剛體的有動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程就可以完全確定剛體的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng). 在無力矩情形在無力矩情形, 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒: L和和 均為常矢量均為常矢量. 典典型應(yīng)用是陀螺儀型應(yīng)用是陀螺儀.動(dòng)量矩的進(jìn)動(dòng)動(dòng)量矩的進(jìn)動(dòng) 在外力矩為有限值時(shí)在外力矩為有限值時(shí), 動(dòng)量矩將隨時(shí)間變化動(dòng)量矩將隨時(shí)間變化. 當(dāng)力矩當(dāng)力矩和動(dòng)

7、量矩方向一致時(shí)和動(dòng)量矩方向一致時(shí), 情況簡單情況簡單. 當(dāng)二者不共線時(shí)當(dāng)二者不共線時(shí), 動(dòng)量矩不能保持其方向動(dòng)量矩不能保持其方向. 當(dāng)動(dòng)量矩當(dāng)動(dòng)量矩增量很小或者外力矩垂直于動(dòng)量矩時(shí)增量很小或者外力矩垂直于動(dòng)量矩時(shí), 對動(dòng)量矩和增量對動(dòng)量矩和增量的分解可看出的分解可看出,轉(zhuǎn)軸本身在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸本身在轉(zhuǎn)動(dòng), 此時(shí)為動(dòng)量矩的進(jìn)動(dòng)此時(shí)為動(dòng)量矩的進(jìn)動(dòng).LMmg sinrmggmrMsinsinILLImgrtlim進(jìn)動(dòng)角速度進(jìn)動(dòng)角速度動(dòng)量矩的章動(dòng)動(dòng)量矩的章動(dòng) 動(dòng)量矩的傾角在一個(gè)范圍內(nèi)變化動(dòng)量矩的傾角在一個(gè)范圍內(nèi)變化. 好像是點(diǎn)頭好像是點(diǎn)頭的動(dòng)作一樣的動(dòng)作一樣. zyx小結(jié)小結(jié)rtrvddOrRP 轉(zhuǎn)動(dòng)加速度

8、轉(zhuǎn)動(dòng)加速度rrrta2dd 向軸加速度向軸加速度zyxzyxzyxzyxMIIIMIIIMIII213132321歐勒動(dòng)力學(xué)方程歐勒動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)量矩的進(jìn)動(dòng)動(dòng)量矩的進(jìn)動(dòng) 章動(dòng)章動(dòng)導(dǎo)讀導(dǎo)讀 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可嚴(yán)格求解的情況定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可嚴(yán)格求解的情況 歐勒歐勒-潘索情況潘索情況 拉格朗日拉格朗日-泊松情況泊松情況 C.B.柯凡律夫斯卡雅情況柯凡律夫斯卡雅情況3.9 重剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的解重剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的解 一個(gè)剛體一個(gè)剛體, 除約束反力外除約束反力外, 有時(shí)只在重力作用下作定有時(shí)只在重力作用下作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng), 我們把這種剛體叫我們把這種剛體叫重剛體重剛體.歐勒歐勒潘索情況潘索情況: 剛體因慣性而運(yùn)動(dòng)剛體

9、因慣性而運(yùn)動(dòng), 這時(shí)外力的合這時(shí)外力的合力通過固定點(diǎn)力通過固定點(diǎn)O, 在重剛體的特殊情況下在重剛體的特殊情況下, 固定點(diǎn)固定點(diǎn)O和剛體重心和剛體重心G相重合相重合. 不對稱陀螺不對稱陀螺.拉格朗日拉格朗日泊松情況泊松情況: 對固定點(diǎn)對固定點(diǎn)O所作的慣量橢球所作的慣量橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球, 亦即亦即I1=I2, 至于剛體的重心則位于動(dòng)至于剛體的重心則位于動(dòng)力對稱軸上但不與固定點(diǎn)重合力對稱軸上但不與固定點(diǎn)重合. 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀.C.B.柯凡律夫斯卡雅情況柯凡律夫斯卡雅情況: 在這一情況下，在這一情況下，I1I22I3, 而重心則在慣量橢球的赤道平面上而重心則在慣量橢球的赤道平面上. 這也是一

10、種這也是一種對稱陀螺對稱陀螺.1 1 歐勒歐勒潘索情況潘索情況 力矩為零力矩為零, 原則上可用歐勒動(dòng)力學(xué)方程求出角速度，原則上可用歐勒動(dòng)力學(xué)方程求出角速度，再代入歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出歐勒角和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系再代入歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出歐勒角和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. 以地球自轉(zhuǎn)作為例子來分析以地球自轉(zhuǎn)作為例子來分析. 地球看作扁平球體地球看作扁平球體, I1=I2. 地球的中心作為定點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)地球的中心作為定點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn), z軸于地球的對稱軸于地球的對稱軸重合軸重合, 因因 I1=I2, Mx=My=Mz=0 ,所以歐勒動(dòng)力學(xué)方程為所以歐勒動(dòng)力學(xué)方程為(3) 0(2) 0(1) 03131311zxzy

11、zyxIIIIIII 將將(3)積分積分, 得得(4) 常數(shù)z 將將(4)帶入帶入(1), (2) 得得(6) (5) 113113xxyyyxnIIInIII上式的通解為上式的通解為:(8) )sin(7) )cos(00ntntyx這樣知道地球的自轉(zhuǎn)總角速度大小是常量這樣知道地球的自轉(zhuǎn)總角速度大小是常量, 為為220但地球自轉(zhuǎn)角速度的方向則繞著對稱軸但地球自轉(zhuǎn)角速度的方向則繞著對稱軸Oz作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng), 且描繪一圓錐體且描繪一圓錐體, Oz為圓錐體軸線為圓錐體軸線, 其周期為其周期為13122IIIn 目前我們知道了角速度目前我們知道了角速度,可以用歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算可以用歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)

12、方程計(jì)算歐勒角隨時(shí)間的變化歐勒角隨時(shí)間的變化 因力矩為零因力矩為零, 所以在固定坐標(biāo)系角動(dòng)量是恒量所以在固定坐標(biāo)系角動(dòng)量是恒量, 取為取為固定系的固定系的 軸軸, 所以所以L和和 軸以及進(jìn)動(dòng)角速度共線軸以及進(jìn)動(dòng)角速度共線. 所以所以(11) cos(10) cossin(9) sinsin3321IILLILLILLzzyyxx因因L為常數(shù)為常數(shù), 由由(11)知知 = 0=常數(shù)常數(shù), 再考慮再考慮(7), (8), 可得可得ntIL2 ,sin010把這些結(jié)果帶入歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程把這些結(jié)果帶入歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程, 得得10sectn這樣我們知道這樣我們知道 是常數(shù)而是常數(shù)而 , 都是時(shí)間的函數(shù)都是

13、時(shí)間的函數(shù). 地球除地球除了繞了繞 z 軸自轉(zhuǎn)外軸自轉(zhuǎn)外, 還有繞還有繞 軸的角速度軸的角速度 , 即即z軸不是軸不是固定不動(dòng)的固定不動(dòng)的,而是繞而是繞 軸進(jìn)動(dòng)軸進(jìn)動(dòng). 此時(shí)剛體的瞬時(shí)角速度為此時(shí)剛體的瞬時(shí)角速度為繞繞 軸和繞軸和繞 z 軸的軸的 矢量和矢量和.2 2 拉格朗日拉格朗日泊松情況泊松情況力矩不為零力矩不為零. 需要?jiǎng)恿W(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程聯(lián)合求解需要?jiǎng)恿W(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程聯(lián)合求解.令動(dòng)系令動(dòng)系S的的z軸與陀螺的對稱軸重合軸與陀螺的對稱軸重合, 固定點(diǎn)定系固定點(diǎn)定系S原點(diǎn)原點(diǎn)O重合重合. 如陀螺的重如陀螺的重心在心在G, 且長度且長度OGl, 則作用在剛體則作用在剛體上的外力上的外力, 就是

14、重力一就是重力一mgK，K是是 軸軸上的單位矢量上的單位矢量. 重力對重力對O點(diǎn)的力矩為點(diǎn)的力矩為KkmglKmgk lM)(因?yàn)橐驗(yàn)閗jiKcoscossinsinsinjimglMsinsincossin因此因此 , 得到對稱陀螺的動(dòng)力學(xué)方程得到對稱陀螺的動(dòng)力學(xué)方程(3) 0(2) sinsin(1) cossin3131311zxzyzyxImglIIImglIII(4) scos常數(shù)z這表明陀螺沿著它的對稱鈾的分角速度是不變的這表明陀螺沿著它的對稱鈾的分角速度是不變的. 考慮運(yùn)動(dòng)方程考慮運(yùn)動(dòng)方程cossincossincossinsinzyx用用 x 乘式乘式(1) , y 乘乘 (2

15、) , z 乘乘 (3)，并相加，并相加, 然后將運(yùn)動(dòng)然后將運(yùn)動(dòng)方程中的方程中的 x 和和 y 的表示式代入所得方程的右端的表示式代入所得方程的右端, 得得sin311mglIIIzzyyxx積分積分, 得得EmglIIIzyxcos21232121進(jìn)一步進(jìn)一步, 得得(5) cos2sin232221mglEsII 式式(4)及及(5) 是陀螺的兩個(gè)第一積分是陀螺的兩個(gè)第一積分, 還要找出它的另一個(gè)還要找出它的另一個(gè)第一積分第一積分. 因?yàn)橥勇葜亓颗c因?yàn)橥勇葜亓颗c 軸平行，對它的力矩為零，軸平行，對它的力矩為零，因而角動(dòng)量因而角動(dòng)量 L 在這個(gè)方向上的分量必定是一個(gè)常數(shù)在這個(gè)方向上的分量必定

16、是一個(gè)常數(shù)(6) cossin321sIIKL做變量代換做變量代換I3s= , cos =x, 從從(6)解出解出 帶入帶入(5), 并用并用sin2 乘乘(5),223221221121xmglxExIIxxI簡化為簡化為其中其中 整理后得整理后得)(2xfx21223211221)(IxxmglxIEIxf 而由而由(4), (6)又可得又可得xIxIx321,)1(故只要故只要x與與t 的關(guān)系已知的關(guān)系已知, 則陀螺的運(yùn)動(dòng)完全確定則陀螺的運(yùn)動(dòng)完全確定.f (x) 是是x的三次多項(xiàng)式的三次多項(xiàng)式, ,函數(shù)有三個(gè)實(shí)根函數(shù)有三個(gè)實(shí)根x1, x2, x3, ,且且-1-1x1 x211x3, ,

17、因此因此321122xxxxxxImglx例例: : 一陀螺由半徑為一陀螺由半徑為2a2a的薄圓盤即一垂直通過盤中心的薄圓盤即一垂直通過盤中心C, C, 長為長為a a的桿所組成的桿所組成, ,桿軸的質(zhì)量可忽略不計(jì)桿軸的質(zhì)量可忽略不計(jì). . 將桿軸的另一端將桿軸的另一端O O放在水放在水平面上平面上, , 使陀螺作無滑動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)使陀螺作無滑動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng). . 如起始時(shí)如起始時(shí), , 桿軸桿軸OCOC與豎直線與豎直線的夾角為的夾角為 , , 而總角速度的量值為而總角速度的量值為 , , 方向沿著方向沿著 角的平分線角的平分線. . 試證經(jīng)過試證經(jīng)過02222)cos(cosseccos1kdt后后, , 桿軸將直立起來?xiàng)U軸將直立起來, , 式中式中 , 為任一瞬時(shí)桿軸與豎直線間的夾角為任一瞬時(shí)桿軸與豎直線間的夾角. .2agk 解解: 本題屬于拉格朗日本題屬于拉格朗日-泊松情況泊松情況, 且且2221322241212)2(2)2(maamImamaamII常數(shù)常數(shù)常數(shù)cossin