電磁場(chǎng)與電磁波：第三章 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題

1、1電磁場(chǎng)與電磁波第三章 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題武武 漢漢 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 信信 息息 科科 學(xué)學(xué) 與與 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院2本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)v 電位微分方程電位微分方程v 鏡像法鏡像法v 分離變量法分離變量法3電位微分方程電位微分方程電位微分方程的提出：電位微分方程的提出：0 EE2E02泊松方程泊松方程4電位微分方程電位微分方程02拉普拉斯方程拉普拉斯方程在電荷密度為在電荷密度為0 0的無(wú)源空間，有：的無(wú)源空間，有：5電位微分方程電位微分方程邊值問(wèn)題的分類：邊值問(wèn)題的分類：第一類邊值問(wèn)題（第一類邊值問(wèn)題（狄里赫利問(wèn)題狄里赫利問(wèn)題）：）：給定未知函數(shù)在邊界上的函數(shù)值。給定未知函數(shù)在邊界上的

2、函數(shù)值。例如：靜電場(chǎng)中已知各導(dǎo)體表面的電位例如：靜電場(chǎng)中已知各導(dǎo)體表面的電位, , 求解求解空間的電位問(wèn)題?？臻g的電位問(wèn)題。第二類邊值問(wèn)題（第二類邊值問(wèn)題（諾伊曼問(wèn)題諾伊曼問(wèn)題）：）：給定未知函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值。給定未知函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值。如靜電場(chǎng)中已知導(dǎo)體表面的面電荷密度分布，如靜電場(chǎng)中已知導(dǎo)體表面的面電荷密度分布，求解空間的電位問(wèn)題。求解空間的電位問(wèn)題。6電位微分方程電位微分方程第三類邊值問(wèn)題（第三類邊值問(wèn)題（混合問(wèn)題混合問(wèn)題）：）：在部分邊界上給定未知函數(shù)在這部分邊界上的在部分邊界上給定未知函數(shù)在這部分邊界上的函數(shù)值，在其它邊界上給定未知函數(shù)在這部分函數(shù)值，在其它邊界上給定未

3、知函數(shù)在這部分邊界上的法向?qū)?shù)值。邊界上的法向?qū)?shù)值。7電位微分方程電位微分方程例例3.1 3.1 兩塊無(wú)限大的接地導(dǎo)體平面分別置于兩塊無(wú)限大的接地導(dǎo)體平面分別置于x=0和和x=a處，其間在處，其間在x=x0處有一面密度為處有一面密度為 0(C/m2)的無(wú)限大均勻電荷分布，求兩導(dǎo)體板的無(wú)限大均勻電荷分布，求兩導(dǎo)體板之間的電位。之間的電位。xyx00a 0)(1x)(2xen8電位微分方程電位微分方程解：解：除除x=x0處，空間其它地方都沒(méi)有電荷，電位滿處，空間其它地方都沒(méi)有電荷，電位滿足一維拉普拉斯方程，根據(jù)導(dǎo)體平面及足一維拉普拉斯方程，根據(jù)導(dǎo)體平面及x=x0處處的邊界條件，可以求出電位分布。

4、的邊界條件，可以求出電位分布。)0(0)(0212xxdxxd電位僅是坐標(biāo)電位僅是坐標(biāo)x的函數(shù)：的函數(shù)：)(0)(0222axxdxxdxyx00a 0)(1x)(2xen9電位微分方程電位微分方程可解得：可解得：111)(DxCx)0(0 xx 222)(DxCx)(0axx 1和和 2滿足的邊界條件為：滿足的邊界條件為：0)0(10)(2a)()(0201xx)()()(00021xxxxxx思考：上式如何得來(lái)？思考：上式如何得來(lái)？xyx00a 0)(1x)(2xen10電位微分方程電位微分方程002120210122100CCDxCDxCDaCD代入數(shù)據(jù)得方程組：代入數(shù)據(jù)得方程組：得到得

5、到C1、C2、C3和和C4，代入電位表達(dá)式得：，代入電位表達(dá)式得：)0()()(00001xxaxxax)()()(00002axxxaaxx11鏡像法鏡像法鏡像法的實(shí)質(zhì)：鏡像法的實(shí)質(zhì)：用鏡像電荷（或源）代替邊界，使邊界上的未用鏡像電荷（或源）代替邊界，使邊界上的未知函數(shù)（電位知函數(shù)（電位/ /電場(chǎng)電場(chǎng)/ /磁位磁位/ /磁場(chǎng)）值，或其法磁場(chǎng)）值，或其法向?qū)?shù)值保持不變，即邊界條件不變；電力線向?qū)?shù)值保持不變，即邊界條件不變；電力線或磁力線在求解區(qū)域中將保持不變，鏡像源一或磁力線在求解區(qū)域中將保持不變，鏡像源一定處在求解區(qū)域之外。定處在求解區(qū)域之外。 12鏡像法鏡像法第一類第一類 點(diǎn)電荷與無(wú)限

6、大的導(dǎo)體平面點(diǎn)電荷與無(wú)限大的導(dǎo)體平面例例3.2 3.2 置于無(wú)限大接地平面導(dǎo)體上方，距置于無(wú)限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體導(dǎo)體面為面為h h處的點(diǎn)電荷處的點(diǎn)電荷q q。 13鏡像法鏡像法分析：分析：- - - - - - - - - - - - - - - - =0=0可用疊加法求解可用疊加法求解XYXY平面平面Z Z軸軸14鏡像法鏡像法解：解：在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)當(dāng)z z0 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)z z=0=0時(shí)，時(shí)，=0=0；當(dāng)當(dāng)z z、| |x x|、| |y y|時(shí)，時(shí)，00。02rqrq041選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，利用疊加法求出導(dǎo)選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，利用疊加法求出導(dǎo)體上方

7、無(wú)源區(qū)任一點(diǎn)的電位：體上方無(wú)源區(qū)任一點(diǎn)的電位：XYXY平面平面Z Z軸軸15鏡像法鏡像法2/12222/1222)()(hzyxrhzyxr其中：其中：3303303304114114rhzrhzqzErrqyErrqxEzyx由由 得電場(chǎng)的各分量得電場(chǎng)的各分量：EXYXY平面平面Z Z軸軸16鏡像法鏡像法由由Dn=S可得導(dǎo)體表面（可得導(dǎo)體表面（z=0）的感應(yīng)面電荷密）的感應(yīng)面電荷密度：度： 2/32220)(2hyxqhEzS令令2=x2+y2，則，則導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷：導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷： )()(20222/322020CqhqhhddqhdsqSsi17鏡像法鏡像法分析：分析：當(dāng)點(diǎn)

8、電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面時(shí)，由于靜電當(dāng)點(diǎn)電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面時(shí)，由于靜電感應(yīng)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生等量的異性的感應(yīng)電荷，感應(yīng)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生等量的異性的感應(yīng)電荷，使用鏡像法時(shí)，可以用一個(gè)異性的鏡像電荷代使用鏡像法時(shí)，可以用一個(gè)異性的鏡像電荷代替導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷。替導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷。電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體的平面，零電位面與導(dǎo)電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體的平面，零電位面與導(dǎo)體表面重合。體表面重合。18例例3.3 3.3 設(shè)有兩塊接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板相交成設(shè)有兩塊接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板相交成角，角角，角滿足滿足n=180/，n為正整數(shù)，即為正整數(shù)，即n=1、2、3，交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷( (或一線

9、電或一線電荷荷) )。鏡像法鏡像法解：解：輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像, , 直到最直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。但是只有當(dāng)后的鏡像電荷與原電荷重合為止。但是只有當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，最后的鏡像才能和原電荷重合，為整數(shù)時(shí)，最后的鏡像才能和原電荷重合，鏡像電荷的總數(shù)應(yīng)是鏡像電荷的總數(shù)應(yīng)是N=2n-1個(gè)。個(gè)。 19鏡像法鏡像法q-q-qq因?yàn)閷?dǎo)體板無(wú)限大，所以導(dǎo)體板電位為因?yàn)閷?dǎo)體板無(wú)限大，所以導(dǎo)體板電位為0 0，構(gòu)造，構(gòu)造圖示的鏡像電荷，保證邊界上的電位永遠(yuǎn)為圖示的鏡像電荷，保證邊界上的電位永遠(yuǎn)為0 0。qab20鏡像法鏡像法4321011114rrrrq由疊加法

10、求出空間一點(diǎn)的電位為：由疊加法求出空間一點(diǎn)的電位為：2/122242/122232/122222/12221)()()()()()()()(zbyaxrzbyaxrzbyaxrzbyaxr21鏡像法鏡像法思考：如圖導(dǎo)體板的鏡像電荷如何構(gòu)建？思考：如圖導(dǎo)體板的鏡像電荷如何構(gòu)建？q4545。22鏡像法鏡像法第二類第二類 點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球例例 3.4 3.4 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷q位于距球心位于距球心d處。處。 23鏡像法鏡像法解：解：試用一個(gè)鏡像電荷試用一個(gè)鏡像電荷q等效球面上的感應(yīng)面電荷等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱

11、性考慮，鏡在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷像電荷q應(yīng)置于球心與電荷應(yīng)置于球心與電荷q的連線上的連線上。qqbd24鏡像法鏡像法球外任一點(diǎn)的電位是電荷球外任一點(diǎn)的電位是電荷q與鏡像電荷與鏡像電荷q產(chǎn)生電產(chǎn)生電位的疊加：位的疊加：201044rqrq因?yàn)榍蛎娼拥?，所以球面上一點(diǎn)有：因?yàn)榍蛎娼拥?，所以球面上一點(diǎn)有： 044200100rqrqr10、r20分別是從分別是從q、q到球面上點(diǎn)到球面上點(diǎn)P0的距離。的距離。25鏡像法鏡像法取球面上的點(diǎn)分別取球面上的點(diǎn)分別位于位于A A、B B兩點(diǎn)，可兩點(diǎn)，可以得到確定未知量以得到確定未知量q、b的兩個(gè)方程：的兩個(gè)方程：00baqadqbaqa

12、dqqqbdA AB Bdabqdaq226鏡像法鏡像法其它情況：其它情況：如果導(dǎo)體球不接地且不帶電，可用鏡像法和疊如果導(dǎo)體球不接地且不帶電，可用鏡像法和疊加原理求球外的電位。此時(shí)球面必須是等位面，加原理求球外的電位。此時(shí)球面必須是等位面，且導(dǎo)體球上的總感應(yīng)電荷為零。使用兩個(gè)等效且導(dǎo)體球上的總感應(yīng)電荷為零。使用兩個(gè)等效電荷：一個(gè)是電荷：一個(gè)是q，其位置和大小由前面的例題，其位置和大小由前面的例題確定；另一個(gè)是確定；另一個(gè)是q”，q”=-=-q，q”位于球心。位于球心。如果導(dǎo)體球不接地，且?guī)щ姾扇绻麑?dǎo)體球不接地，且?guī)щ姾蒕，則，則q位置和大位置和大小同上，小同上，q”的位置也在原點(diǎn)，但的位置也在

13、原點(diǎn)，但q”= =Q-q。于是空間總電位可由于是空間總電位可由q與與q疊加求出。疊加求出。27第三類第三類 線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱例例3.5 3.5 設(shè)半徑為設(shè)半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱外，有一的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱外，有一根與其平行的無(wú)限長(zhǎng)細(xì)線電荷，其線電荷密度根與其平行的無(wú)限長(zhǎng)細(xì)線電荷，其線電荷密度為為l，與圓柱軸線距離為，與圓柱軸線距離為d1，橫截面如圖。，橫截面如圖。ld1a鏡像法鏡像法28鏡像法鏡像法求解方法和第二類鏡像法類似：求解方法和第二類鏡像法類似：第一步第一步 構(gòu)造鏡像電荷；構(gòu)造鏡像電荷；第二步第二步 求出空間中電位的表達(dá)式求出空間中電位的表達(dá)式第三步第三步 列

14、出滿足導(dǎo)體表面電位為列出滿足導(dǎo)體表面電位為0 0的邊界條件的邊界條件的方程（組），求解出設(shè)定的未知量。的方程（組），求解出設(shè)定的未知量。第四步第四步 將求出的未知量代入電位的表達(dá)式，將求出的未知量代入電位的表達(dá)式，得到可用的電位表達(dá)式。得到可用的電位表達(dá)式。29鏡像法鏡像法第四類第四類 點(diǎn)電荷與無(wú)限大的介質(zhì)平面點(diǎn)電荷與無(wú)限大的介質(zhì)平面例例3.6 3.6 兩種介電常數(shù)分別為兩種介電常數(shù)分別為1、2的介質(zhì)充填的介質(zhì)充填于于z0的空間，在介質(zhì)的空間，在介質(zhì)1 1中點(diǎn)中點(diǎn)(d,0,0)處有處有一點(diǎn)電荷一點(diǎn)電荷q。 1230鏡像法鏡像法解：解：分界面上將產(chǎn)生束縛電荷。分界面上將產(chǎn)生束縛電荷。計(jì)算介質(zhì)計(jì)算

15、介質(zhì)1中的電位時(shí)，可將界面上的束縛電荷中的電位時(shí)，可將界面上的束縛電荷用鏡像電荷用鏡像電荷q來(lái)等效，空間介電常數(shù)都為來(lái)等效，空間介電常數(shù)都為1。12- - - - - - - - - - - -11qq31鏡像法鏡像法計(jì)算介質(zhì)計(jì)算介質(zhì)2中的電位時(shí)，可將界面上的束縛電荷中的電位時(shí)，可將界面上的束縛電荷與源點(diǎn)電荷用鏡像電荷與源點(diǎn)電荷用鏡像電荷q”來(lái)等效，空間介電常來(lái)等效，空間介電常數(shù)都為數(shù)都為2。12- - - - - - - - - - - -22q”32鏡像法鏡像法在介質(zhì)在介質(zhì)1 1中產(chǎn)生的電位為：中產(chǎn)生的電位為：)(412111rqrq在介質(zhì)在介質(zhì)2 2中產(chǎn)生的電位為：中產(chǎn)生的電位為：322

16、4rq其中，其中，r1、r2和和r3為三個(gè)電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離。為三個(gè)電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離。33鏡像法鏡像法根據(jù)電位的邊界條件：根據(jù)電位的邊界條件：nn22112111qqen 22q”en 34鏡像法鏡像法在介質(zhì)邊界上一點(diǎn)，代入電位的表達(dá)式，得：在介質(zhì)邊界上一點(diǎn)，代入電位的表達(dá)式，得：rqrqrq214)(41cos4cos)(41222rqrqrq解得：解得：qq2121qq212235直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法如果泊松方程或拉普拉斯方程中有兩個(gè)或兩個(gè)如果泊松方程或拉普拉斯方程中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，在數(shù)學(xué)上就形成了偏微分方程以上的自變量，在數(shù)學(xué)上就形成了偏微分方程的求解問(wèn)題

17、。的求解問(wèn)題。一種方法是把各個(gè)自變量分開(kāi)后單獨(dú)求解，然一種方法是把各個(gè)自變量分開(kāi)后單獨(dú)求解，然后再組合成總的解，這就是后再組合成總的解，這就是分離變量法分離變量法。在數(shù)。在數(shù)學(xué)上通過(guò)把偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程求解學(xué)上通過(guò)把偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程求解來(lái)實(shí)現(xiàn)。來(lái)實(shí)現(xiàn)。36直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為：在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為： 0222222zyx可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積：可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積：)()()(),(zZyYxXzyx0222222dzZdXYdyYdXZdxXdYZ可將拉普拉斯方程改寫(xiě)為：可將拉普拉斯方程改寫(xiě)為：37直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法然后用然后用XYZ除上式，得：除上式，得：0ZZYYXX上方程中的每項(xiàng)只與一個(gè)變量相關(guān)，所以各項(xiàng)上方程中的每項(xiàng)只與一個(gè)變量相關(guān)，所以各項(xiàng)都是一個(gè)常數(shù)。令：都是一個(gè)常數(shù)。令：2221xkdxXdX2221ykdyYdY2221zkdzZdZ0222zyxkkk38直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法寫(xiě)成如下的形式：寫(xiě)成如下的形式：000222222222ZkdzZdYkdyYdXkdxXdzyx3