第九章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1、系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本類(lèi)型這里所謂的系統(tǒng)是指由一些相互制約的部分構(gòu)成的整體，它可能是一個(gè)由反饋閉合的整體，也可能是某一控制裝置或受控對(duì)象。文章中所研究的系統(tǒng)均假定具有若干輸入端和輸出端，如圖所示。圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境，環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的作用為系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)對(duì)環(huán)境的作用為系統(tǒng)輸出，二者分別用向量量u=u1,u2upT和y=y1,y2yqT表示，它們均為系統(tǒng)的外部變量。描述系統(tǒng)內(nèi)部每個(gè)時(shí)刻所處狀況的變量為系統(tǒng)內(nèi)部變量，以X=x1,x2xnT向量表示。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述是反映系統(tǒng)變量間因果關(guān)系和變換關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述通常有兩種基本類(lèi)型。一種是系統(tǒng)的外部描述

2、，即輸入輸出描述。系統(tǒng)描述的另一種類(lèi)型是內(nèi)部描述，即狀態(tài)空間描述。這種描述是基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析的一類(lèi)數(shù)學(xué)模型，通常由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成。一是反映系統(tǒng)內(nèi)變量和輸入變量間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,常具有微分方程或差分方程的形式，稱(chēng)為狀態(tài)方程。另一個(gè)是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量及變量和輸出變量間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)式，具有代數(shù)方程的形式，稱(chēng)為輸出方程。僅當(dāng)在系統(tǒng)具有一定屬性的條件下，兩種描述才具有等價(jià)關(guān)系。2、系統(tǒng)狀態(tài)空間描述常用的基本概念(1)狀態(tài)和狀態(tài)變量：系統(tǒng)在時(shí)間域中的行為或運(yùn)動(dòng)信息的集合稱(chēng)為狀態(tài)。確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨(dú)立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q(chēng)為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的選取不具有惟一性，同一個(gè)系統(tǒng)可能有多種不同的狀態(tài)變

3、量選取方法。狀態(tài)變量常用符號(hào)表示。(2)狀態(tài)向量：把描述系統(tǒng)狀態(tài)的n個(gè)狀態(tài)變量看作向量x(t)的分量，即則向量x(t)稱(chēng)為n維狀態(tài)向量。12,nxxx12,Tnxxxx(3)狀態(tài)空間：以n個(gè)狀態(tài)量作為基底所組成的n維空間稱(chēng)為狀態(tài)空間。(4)狀態(tài)軌線：系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中用一點(diǎn)來(lái)表示，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)在變化，并在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡。這種系統(tǒng)狀態(tài)向量在狀態(tài)空間中隨時(shí)間變化的軌跡稱(chēng)為狀態(tài)軌跡或狀態(tài)軌線。(5)狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組（連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散時(shí)間系統(tǒng)）稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內(nèi)部狀

4、態(tài)變化，其一般形式為:1( )( ( ), ( ), )()( (), (),)kkkkx tf x tu ttx tf x tu tt或(6)輸出方程：描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱(chēng)為輸出方程，其一般形式為(7)狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的給合稱(chēng)為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱(chēng)動(dòng)態(tài)方程，其一般形式為(8)線性系統(tǒng)：若在系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中，f和g均是線性函數(shù)，則稱(chēng)系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng).(9)線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分程或一階向量線性差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程?；蚓€性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為當(dāng)輸

5、出方程中D=0時(shí)，系統(tǒng)稱(chēng)為絕對(duì)固有系統(tǒng)，否則稱(chēng)為固有系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式常用結(jié)構(gòu)圖表示。線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下左圖所示，線性離散時(shí)間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下右圖所示。( )( )( )(1)( )( )( )( )( )( )( )( )x tAx tBu tx kGx kHu ky tCx tDu ty kCx kDu k或(10)狀態(tài)空間分析法：在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的方法稱(chēng)為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法。狀態(tài)空間分析法的優(yōu)點(diǎn)是便于采用向量、矩陣記號(hào)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)描述，便于在數(shù)字機(jī)上求解，容易考慮初始條件，能了解系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化特性，適用于描述時(shí)變、非

6、線性、連續(xù)、離散、隨機(jī)、多變量等各類(lèi)系統(tǒng)，便于應(yīng)用現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制等。3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法主要有兩種：一直接根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程或差分方程，繼而選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量，從而導(dǎo)出其狀態(tài)空間表達(dá)式；二是由已知的系統(tǒng)其它數(shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化而得到狀態(tài)空間表達(dá)式。(1）根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式(2）由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式1）系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。111001d( )d( )dy( )( )( )dddnnnnny ty ttaaa y tu tttt(1)12nnxyxyxy122310112101nnnnn

7、xxxxxxxa xa xaxuyx 取狀態(tài)變量為則有：XAXbuycX寫(xiě)成向量形式121001000010naaaaA000b100c 12nxxxx按上式繪制的結(jié)構(gòu)圖稱(chēng)為狀態(tài)變量圖，見(jiàn)下張圖。每個(gè)積分器的輸出都是對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量，狀態(tài)方程由各積分器的輸入輸出關(guān)系確定，輸出方程在輸出端獲得。2）系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。）系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。1111( )( )( )( )( )( )110110( )( )nnnnnnnnd y tdy tdy td u tdu tdu tnnndtdtdtdtdtdtaaa y tbbbb u t取狀態(tài)變量10111212321101121102,3ii

8、innnnnnnxyh uxxh uinxxhuxxh uxxhuxa xa xaxh uyxh u 則有：0112200nnnnnhbahaha hXAXbuycXdu寫(xiě)成向量形式其中121001000010naaaaA12nhhbh0100cdh二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性現(xiàn)代控制理論中用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可受輸入影響和是否可由輸出反映的問(wèn)題，這就是可控性和可觀測(cè)性問(wèn)題。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可以由輸入來(lái)影響和控制而由任意的初態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱(chēng)系統(tǒng)是可控的，或

9、者更確切地是狀態(tài)可控的。否則，就稱(chēng)系統(tǒng)是不完全可控的，或簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)不可控。相應(yīng)地，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量地任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)可觀測(cè)。1、可控性系統(tǒng)可控：對(duì)于上式所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在時(shí)刻可控的，則稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻是完全可控的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻可控。若系統(tǒng)在所有時(shí)刻都是可控的，則稱(chēng)系統(tǒng)是一致可控的。AI解可控性判別矩陣為123xxx已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判別系統(tǒng)的可控性。解：根據(jù)狀態(tài)方程可寫(xiě)出x 所以系統(tǒng)的可控2、可觀測(cè)性系統(tǒng)完全可觀測(cè)：對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻t0Tt，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1Tt，t1t0,對(duì)于所有tt0,t1，系統(tǒng)的輸出y(t)能惟一確定狀態(tài)向量x(t0)的初值，則稱(chēng)系統(tǒng)在t0,t1內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)可觀測(cè)。如果對(duì)于一切t1t0系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱(chēng)系統(tǒng)在t0,)內(nèi)完全可觀測(cè)。系統(tǒng)不可觀測(cè)：對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻t0Tt，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1Tt，t1t0，對(duì)于所有tt0,t1