第三講導(dǎo)熱微分方程的應(yīng)用

1、平壁導(dǎo)熱平壁導(dǎo)熱圓柱壁導(dǎo)熱圓柱壁導(dǎo)熱球殼導(dǎo)熱球殼導(dǎo)熱肋片導(dǎo)熱肋片導(dǎo)熱第三講第三講 導(dǎo)熱微分方程的應(yīng)用導(dǎo)熱微分方程的應(yīng)用本節(jié)將針對(duì)一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無(wú)內(nèi)熱源情況，考察平本節(jié)將針對(duì)一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無(wú)內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：ztzytyxtxtc)()()(1 單層平壁的導(dǎo)熱單層平壁的導(dǎo)熱oxa 幾何條件：?jiǎn)螌悠桨?；幾何條件：?jiǎn)螌悠桨澹?b 物理?xiàng)l件：物理?xiàng)l件： 、c、 已知；已知；無(wú)內(nèi)熱源無(wú)內(nèi)熱源 c 時(shí)間條件：時(shí)間條件： 0 :t穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 d 邊界條件：第一類邊界條件：第一類0dd22xtxot1tt221 , , 0wwttxttx直

2、接積分，得：直接積分，得：211 cxctcdxdt根據(jù)上面的條件可得：根據(jù)上面的條件可得：第一類邊條：第一類邊條：xtxtc)(控制控制方程方程邊界邊界條件條件帶入邊界條件：帶入邊界條件：12121tcttc)(dd1212112Attttqttxttxttt帶入帶入Fourier 定律定律ARr線性分布線性分布熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源的情況熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源的情況2 多層平壁的導(dǎo)熱多層平壁的導(dǎo)熱t(yī)1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱v 邊界條件：邊界條件：1110nniittxttxv 熱阻：熱阻：nnnrr,111由熱阻分析法：

3、由熱阻分析法：niiinniinttrttq111111問：現(xiàn)在已經(jīng)知道了問：現(xiàn)在已經(jīng)知道了q q，如何計(jì)算其中第，如何計(jì)算其中第 i i 層的右側(cè)壁溫？層的右側(cè)壁溫？第一層：第一層： 11122111)(qttttq第二層：第二層：22233222)(qttttq第第 i 層：層： iiiiiiiiqttttq111)(2112111hhttqniiiff2mW 單位：?jiǎn)挝唬簍f1t2t3tf2t1t2t3t2三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱h1h2tf2tf1？傳熱系數(shù)？傳熱系數(shù)？多層、第三類邊條多層、第三類邊條3 單層圓筒壁的導(dǎo)熱單層圓筒壁的導(dǎo)熱圓柱坐標(biāo)系：圓柱坐標(biāo)系：ztztrrt

4、rrrtc)()(1)(12一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性：一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性：0)dd(ddrtrr第一類邊界條件：第一類邊界條件：2211wwttrrttrr時(shí)時(shí)(a)假設(shè)單管長(zhǎng)度為假設(shè)單管長(zhǎng)度為l，圓筒壁的外半，圓筒壁的外半徑小于長(zhǎng)度的徑小于長(zhǎng)度的1/10。對(duì)上述方程對(duì)上述方程(a)積分兩次積分兩次:211ln crctcdrdtr22122111ln ;lncrctcrctww)ln(ln)( ;)ln(121121212121rrrtttcrrttcwwwww第一次積分第一次積分第二次積分第二次積分應(yīng)用邊界條件應(yīng)用邊界條件獲得兩個(gè)系數(shù)獲得兩個(gè)系數(shù))ln()ln( 112121

5、rrrrtttt將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果顯然，溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布顯然，溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布)ln()ln()(121211rrrrttttwww212212212211)ln( ;1)ln(rrrttdrtdrrrttdrdtwwww向上凹若 0 : 2221drtdttww向上凸若 0 : 2221drtdttww下面來(lái)看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況下面來(lái)看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況21221mW)ln(ddrrttrrtqwwW 2)ln( 2211221Rttlrrttrlqwwww)ln()ln()(121211rrrrttttwwwrrrt

6、tdrdtww1)ln(1221長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 l 的圓筒的圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻壁的導(dǎo)熱熱阻雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度熱流密度 q 與半徑與半徑 r 成反比！成反比！mW ln21W ln2111)1(111)1(1niiiinwwlniiiinwwrrttqrrLtt通過單位長(zhǎng)度圓筒壁的熱流量通過單位長(zhǎng)度圓筒壁的熱流量 )(2ln21 )(222222122111111fwrlwwlwfrltthrqrrttqtthrqmW 21ln21212122121121lfffflRttrhrrrhttqh1h2(1) 單層圓筒壁單層圓筒壁思考：溫度分布應(yīng)如何求出？思考：溫度分布應(yīng)如何求

7、出？(2) 多層圓筒壁多層圓筒壁121111211ln211nniiiiffldhdddhttq通過球殼的導(dǎo)熱自己推導(dǎo)通過球殼的導(dǎo)熱自己推導(dǎo)5 其它變面積或變導(dǎo)熱系數(shù)問題其它變面積或變導(dǎo)熱系數(shù)問題求解導(dǎo)熱問題的主要途徑分兩步：求解導(dǎo)熱問題的主要途徑分兩步：(1) 求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場(chǎng)；求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場(chǎng)；(2) 根據(jù)根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場(chǎng)計(jì)算熱流量；定律和已獲得的溫度場(chǎng)計(jì)算熱流量； 對(duì)于穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導(dǎo)熱對(duì)于穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導(dǎo)熱 問題，可以不通過溫度場(chǎng)而直接獲得熱流量。此時(shí)，問題，可以不通過溫度場(chǎng)而直接獲得熱流量。此時(shí)， 一維一維Fourier定律：定律：xtxAtdd)()(當(dāng)當(dāng) (t), A=A(x)時(shí)，時(shí)，xtAdd分離變量后積分，并注意到熱流量分離變量后積分，并注意到熱流量與與x 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)(穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài))，得，得1221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxttxtxAtdd)()()()()()()(12121212212121tttttttttdttxAdxttttxx當(dāng)當(dāng) 隨溫度呈線性分布時(shí)，即隨溫度呈線性分布時(shí)，即 0at，則，則221