第三章旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)

1、電子光學(xué)第三章第三章 旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)l軌跡方程l電子光學(xué)要研究和解決的問題是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從上一章的內(nèi)容中我們得到了三種描述帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法，他們分別是牛頓運(yùn)動(dòng)方程、拉格朗日方程和最小作用原理，前兩個(gè)方程，描述了微分方程，最后一個(gè)描述的是積分方程，證明他們是等價(jià)的。31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 如果從運(yùn)動(dòng)方程得到一個(gè)以位置坐標(biāo)z為變量的微分方程，稱為軌跡方程，與最小作用原理等價(jià)。本章采用的描述方法是從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)變換，將方程中的時(shí)間坐標(biāo)變換成位置坐標(biāo)，從而得到軌跡方程

2、。通常描述帶電粒子運(yùn)動(dòng)的基本方程式是牛頓運(yùn)動(dòng)方程，它是一個(gè)以時(shí)間為變量的二階微分方程。本章描述的方法是一般教科書常用的方法。31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方稱的三個(gè)分量式分別為：直角坐標(biāo)的軌跡方程)(0zxBxBzeyUeym )(0 xyByBxezUezm )(0yzBzByexUexm 31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)l利用能量守恒定律eUzyxmm)(22222020可以得到關(guān)于位置坐標(biāo)變量z對時(shí)間t的一階微分21220)1 (2yxUmez 31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而坐標(biāo)x,y對t的一階和二階微分可以

3、表示為xdzdzdzdxdtdzxdtdxydzdzy )()(dzdxzdzdzxdtddtdx )(dzdyzdzdzy Uyxmez)1 (2220)1 (2()1 (22222xyxmeUdzdyxmeUx 由于因此31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)l將上式中的z對時(shí)間的微分替代，然后再代入運(yùn)動(dòng)方程的左端得到0222222()11UdUdxm xmxydzxydz)(yzBzByzexUe再將z的微分代入上式，可以得到x方向的軌跡方程得分量方程為：而右端項(xiàng)為31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)22222()1(1)()2zydUxdzxyxyUy BB

4、Ux 22222()1(1)()2xzdUydzxyxyUBx BUy 31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)2. 圓柱坐標(biāo)的軌跡方程圓柱坐標(biāo)的軌跡方程l由于電子光學(xué)中，旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)常用圓柱坐標(biāo)表示，從上一章中得到，從直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)過坐標(biāo)變換得到的圓柱坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程的三個(gè)分量方程為：zBerrUerrm )(2031旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng))()(120zrBrBzermdtdrrBerzUezm 0r z 同上節(jié)一樣，將上述方程中對時(shí)間微分量換成對位置坐標(biāo)的微分，可以得到圓柱坐標(biāo)的軌跡方程。和，31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)首

5、先，利用上面的第二個(gè)方程，可以得到角動(dòng)量守恒定律，從而得到旋轉(zhuǎn)角動(dòng)量其中上式第二式表示旋轉(zhuǎn)方向的分量運(yùn)動(dòng)將得到的角速度代入其他兩式，得到圓柱坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程的r和z方向的兩個(gè)分量式該方程表示一個(gè)以某一個(gè)角速度旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系。31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)3.角動(dòng)量守恒和旋轉(zhuǎn)角速度l（313）式表示旋轉(zhuǎn)方向分量方程，用磁矢量A位代替磁感應(yīng)強(qiáng)度BrrArrezrArzeBrBzermdtdrzr)(1)(1)()(120zrArBr)(1rrArBz)(1方程為：31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將方程中r1去掉，方程為：)()(20zrBrBzermdtd

6、由于全微分形式有：( )( )( )()drArArAerAezeredtzrtrrArezrAze)()(31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)l而由于對于恒定磁場有 0)(rAt因此右端項(xiàng)可以寫成全微分形式)(erAdtd方程為：)()(20erAdtdrmdtd31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)寫成全微分，因此有0)(20erArmd積分后得到)(00020020AererArmrm31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)l角動(dòng)量守恒0r0A0其中：分別表示初始坐標(biāo)、 磁矢位、旋轉(zhuǎn)角速度。上式左端項(xiàng)表示角動(dòng)量，右端項(xiàng)的第一項(xiàng)表示初始角動(dòng)量第二項(xiàng)

7、表示磁通的增量。說明，帶電粒子任一點(diǎn)的角動(dòng)量，只取決于初始角動(dòng)量及粒子運(yùn)動(dòng)過程中磁通量的變化，31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)rArA的變化引起的，若粒子運(yùn)動(dòng)中一磁力線上，角動(dòng)量不變。表示磁通量函數(shù)，可以看出，角動(dòng)量的變化是磁通量不變，或始終兩點(diǎn)在同(2) 角速度利用布許定理可以得到粒子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)角速度為)(220rcrrAme其中000200Arremc31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)zBerrUerrm )(20代入后可以寫為即可得到不考慮旋轉(zhuǎn)方向的，關(guān)于帶電粒子在子午面的運(yùn)動(dòng)方程。如果將式得到的角速度代入圓柱坐標(biāo)的第一和第三個(gè)方程中，將不包括旋轉(zhuǎn)方向

8、的分量關(guān)于r方向的第一個(gè)方程為： 31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)2222221 ()()()zUrrr BrrAcrAcrArrrrrr 右端項(xiàng)寫成=2221()()()() 2rAcrAcrAcrAcrrrrrr代入第二個(gè)方程Uzz2)2(rcrAz31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)得到圓柱坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程形式rUr 2() 2rAcrrzUz 2() 2rAczr上面兩個(gè)方程表示，當(dāng)消除角速度后在r和z方向的運(yùn)動(dòng)，上的運(yùn)動(dòng)方程。也就是說，它表示的是一個(gè)以角速度旋轉(zhuǎn)的子午面31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)4. 約化電位表示的運(yùn)動(dòng)方程一

9、項(xiàng)由磁位產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，方程的表示不簡便，如果令得到的運(yùn)動(dòng)方程包括兩項(xiàng)，一項(xiàng)由電位產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，2()2rAcQUr稱為約化電位，運(yùn)動(dòng)方程可以簡化為rQerm 0zQezm 031旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)5. 約化電位表示的能量守恒同樣可以證明，用約化電位表示的運(yùn)動(dòng)方程遵從能量守恒定律。r z 將上面第一式乘以，第二式乘以後，兩個(gè)方程將加，有00()QQdQm rrm zze rzerzdt 積分后得eQzrm)(2220常數(shù) )(2220zrmeQ 或31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)l右端項(xiàng)表示粒子在子午面方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，總能量為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能加上子午面

10、方向的動(dòng)能。l可以看出，與靜電場的電位意義不同，約化電位與磁場分布有關(guān)，與粒子初始狀態(tài)有關(guān)，即與000200Arremc有關(guān)。 這說明，發(fā)射點(diǎn)在磁場所處的位置影響粒子運(yùn)動(dòng)。31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)6. 圓柱坐標(biāo)的軌跡方程 圓柱坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程，可以通過坐標(biāo)變換，得到軌跡方程。 利用下列變換：cosrx sincosrrxsinry cossinrry可以得到柱坐標(biāo)的能量關(guān)系式：2222222zrrzyxeUzrrmzyxm)(2)(222220222031旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)因此可以表示為 z 對 t 的微分形式為：eUrrzm) 1(2

11、2222022221222012)1 (2rrUrrUmez 由于t的微分算子可以表示為：dzdzdtdr zr z 而r的二階微分為 )( r zdzdzr 31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)r 將和代入到第一個(gè)表示 r 分量的運(yùn)動(dòng)方程中zBerrUerrm )(20)()(120zrBrBzermdtdrr zr z 22212rrUz rrrUr zr22212因此22212rrUz )12(12222222rrrUdzdrrUr 31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)zBerrUerrm )(20由方程2 rBrrUrz得到zBrrrrUrUUrrrrr

12、Udzd2222222222122)1 ()12(代入后得到31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)7. 采用約化電位表示的軌跡方程l由于約化電位表示的方程簡潔，方便，因此也可以從運(yùn)動(dòng)方程得到軌跡方程。rQedzzddzdrdzrdzzmdzdrzdzdzmrm)()(22000 關(guān)于 z 的方程為： 關(guān)于 r 的方程為： zQedzzdzmzm 00可以得到zQzdzzd31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而從能量守恒公式中得到)1 (2220rzmeQ1202)1 (2rQmez 代入上式中rQezQzrr zzmrm )(00 )(2zQrrQzr )(212

13、zQrrQQrr 20)(2rcrAmeUQ31旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)當(dāng)只有電場時(shí)，方程為)(212zUrrUUrr 旋轉(zhuǎn)方向的方程寫成的形式：20rceAmedzdz20rceAmzedzd22122220)1 (2)(1rcrArrUrcrAmez32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程（1）旁軸軌跡的定義在電子光學(xué)要研究和解決的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，往往更為關(guān)心的是軸附近電子的運(yùn)動(dòng)，即離軸很近，斜率很小的電子軌跡，這部分帶電粒子具有聚焦成像的特性，研究這部分軌跡的特性稱為旁軸光學(xué)或近軸光學(xué)。（2）旁軸運(yùn)動(dòng)方程旁軸軌跡方程同樣可以從運(yùn)動(dòng)方程得到。32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程直

14、角坐標(biāo)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為：)(yBzBxUxzy )(zBxByUyxz 在旋轉(zhuǎn)對稱電磁場中，已知，表示旁軸區(qū)的電位和磁感應(yīng)強(qiáng)度的近似表達(dá)式為：)(4)(2zrzU xzBBx)(21yzBBy)(2132旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程將其代入牛頓運(yùn)動(dòng)方程中，可得直角坐標(biāo)的旁軸運(yùn)動(dòng)方程為：)()(21()(2yzByzzBxzx )()(21()(2xzBxzzByzy 如果采用一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)角速度和角度為：（3）表示子午面的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)）zB(2ttdtzB0)(232旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)和其對時(shí)間的微分與直角坐標(biāo)的關(guān)系為 sincosyxXcossinyxYsincosyxYXc

15、ossinyxXY32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程對時(shí)間再求一次導(dǎo)數(shù) sincos22yxYXYX cossin22yxXYXY （4）軌跡方程cos將上面的運(yùn)動(dòng)方程第一式乘以cos)()(21()(2cosyzByzzBxzx 然后相加， 左端項(xiàng)相加為sincos22yxYXYX 第二式乘以sinsin)()(21()(2sinxzBxzzByzy 32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程( )( cossin)21( ) (cossin)2( )( cossin)z xyB z zyxB zyx右端相加為再考慮將下式代入 sincosyxXcossinyxYsincosyxYX

16、cossinyxXY代入得到直角坐標(biāo)系的方程為：YzzBYzBXzBXX)(2()(2()(22 32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程又由于假設(shè)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)條件)(2zBzzB )(2帶入上面方程式中，可得)(2(22XzBX )(2(22YzBY 0)2(22 xBx 0)2(22 yBy 既為旁軸運(yùn)動(dòng)方程，再利用坐標(biāo)的變換 ()dxzzxdz()dyzzydz32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程又根據(jù)能量守恒定律可以得到關(guān)于z 的表達(dá)形式eUyxzmyxzm)1 (2)(222202220 xy考慮當(dāng)1，1時(shí)，上式去掉高階項(xiàng)，可以得到0022meUmez帶入運(yùn)動(dòng)方程式中，可得旁軸軌跡方程0)2(41)(2

17、xBxdzd0)2(41)(2 yBydzd)()(800zdzzBzz32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程可以得到用一個(gè)統(tǒng)一方程表示的旁軸軌跡方程為：0)2(41)(2 Bdzd0)2(4122 B在純電場中，旁軸軌跡方程為：0412 在純磁場中，旁軸軌跡方程為：082 B32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)角速度20rrAme對于旁軸區(qū)2)(21rzBrA 因此旋轉(zhuǎn)角速度也可以表示為：)(2)(20zBzBme由于上述的軌跡方程包含了會(huì)帶來運(yùn)算的誤差，可以去掉一次項(xiàng)，提高計(jì)算精度。的一階微分，因此采用分離變量，令)()()(zPzRz32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程)()()()()(zPzRzPzRz帶

18、入旁軸軌跡方程中，可得：02)84()22(2 RPPPBRPPRP令其中的一次項(xiàng)為0，即022PP解一次微分方程為：ln41lnP41PPRPRPR 232旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程因此，代入分離變量式中可得：)()()(41zzRz將其帶入軌跡方程中，得到0)()( RzWzR8)(163)(22BzW上式為簡正的旁軸軌跡方程，它的計(jì)算精度高于普遍的軌跡方程。33理想聚焦系統(tǒng)理想聚焦系統(tǒng)（1）旁軸軌跡解的形式l旁軸軌跡方程是一個(gè)二階齊次線形常微分方程，假設(shè)它有兩個(gè)線性無關(guān)的特解，)(zg)(zh分別為和微分方程通解，一般可以表示為兩個(gè)特解的線性組合，即為： ，則可以得到)()()(21zhc

19、zgczx)()()(43zhczgczy假設(shè)有一點(diǎn)),(0000zyxP應(yīng)該滿足軌跡方程的解，將初始條件代入方程解的形式中，軌跡的初始點(diǎn)， 帶電粒子通過此初始點(diǎn)時(shí)可以表示為： 32旁軸軌跡方程旁軸軌跡方程002010)()()(xzhczgczx004030)()()(yzhczgczy根據(jù)上述的初始條件，可以確定方程的兩個(gè)積分常數(shù))()(101002zgcxzhc)()(102004zgcyzhc將這兩個(gè)系數(shù)代入解的表示式中，可以得到方程得通解，兩個(gè)分量方程的解分別表示為：)()()()()()()(00100zhzhzgzgcxzhzhzx00300()( )( ) ( )( )()()

20、g zh zy zyc g zh zh zh z),(0000zyxP1c3c上式描述的是具有相同起始點(diǎn)軌跡，顯然式中第一項(xiàng)為初始位置值，而系數(shù)軌跡曲線的斜率。的所有帶電粒子表示如果上述軌跡經(jīng)過另外的某一點(diǎn)),(iiiizyxP時(shí)，能夠 使得下式成立，即滿足第二式為0， 0)()()()(00iizhzhzgzg那么，可以得到在兩個(gè)特定點(diǎn)的，關(guān)于兩個(gè)特解的關(guān)系為 )()()()(00iizhzgzhzg代入解中得到iiixxzhzhzx00)()()(iiiyyzhzhzy00)()()(即，表示最終的位置與初始的位置成線性比例關(guān)系。這種情況表示，凡是從),(0000zyxP滿足旁軸軌跡方程的

21、帶電粒子，其運(yùn)動(dòng)的軌跡，最終都聚焦于 點(diǎn)發(fā)出的，斜率不同的，),(iiiizyxPiP0P0P點(diǎn)，稱為的像，稱為物點(diǎn)。 （2）橫向放大率可以定義 )()()()(00zgzgzhzhMii為橫向放大率，表示物像之間尺寸的關(guān)系。橫向放大率為常數(shù)，只與物、像的z坐標(biāo)有關(guān)，而與x,y坐標(biāo)無關(guān)，從物點(diǎn)坐標(biāo)橫界面上發(fā)出的射線軌跡，都在像點(diǎn)坐標(biāo)橫截面上。（3）像轉(zhuǎn)角0PiP由于我們采用了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，所以物點(diǎn)一個(gè)方位角的差值，即為像轉(zhuǎn)角，可以表示為：與像點(diǎn)之間具有08izzBdz也就是說，在方位角方向也有聚焦作用，即它的聚焦作用不僅表示在r方向，同時(shí)也存在于旋轉(zhuǎn)方向。(5) 兩條特殊軌跡的解由于物像之間的關(guān)系

22、與軌跡的具體路徑無關(guān)，只與初始位置和最終的位置有關(guān)，因此，為了使求解簡化，可以選取兩條合適的軌跡，一條為從軸上入射，斜率為45，一條為平行于z軸入射，用這兩條軌跡作為特殊的軌跡來討論聚焦特性。1c2c3c4c0zz 0zz 如果選定兩個(gè)軌跡后可以分別從方程解中的求得系數(shù)、，他們可以分別表示為軌跡在處，選取從軸上入射的軌跡時(shí)，和平面的初始位置和斜率。例如：在可以表示為：0)(0zg1)(0 zg平行入射的軌跡可以表示為：1)(0zh0)(0 zh代入式中002010)()()(xzhczgczx004030)()()(yzhczgczy002010)()()(xzhczgczx004030)()

23、()(yzhczgczy通過四個(gè)方程可以解出四個(gè)系數(shù)為：20cx10cx40cy30cy代入方程中為：)()()(00zgxzhxzx)()()(00zgyzhyzy共軛平面的位置可以確定為0)(izg橫向放大率為)(izhM (6) 通過旁軸軌跡方程，可以得到焦點(diǎn)和焦距 0)(BzB0)(Uz 均勻軸向磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為=常數(shù)，=常數(shù)，陰極在磁場之外，在磁場中，電位為該電子光學(xué)系統(tǒng)的旁軸軌跡方稱表示為：0802022UBdzd0222dzd222000088eBBmUU根據(jù)微分方程的理論，該微分方程的兩個(gè)特解為：zzgcos)(zzhsin)(由)()()()(00zhzhzgzgii條件，

24、可得00sincossincoszzzzii上式的解為：nzzi0其中：emUBzzi00122說明該磁場具有聚焦作用，其具有等間距的n個(gè)像點(diǎn)。（7）什么叫圓電子透鏡 在旋轉(zhuǎn)對稱電、磁場的旁軸區(qū)，對于斜率很小、r很小的帶電粒子束，具有理想聚焦性質(zhì)，這種旋轉(zhuǎn)對稱電磁場稱為圓電子透鏡。圓電子透鏡聚焦成像性質(zhì)可以表現(xiàn)為：（a）實(shí)現(xiàn)物平面到像平面的圖像變換，形成電子或離子像 （b）聚焦電子或離子束(c) 線放大率與角放大率的關(guān)系-亥姆霍茲定理在電子像的變換中，除了要求具有一定的尺寸的聚焦束，即清晰的電子像外，還需要具有一定的電子密度。而電子束的密度與電子束張角有關(guān)，這需要有表述角放大的關(guān)系，因此，需要

25、建立角放大率與像放大率的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系可以從旁軸軌跡方程中得到。)(zg)(zh假設(shè)微分方程的兩個(gè)特解和分別滿足旁軸軌跡方程：0)()2(41)(2 zgBzgdzd0)()2(41)(2 zhBzhdzd)(zh)(zg第一式乘以，第二式乘以得0)()()2(41)()(2 zhzgBzgdzdzh0)()()2(41)()(2 zgzhBzhdzdzg然后相減0)()()()(zgdzdzhzhdzdzg上式是一個(gè)全微分形式，寫成全微分形式0)()()()(zgzhzhzgdzd積分后為)()()()()()()()(00000zgzhzhzgzgzhzhzgiiiii將選擇的兩條特殊軌跡

26、的初始條件有0)(0zg0)(izg00)( zgiizg)(分別表示軌跡的斜率，那么方程可以寫為000hhiii其中0hhMi表示線放大率；0iM 表示角放大率。 上式即為拉格朗日-亥姆霍茲定理，它也可表示為：000hnhniiiIMM0上式說明，當(dāng)物象平面的電位給定后，角放大率反比于線放大率，就是說，線放大率得到放大，束張角將減少。34基點(diǎn)和基本關(guān)系式1透鏡的條件和作用0 0B我們知道，在旋轉(zhuǎn)對稱場中，當(dāng)，和磁場對帶電粒子具有聚焦作用，我們稱之為圓電子透鏡。時(shí)，電場2短透鏡的定義當(dāng)作用于帶電粒子的電場和磁場集中在較短的區(qū)域內(nèi)，即物平面和像平面均在場區(qū)外的情況稱為短透鏡，這類透鏡的性質(zhì)類似于

27、光學(xué)透鏡，因此可以應(yīng)用光學(xué)透鏡的方法研究它。3.研究方法可以利用兩條特殊的軌跡：即一條是從物平面的軸上發(fā)出的，與軸的夾角為45的軌跡；另一條是從垂直于物平面發(fā)出的，平行于軸的軌跡。通過這兩條軌跡可以研究透鏡和軌跡的一些特性 4. 基點(diǎn)有一個(gè)圓透鏡是短透鏡，物方和像方空間是無場空間，粒子軌跡為直線，粒子軌跡在場區(qū)受到作用彎曲，稱為聚焦 研究聚焦特性可以利用上述的兩條特殊的軌跡，一條為平行入射軌跡，在物方空間是一條直線，與軸平行，在透鏡區(qū)受到折射，進(jìn)入象方后又是一條直線，并與軸相交于點(diǎn)Fi，該點(diǎn)稱之為像方焦點(diǎn)，可以證明，凡是物方平行入射的軌跡都交于像方焦點(diǎn)。(1) 像方焦點(diǎn)：0FiH同樣像方平行入

28、射的軌跡都交于物方一點(diǎn)物方平行入射軌跡在像方與軸相交，這兩條直線的延長線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為像方主點(diǎn)，通過該點(diǎn)垂直與軸的平面稱為像方主平面。(2) 物方焦點(diǎn)：，該點(diǎn)稱之為物方焦點(diǎn)。(3) 主點(diǎn)：0HarariHiH可以證明，物方平行入射的所有軌跡的主點(diǎn)都在一個(gè)平面上。假如有兩條軌跡同樣，像方平行入射軌跡與物方通過焦點(diǎn)軌跡的延長線交點(diǎn)稱物方主點(diǎn)，通過該點(diǎn)與軸相交的平面稱為物方主平面。和分別由相交點(diǎn)和，主平面與焦點(diǎn)的距離可以分別表示為tgzrzzaiHiF)(0iHiFaaiHiFzzKtgzKrtgzKrzz)()(00證明兩式相等，主平面重合。（4）焦距：焦點(diǎn)與主平面的距離稱為焦距，定義為)()(0baaiHiFizrzrzzf其中)(bazr為軌跡在像方的斜率。上式稱為像方焦距 同樣可以得到物方焦距為 )()(000abbbHFzrzrzzf焦點(diǎn)和主點(diǎn)統(tǒng)稱為基點(diǎn)。5.光線光學(xué)作圖法（1）目的對于短透鏡，利用光學(xué)作圖方法，可以不考慮透鏡區(qū)內(nèi)軌跡的具體形狀，只考慮透鏡區(qū)外軌跡的直線段規(guī)律，就可以通過基點(diǎn)得到物像之間的關(guān)系，這樣，只要知道透鏡的參數(shù)，就不需要每次求解