洛必達法則和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用PPT精選文檔

1、第五節(jié)第五節(jié)洛必達法則導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用羅比達法則的注意點首先確認可以用羅比達法則首先確認可以用羅比達法則(用前、用后用前、用后)盡量在用之前，使用等價代換盡量在用之前，使用等價代換利用四則運算，適當分離非零因子，可以簡化計算利用四則運算，適當分離非零因子，可以簡化計算羅比達法則并不是萬能的羅比達法則并不是萬能的xex 1時，時，當當0 xxx )ln(1xx sinnxxn 11)(exx )(11常見不等式常見不等式中中值值定定理理泰泰勒勒公公式式單單調(diào)調(diào)性性凹凸性凹凸性不等式證明的常用方法不等式證明的常用方法)cos(tantanlimxxxxxx 122220)1cos(tanlim4220

2、xxxxx )1cos(1limtanlim04220 xxxxxx 4220tanlim1cos1xxxx 32042sectan2lim1cos1xxxxx 3202cos1cossinlim1cos1xxxxxx 一一. 洛必達法則洛必達法則例例1xxxxxx3330cos2cossinlim1cos1 xxxxxxx30330cos1lim2cossinlim1cos1 22306sincos3coscoslim1cos1xxxxxxx 2206sincos3sincoslim1cos1xxxxxxx 6sincos36sincoslim1cos122220 xxxxxxxx 1cos

3、32 )1cos(tantanlim22220 xxxxxx )1cos(tanlim4220 xxxxx )1cos(1limtanlim04220 xxxxxx 4220tanlim1cos1xxxx xxxxxxxx tanlimtanlim1cos103022031seclim1cos2xxx 2203tanlim1cos2xxx 1cos32 解法二解法二)(limxxxxxx26422 xt1 令令)(limtttttt26141220 原原式式tttt261410 lim161621414210ttt lim5 例例2例3在在 x = 0= 0點處的可導(dǎo)性點處的可導(dǎo)性 02101

4、11xxxxfx,e)(討討論論函函數(shù)數(shù)000 xfxfx)()(lim:解解0211110 xexxxlim)()()(lim12121220 xxxxexexxe30222xxexexxx lim 型型0020612xxeeexxxx lim2061xxeexxx lim 型型00 xxeeexxxx120 lim121.)(,)(12100 fxxf且且處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點)ln()eln(limxxx2112 12211 )ln()eln(limxxx xxxxxx212211222122 )()ln(eelim122221 )()ln(limxxxx例例412222 )(limxxx

5、x4 )ln()eln(limxxx2112 xxx212)eln(lim 原式原式xxxe22122elim 4 解法二解法二例5xxeexxxcossec22lim0 計算計算xxeexxxcossec22lim0 xxeexxxcoscos12022lim xxeexxxcos2022lim teettttx lim02)(lim0tttee 2 解法二xxeexxxcosseclim 220)cos(sec)(limxxeexxx2201122 xxxexxx220022sinlimseclim . 2例6.)(lim,)(,)(,)(,)(,)( 2120302010000 xxxx

6、xfffffxxf 計算極限計算極限且且處連續(xù)處連續(xù)在點在點設(shè)設(shè)3232000 xfxfxffxf!)(!)()()()(: 解解法法一一),()(之之間間在在xxfxx06132 xxxfx 20)(lim 型型00120 xxfx)(lim1 型12120 xxxxxf )(lim xxxfxx2201)(lnlimexp )()(limexp1320 xxxxxfx 60)(limexpfx 21exp21e 22011xxxxfx)(limexp :解解法法二二 )()(limexp1320 xxxxxfx2120 xxxxxf )(lim型1 320 xxxxfx)(limexp型0

7、0 20312xxxfx)(limexp xxfx620)(limexp 60)(limexpxfx21e 例73cossin0cossinlimxxxexexxxx 計算計算ueufu )(令令ueuuf)1()( 30)cos(sin)1(limxxxxex 原原式式之之間間和和介介于于xxxcossin 300cossin)1(limlimxxxxexx 203sinlimxxxx 31 exxx 110)(,證證明明設(shè)設(shè)11 xx)ln(證證明明：原原不不等等式式等等價價于于xx )ln(1即即應(yīng)應(yīng)用用中中值值定定理理：上上對對，在在)ln(xx 10)()ln()ln()ln()ln

8、(010111 xxdxxdxxx 11x .x 0這里這里二二.不等式的證明不等式的證明例例8 8.,abbaabeab 證明證明設(shè)設(shè)證明證明ababablnlnlnlnlnln 原原不不等等式式等等價價于于axaxaxxflnlnlnlnlnln)( 設(shè)設(shè)xaxxaxf lnln)( 1).(ln)(lnaxxxxaa 01單單調(diào)調(diào)遞遞增增，所所以以，)(xf0 )()(afbf所所以以結(jié)結(jié)論論成成立立。例例9 9證明：證明： bfxfbxffx 00,時時即即證證當當 bfxfbxffxF 0令令 00 F則則 0 xfbxfxF且且 .單調(diào)遞增單調(diào)遞增xF 000 FxFx,時時當當

9、.,00 aFa bfafbaff 0即即注注 本題可以用拉格朗日中值定理來證明本題可以用拉格朗日中值定理來證明 例例10)()()()()(),baffbfafxfba 0000單單調(diào)調(diào)增增加加，證證明明上上，在在若若二. 函數(shù)的極值,最值 ，則則，可可導(dǎo)導(dǎo)，且且其其中中函函數(shù)數(shù)若若1)0(, 0)(0)()(), 3 , 2 , 1)(, 011 fxfxfxfnafaann)( 單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；)(na A例例11單調(diào)遞減；單調(diào)遞減；)B(na ;,)(122單單調(diào)調(diào)遞遞減減單單調(diào)調(diào)遞遞增增 nnaa C.,)(122單單調(diào)調(diào)遞遞增增單單調(diào)調(diào)遞遞減減 nnaa DD，則則，可可導(dǎo)導(dǎo)，

10、且且其其中中函函數(shù)數(shù)若若1)0(, 0)(0)()(), 3 , 2 , 1)(, 011 fxfxfxfnafaann)()(2221212 nnnnafafaa),()()(22211222 nnnnaafaa ),()()()(32122123212 nnnnaaffaa )()()(13212 fafafnn 同號同號與與32121212, nnnnaaaa單單調(diào)調(diào)數(shù)數(shù)列列12 na0)1()(213 fafaa1)0()(12 fafa單調(diào)增單調(diào)增12 na)()(1212222 nnnnafafaa),()()(1212111212 nnnnaafaa 0 單調(diào)減。單調(diào)減。2naD

11、選選例例的的極極值值。求求函函數(shù)數(shù)xnenxxxxxf )!()(32132解解xnxnenxxxxenxxxxxf )!()!(!()( 321132132132xnenx !為為唯唯一一的的駐駐點點。所所以以0 x為為偶偶數(shù)數(shù)時時，當當n.)( ,00 xfx都有都有.不不是是極極值值點點0 x為為奇奇數(shù)數(shù)時時，當當n;)( ,00 xfx;)( ,00 xfx.是是極極大大值值點點所所以以0 x例例12處處在在則則函函數(shù)數(shù)若若1)(,10)1()1()(lim381 xxfxfxfx)( 連續(xù)，但不一定可導(dǎo)；連續(xù)，但不一定可導(dǎo)； A)(；必必可可導(dǎo)導(dǎo)，但但0)1( )( f B極極值值；

12、不不是是但但)()1(, 0)1( )(xff fC 極極小小值值。是是且且)()1(,0)1( )(xff fD 解解 10)1()1()(,10)1()1()(lim38381xfxfxfxfx則則由由為為無無窮窮小小。其其中中， 例例1338)1)(10()1()( xfxf 所所以以，3511)1)(10(lim1)1()(lim xxfxfxx 0 , 1| 而當而當0)1)(10()1()(38 xfxf 為為極極小小值值。所所以以)1(, f.D選選.)(,()(,)()(,),()(原原點點點點處處的的切切線線必必通通過過坐坐標標在在證證明明曲曲線線點點處處取取得得極極值值在在

13、且且函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)可可微微在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)111fxfyxxxfxxf 例142xxfxfxx)()()(: 證證).()(,)(1101ff 得得由由處處的的切切線線在在點點曲曲線線)(,()(11 fxfy ),)()(111 xffy),(1fxy 即即.顯顯然然原原點點在在此此切切線線上上 ?)(,)()(;)(,)()().(:,)()(),()(是是極極大大值值還還是是極極小小值值有有極極值值在在若若為為極極小小值值則則有有極極值值處處在在若若證證明明內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且滿滿足足在在若若00201132fxxfcfccxxfexfxxfxxfx 例 15,)().( :01 cf解解,)

14、(01 cecfc.)(是是極極小小值值cf ,)()(.2231xfxexfx ）（,)(00 f)(lim)(xffx 00 2031)(limxfxexx, 01 .)(是極小值是極小值0f三.凹凸性和拐點例16 .,)(的的拐拐點點是是曲曲線線試試證證點點連連續(xù)續(xù)在在點點若若xfyxfxxfxfxfxfxxf 000504000500由局部保號性由局部保號性證證 : .)(,)(0050 xfxNx有有)()(!)()(!)()()()()()(之間之間與與介于介于0305200400032xxxxfxxxfxxxfxfxf ,!30531xxfxf ,)()(05 f ;,00 xf

15、xx時時當當 .,00 xfxx時時當當 .,的的拐拐點點是是曲曲線線點點xfyxfx 00四四. 曲率曲率.)(2321yyk 問題：問題：？計計算算曲曲率率時時，是是否否一一樣樣和和當當我我們們分分別別以以)()(xfxxfy1 .dsdK ,),(),(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx.)()()()()()(2322ttttttk 點點處處的的曲曲率率。在在計計算算曲曲線線),(lneePyxy1 解解yyxln 21yyxln 3412112yyyyyyx)ln()ln( ,)( 0 ex31eex )( .3311eeK 例例17exxx ln0:時時證證明明證：證： exxxf l

16、n令令 xexeexxf 11則則 exxf 得得駐駐點點令令0 0 ef又又 00 efxfxfxe 000 efxfxfex exxxfx ln00即即時時當當備例1xxxxln , 11時時證證明明：當當證：證： ,ln xxxxf 1令令 ,lnxxxxf1211 234lnxxxf 0 1 xfx時，當 01 1 fxfx時，當 01 1 fxfx時，當xxxxln1 1時， xf xf例2 01 f 則則 01 f).(,:2121xeexx 時時當當證證明明例3),()(:212xeexfx 令令證證法法一一,)(01 f則則,)(exexfx ,)(01 f.)(eexfx ,

17、)(,)(, xfxfx01時時當當,)(,)()( xffxf01.)()(01 fxf).(,2121xeexx 時時當當2111222ln)ln()( xxxeex2112ln)ln()( xxxf設(shè)設(shè)011121222 xxxxxf)()( 單單調(diào)調(diào)遞遞增增，)(xf01 )()(fxf結(jié)結(jié)論論成成立立。解法二解法二.)(勒勒公公式式帶帶拉拉格格朗朗日日型型余余項項的的泰泰展展開開成成二二階階在在點點將將1 xexfx3213121111)(!)()(!)()()()( xfxfxffexfx),(之間之間在在 1x3216121)()()( xexexeeex,時時當當1 x2121

18、)()( xexeeex)(212xe 解法三解法三證明：證明： nnnbxbxxf111 設(shè)設(shè) 00 f則則 .單單調(diào)調(diào)遞遞增增xf .00 faf 0111 nnnbaba即即 nnnbaba111 例例4nnnbabanba 證證明明若若,200 111111 nnbxnxnxf nnbxxn11111110 ).0()(ln)(20092010 xxxxf求求下下面面函函數(shù)數(shù)的的極極值值：例例5地地方方嗎嗎？以以下下解解法法有有可可以以改改進進的的例例1 xxx1110)ln(lim)ln()ln(limxxxxx 110 xxxxx 111110)ln(lim220111111)()

19、(limxxxx 21 二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，證證明明設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf202)()()()(lim)( xxfxxfxxfxfx 證明：證明：20)()(2)()(limxxfxxfxxfx xxxfxxfx 2)( )( lim0 xxxfxfxfxxfx )( )()( )( lim210)( )( )( )( lim210 xxfxxfxxfxxfx ).( xf 例例5例6xxx220sin11limxxxxx22220sinsinlim420)2cos1 (21limxxxx424420)()2(! 41)2(! 2112121limxxxoxxx4440)(31limxxoxx31

20、解法二xxx220sin11limxxxxx22220sinsinlim420)2cos1 (21limxxxx30422xxxx sinlim312012222xxx coslimxxx24240sinlim 例 9xxnxxxnaaa1210 lim計計算算原式原式xxnxxnaaaxe121ln0lim xnaaaxnxxxeln)ln(210lim xnxxnxnxxxaaaaaaaaae 2122110lnlnlnlimnaaanelnlnln21 nnaaa21 .)ln()ln(lim,121310 xbxabax使使與與求求常常數(shù)數(shù)例10)ln()ln()ln()ln(lim:

21、xxxbxax213131210 左左式式解解2063121xxbxax)ln()ln(lim xxbxax123132120 lim)()()(limxxxxbxax3121122133120 ),(0321 ba應(yīng)應(yīng)有有上上述述極極限限等等于于xxbxax122133120)()(lim 12660bax lim2ba 12032baba 46ba解得解得例11.cossin22qpqpqpxx :證證，設(shè)設(shè)xxxfqpcossin)( ,20 x xxqxxpxfqpqp1111 cossincossin)(sincoscossinxqxpxxqp2211 時時，有有，證證明明：當當之之

22、和和為為若若正正數(shù)數(shù),1,20 xqp ,)(0 xf令令).,(arctan200qpx 得得駐駐點點,)()(020 ff00000 xxxxxfpqpsectancossin)( .)(為最大值為最大值經(jīng)比較得經(jīng)比較得0 xf.)(cossin)(,22020qpqpqpxfxxxfx 時時當當,)(0 xf令令).,(arctan200qpx 得得駐駐點點22qppqpqqp .sinsinsinarctansinarctanlimxxxxx3434330 計計算算極極限限 , sin ,sin,arctan :西中值定理西中值定理構(gòu)成的閉區(qū)間上利用柯構(gòu)成的閉區(qū)間上利用柯在在對函數(shù)對函

23、數(shù)解解xxyygyyf334 xxxxsinsinsinarctansinarctan343433 例例12 42111220142 lim)sin,sin( 之之間間在在xx33. 4 例14 11121010limxxxx理，理，上利用拉格朗日中值定上利用拉格朗日中值定在在對對解法一解法一 xxyfy1,1110)(: xxxxfxfxf111,111)(111 )1(110ln10lim2 xxxx 原式原式.10ln )111(10ln101010111 xxxx 解法二)1010(1112lim xxxx計算計算 原式原式)110(10111112lim xxxxx10ln)111(

24、10112lim xxxxx10ln .sinln,:2110 xxxx 時時當當證證明明例2,ln)(:1 xxxf令令證證,)(01 f則則,)(xxxxf111 ,)(,010 xfx時時當當,)( xf,)()(01 fxf.ln xx 1即即,cos)(221xxg ,)(0 xg令令.arccosx220 得駐點得駐點,)(,)(, xgxgxx000時時當當;)()(00 gxg,)(,)(, xgxgxx010時時當當.)()(01 gxg.sin2xx 故故,sin)(2xxxg 令令,)()(010 gg則則).(sin10212 xxxex證證明明不不等等式式：例例解一：

25、解一：xexxfxsin)( 212設(shè)設(shè)xexxfxcos)( xexxf sin)( 1010 )( ,xfx當當遞遞增增。所所以以，)( xf,)( )( 00 fxf遞遞增增。所所以以，)(xf，00 )()(fxf所以，結(jié)論成立。所以，結(jié)論成立。例例4xexfxsin)( 設(shè)設(shè)xexfxexfxxsin)( ,cos)( 則則110 xxexexfxsin)( ,顯顯然然，當當)( )( )()(fxxffxf2002 .)( 212122xfx 解法二解法二二. 函數(shù)的極值,最值 .)(,),()(cos)(在在該該區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的極極大大值值求求取取得得極極小小值值內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間

26、設(shè)設(shè)xfaxxaxf0201 例7,sin)(:1 xaxf解解,arcsin,arcsin,)( axaxxxxf2120102121其其中中得得駐駐點點令令,cos)(xaxf ,)( ,)(0021 xfxf,)( ,)(0021 xfxf.,是是極極小小值值點點是是極極大大值值點點故故21xx,cos)(0222 xxaxf)()cos()(221xxaxf 22xxa cos .)(),()(xfxf 120內(nèi)內(nèi)的的極極大大值值在在.,:2323 xxx時時當當證證明明例12,)(:33xxxf 令令證證).)()(xxxxf 113332則則.,)(10 xxf得得駐駐點點令令.,

27、)(2222最最大大值值上上最最小小值值在在 xf.)(,2323 xxxfx時時當當21212222 )(,)(,)(,)(ffff三.凹凸性和拐點.)(,ppppbabapba 121000證證明明設(shè)設(shè)證證明明pppppppbabababa)()(2221 pxxf )(設(shè)設(shè)).()()( ,)( 00121 xxppxfpxxfpp為為凹凹函函數(shù)數(shù)，所所以以)(xf)()()(22bafbfaf 例例140000 )( ,)()(xfxfxf具具有有三三階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè)的的拐拐點點。為為曲曲線線點點證證明明)()(),(:xfxxyx2000 分析：分析：只只要要證證明明證明：證明

28、：)( )()()(xfxxxfxxy2002 )( )()( )()( xfxxxfxxxfy20042 00 )( xy)( )()( )()( xfxxxfxxxfy20066 0600 )( )( xfxy!)( 的的左左右右鄰鄰域域異異號號在在00 xxy例例16000000 xxxyxxxyxyxyxx )( lim)( )( lim)( 00 )( xy不不妨妨設(shè)設(shè)有有局局部部保保號號性性定定理理知知，, 0 ,|xx 00當當00 xxy 有有000 , yxxx所所以以，當當000 , yxxx當當為為拐拐點點。從從而而，),(00 x.)( ,)( )( )(002 fxx

29、fxfxf且且滿滿足足設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的拐拐點點。是是證證明明)()(,(:xfyf 00證明：證明：有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，由由于于 f且且原原等等式式化化為為2)( )( xfxxf 存存在在右右邊邊有有一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，所所以以)( xf)( )( )( xfxfxf21 010 )( f例例17,52dd,51dd222xxyxxy34215(1)5( )2xR xx 1/442251( )(1) (1)25Rxxxx 解解: 例例19)(012222 babyax求橢圓求橢圓上曲率半徑的最大值和最小值上曲率半徑的最大值和最小值. . 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊對兩邊對方程方程xbyax1222

30、2 12222 byyax解得解得yaxby22 222yyxyaby 得得并并利利用用代代入入,222222bayaxby 324yaby 例例20yaxby22 324yaby R曲率半徑曲率半徑324232221yabyaxb)( 232424441)(xbyaba 23222441)(xbaaba 顯然有顯然有;maxbaR2 時時，0 x時，時，ax .minabR2 五.相關(guān)變化率.,)(,常數(shù)常數(shù)證明其半徑減少速率為證明其半徑減少速率為成正比成正比半球面面積半球面面積與其表面積與其表面積即即已知其融化速度已知其融化速度始終保持半球體形狀始終保持半球體形狀有一雪堆在融化過程中有一雪

31、堆在融化過程中dtdV例21,:23232rSrV 證證?),( dtdrkkSdtdV02222rkdtdrrdtdV kdtdr 正正比比。料料與與火火車車速速度度的的立立方方成成若若火火車車每每小小時時所所耗耗費費燃燃元元，每每小小時時的的燃燃料料費費用用為為已已知知速速度度為為40,/20hkm度度。元元，求求最最經(jīng)經(jīng)濟濟的的行行駛駛速速其其他他費費用用每每小小時時200解解cv 每每小小時時所所用用燃燃料料為為設(shè)設(shè)火火車車的的速速度度為為,.ya km 所所需需要要的的總總費費用用我我們們考考慮慮火火車車行行使使為常數(shù)。為常數(shù)。則則kkvc,3 ,40,20 cv又又由由條條件件.2

32、001 k2003vc 所以所以，所所以以，總總時時間間為為va )200200()200200(23vvavavy 總總費費用用例例22)200100(2vvadvdy 0 dvdy令令320000 v. 0,20000;0,2000033 dvdyvdvdyv當當最最小小，時時所所以以，當當yv320000 。即為最經(jīng)濟的行使速度即為最經(jīng)濟的行使速度)200200()200200(23vvavavy 總總費費用用某船被一繩索牽引靠岸，絞盤位于比船頭高某船被一繩索牽引靠岸，絞盤位于比船頭高 4m4m，絞盤卷，絞盤卷繞拉動繩索的速度為繞拉動繩索的速度為 2m/s2m/s，問當船距岸邊，問當船距

33、岸邊 8m 8m 時船前進時船前進的速率為多大？的速率為多大？ m4m8 xy解解m,x設(shè)船與岸的距離為設(shè)船與岸的距離為m,y船與絞盤的距離為船與絞盤的距離為m/s,2dd ty已已知知，且且2224yx 時，時，當當8 x. 54 y求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得方程兩邊對方程兩邊對 t，tyytxxdd2dd2 , 8 x代代入入, 54 y,2dd ty得得m/s5dd tx例例23向一個半徑為向一個半徑為100cm 100cm 的球狀容器內(nèi)注水，每秒鐘注入水的的球狀容器內(nèi)注水，每秒鐘注入水的體積為體積為1000cm1000cm3 3，求液面升高速率的最小值，求液面升高速率的最小值. . h解：解：)

34、3(32hRhV 球球缺缺的的體體積積:由條件由條件100,1000 RdtdVdtdhhRhdtdV)2(2 )2(10002hRhdtdh )(100022hRR 時時，取取最最小小值值所所以以hR )/(101scm 例例24另解另解向一個半徑為向一個半徑為100cm 100cm 的球狀容器內(nèi)注水，每秒鐘注入水的的球狀容器內(nèi)注水，每秒鐘注入水的體積為體積為1000cm1000cm3 3，求液面升高速率的最小值，求液面升高速率的最小值. . hhd內(nèi)，內(nèi)，設(shè)在時間段設(shè)在時間段d,ttt ,dhhh 升升高高到到液液面面高高度度由由為：為：則注入水的體積改變量則注入水的體積改變量,d)(d2

35、2hhRRV cm.100 R其其中中thhRhtVdd)2(dd2 得得代代入入,1000dd,100 tVR)200(1000dd2hhth )cm/s(101dddd100min hthth六.函數(shù)做圖例25044)3(2 xyyx 描繪方程的圖形的圖形.解解 (1),)1(4)3(2 xxy定義域為定義域為).,1()1 ,( (2) 求關(guān)鍵點求關(guān)鍵點)3(2 xy 4044 yxy)1(223 xyxy2)1(4)1)(3( xxxy 42048 yxy)1(241 xyy3)1(2 x得得令令0 y.3,1 x(3) 判別曲線形態(tài)判別曲線形態(tài)1 13)1,( )1 ,1( )3,1(),3( xy y y 2 000(極大極大)(極小極小)無定義無定義,)1(4)3(2