項(xiàng)目十一壓桿穩(wěn)定

1、項(xiàng)目十一壓桿穩(wěn)定項(xiàng)目十一項(xiàng)目十一 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定課題課題11.1 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力課題課題11.4 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算課題課題11.2 不同支承條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐不同支承條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式拉公式課題課題11.5 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施實(shí)際壓桿存在的情況：實(shí)際壓桿存在的情況：(1) 本身不可能絕對(duì)地直；本身不可能絕對(duì)地直；(2) 材質(zhì)不可能絕對(duì)地均勻；材質(zhì)不可能絕對(duì)地均勻；(3) 軸向壓力也會(huì)有偶然偏心。軸向壓力也會(huì)有偶然偏心。 關(guān)于穩(wěn)定性的概念關(guān)于穩(wěn)定性的概念 壓桿是在壓縮與彎曲組合變形的狀壓桿是在壓縮與彎曲組

2、合變形的狀態(tài)下工作的。態(tài)下工作的。 桿的橫截面上的彎矩與桿的彎桿的橫截面上的彎矩與桿的彎曲變形程度有關(guān)，所以即使在線彈曲變形程度有關(guān)，所以即使在線彈性范圍內(nèi)工作，撓度也不與荷載成性范圍內(nèi)工作，撓度也不與荷載成線性關(guān)系，撓度的增長(zhǎng)要比荷載增線性關(guān)系，撓度的增長(zhǎng)要比荷載增長(zhǎng)來(lái)得快。長(zhǎng)來(lái)得快。 細(xì)長(zhǎng)壓桿始終在線彈性范細(xì)長(zhǎng)壓桿始終在線彈性范圍內(nèi)工作，當(dāng)圍內(nèi)工作，當(dāng)F= Fu時(shí)，它便因撓時(shí)，它便因撓度迅速增長(zhǎng)而喪失繼續(xù)承受荷載的度迅速增長(zhǎng)而喪失繼續(xù)承受荷載的能力。能力。 中等長(zhǎng)度壓桿當(dāng)撓度增大到一中等長(zhǎng)度壓桿當(dāng)撓度增大到一定值時(shí)，桿便在彎壓組合作用下因定值時(shí)，桿便在彎壓組合作用下因強(qiáng)度不足而喪失承載能力

3、。強(qiáng)度不足而喪失承載能力。 求壓桿的承載力求壓桿的承載力Fu，可采用可采用兩種不同的計(jì)算圖式：兩種不同的計(jì)算圖式：(1) 把實(shí)際的壓桿看作是荷載把實(shí)際的壓桿看作是荷載F有偶有偶然偏心等的小剛度桿然偏心等的小剛度桿(2) 把實(shí)際的壓桿看作是理想的中把實(shí)際的壓桿看作是理想的中心壓桿。心壓桿。 取第一種計(jì)算圖式，則得彎矩取第一種計(jì)算圖式，則得彎矩方程為：方程為：M(x)=F(d d + +e-w)代入撓曲線近似微分方程，利用代入撓曲線近似微分方程，利用邊界條件得到：邊界條件得到：)1)/(sec lEIFezd d如圖所示。如圖所示。 無(wú)論初始偏心距無(wú)論初始偏心距e的大小如何的大小如何變化，當(dāng)變化，

4、當(dāng)Fp p2EIz /(2l)2 時(shí)時(shí)d d 迅速增迅速增長(zhǎng)，從而有極限荷載長(zhǎng)，從而有極限荷載22cr)2(lEIFz 22cr)2(lEIFz 根據(jù)上圖所示偏心距根據(jù)上圖所示偏心距e為不同值為不同值時(shí)的時(shí)的F d d 圖線可以推想：圖線可以推想： 若將實(shí)際壓桿看作初始偏若將實(shí)際壓桿看作初始偏心距心距e為零的理想中心壓桿，則其為零的理想中心壓桿，則其Fd d關(guān)系應(yīng)如右圖關(guān)系應(yīng)如右圖(a)、(b)所示。所示。(a) 理想中心壓桿理想中心壓桿(b) Fd d 關(guān)系關(guān)系 當(dāng)當(dāng)F = Fcr 時(shí)桿的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，如果時(shí)桿的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，如果稍受干擾桿便將在任意微彎狀態(tài)下保持平衡

5、，而不可能再稍受干擾桿便將在任意微彎狀態(tài)下保持平衡，而不可能再恢復(fù)原有的直線狀態(tài)。恢復(fù)原有的直線狀態(tài)。 由上述分析可見(jiàn)，由上述分析可見(jiàn)，F(xiàn)達(dá)到達(dá)到Fcr，桿便會(huì)失去原有直線桿便會(huì)失去原有直線狀態(tài)平衡的穩(wěn)定性狀態(tài)平衡的穩(wěn)定性失穩(wěn)。失穩(wěn)。 當(dāng)當(dāng)FFcr時(shí)桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的。時(shí)桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的。注意：注意： 如果在理論分析中有若干個(gè)荷載值均能滿足桿保持如果在理論分析中有若干個(gè)荷載值均能滿足桿保持微彎狀態(tài)的條件，那么有實(shí)際意義的應(yīng)該是其中的最小微彎狀態(tài)的條件，那么有實(shí)際意義的應(yīng)該是其中的最小值。值。 把理想中心壓桿從直線狀態(tài)的穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不把理想中心壓桿從直線狀態(tài)的穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不

6、穩(wěn)定平衡的那個(gè)荷載值稱之為臨界荷載穩(wěn)定平衡的那個(gè)荷載值稱之為臨界荷載Fcr（能保持微能保持微彎狀態(tài)的荷載值）。彎狀態(tài)的荷載值）。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)中心受壓構(gòu)件桿：對(duì)于細(xì)長(zhǎng)中心受壓構(gòu)件桿：Fcr=Fu課題課題11.1 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力 理想中心壓桿的臨界荷載理想中心壓桿的臨界荷載Fcr即為桿能保持微彎即為桿能保持微彎狀態(tài)的荷載值。狀態(tài)的荷載值。 在理論分析中首先找出每一具體情況下桿的撓曲線在理論分析中首先找出每一具體情況下桿的撓曲線方程，而方程成立時(shí)的荷載就是所求的臨界荷載。方程，而方程成立時(shí)的荷載就是所求的臨界荷載?？紤]左圖細(xì)長(zhǎng)壓桿考慮左圖細(xì)長(zhǎng)壓桿在線彈性、小變形情況

7、下，且不在線彈性、小變形情況下，且不考慮剪切對(duì)于變形的影響，則其考慮剪切對(duì)于變形的影響，則其撓曲線近似微分方程為撓曲線近似微分方程為)()(crwFxM d d)()(crwFxMwEIz d d則有則有令令,2crkEIFz d d22kwkw + + d dzzEIFwEIFwcrcr + + 得得得撓曲線方程得撓曲線方程w= A sin kx + B cos kx + d d由邊界條件由邊界條件得得A=0 ，B= d d則則w =d d ( 1-cos kx )x=0, w = 0 x=0, w = 0顯然，當(dāng)方程成立時(shí)應(yīng)有顯然，當(dāng)方程成立時(shí)應(yīng)有d d lxw即即d d =d d ( 1

8、-cos kl )得得cos kl = 0要滿足上面的方程，則要滿足上面的方程，則kl =p p/2, 3p p/2, 5p p/2, 取其最小值取其最小值 kl =p p/2，代入，代入 k的表的表達(dá)式，得該壓桿的臨界荷載達(dá)式，得該壓桿的臨界荷載22cr)2(lEIFz式中式中Iz是桿在是桿在Fcr作用下微彎時(shí)橫截面對(duì)于中性軸作用下微彎時(shí)橫截面對(duì)于中性軸z的慣的慣性矩。性矩。若截面是下面這種形式，則若截面是下面這種形式，則22cr)2(lEIFy 下圖為一下端固定下圖為一下端固定、上端鉸支、長(zhǎng)度為、上端鉸支、長(zhǎng)度為l 的的等截面中心受壓直桿，等截面中心受壓直桿，桿橫截面對(duì)桿橫截面對(duì) z 軸的

9、慣性矩軸的慣性矩為為I。試推導(dǎo)其臨界力試推導(dǎo)其臨界力Fcr的公式，并求出壓桿的的公式，并求出壓桿的撓曲線方程。撓曲線方程。例題例題 解：在臨界力解：在臨界力Fcr作用下，根據(jù)此壓桿支承處的約束作用下，根據(jù)此壓桿支承處的約束情況，有情況，有代入撓曲線近似微分方程，得代入撓曲線近似微分方程，得則則(2)式之通解為式之通解為2crkEIFz 其其中中)()(ScrxlFwFxM (1)w= A sin kx + B cos kx +FS(l-x)/Fcr (3)(crS22xlFFkwkw + + (2)由邊界條件由邊界條件x=0, w = 0再再由由 x=0, w = 0w= A kcos kx

10、- B ksin kx - FS/Fcr (4)得得crSkFFA (5)得得crSFlFB (6)將將(5)、(6)式代入式代入(3)式有式有由鉸支端處的邊界條件由鉸支端處的邊界條件x =l, w = 0 ，得，得桿在微彎狀態(tài)下平衡時(shí)桿在微彎狀態(tài)下平衡時(shí)FS不可能等于零，于是必須有不可能等于零，于是必須有)(cossin1crSxlkxlkxkFFw + + (7)0)cossin1(crS kllklkFF (8)0cossin1 kllklk (9)即即klkl tan (10)由上式得由上式得kl = 4.49 (11)從而有從而有2222cr)7 . 0()49. 4(lEIlEIF

11、 (12)相應(yīng)地由相應(yīng)地由(7)式得撓曲線微分方程式得撓曲線微分方程)/1(cossin49. 41crSlxkxkxFlFw + + (13)幾種理想支端約束條件下的細(xì)長(zhǎng)壓桿幾種理想支端約束條件下的細(xì)長(zhǎng)壓桿當(dāng)這些壓桿都是等截面桿，且均由同一材料制成時(shí)，當(dāng)這些壓桿都是等截面桿，且均由同一材料制成時(shí)，其臨界荷載其臨界荷載Fcr的計(jì)算公式可統(tǒng)一寫為的計(jì)算公式可統(tǒng)一寫為22cr)(lEIFy 式中式中 稱為長(zhǎng)度系數(shù)稱為長(zhǎng)度系數(shù),隨桿端約束情況而異；隨桿端約束情況而異； l 則稱為相當(dāng)則稱為相當(dāng)長(zhǎng)度，即相當(dāng)于兩端球形鉸支壓桿的長(zhǎng)度。上式稱為歐長(zhǎng)度，即相當(dāng)于兩端球形鉸支壓桿的長(zhǎng)度。上式稱為歐拉公式，拉公

12、式， 如下各圖所示。如下各圖所示。22cr)(lEIFy 7 . 0)7 . 0(22cr lEIFy122cr lEIFy 從上述分析可知，中心受壓直桿的臨界力從上述分析可知，中心受壓直桿的臨界力Fcr與桿端與桿端的約束情況有關(guān)，桿端的約束越強(qiáng)，臨界力越大。的約束情況有關(guān)，桿端的約束越強(qiáng)，臨界力越大。5 . 0)5 . 0(22cr lEIFy2)2(22cr lEIFy 如圖所示兩端固定但上如圖所示兩端固定但上端可有水平位移的等截面中心端可有水平位移的等截面中心受壓直桿，其長(zhǎng)度為受壓直桿，其長(zhǎng)度為 l，橫截橫截面對(duì)面對(duì)z軸的慣性矩為軸的慣性矩為I。推導(dǎo)其臨推導(dǎo)其臨界力界力Fcr的歐拉公式，

13、并求出壓的歐拉公式，并求出壓桿的撓曲線方程。桿的撓曲線方程。思考題思考題 思考題參考答案：思考題參考答案：ecr)(MwFxM 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程ecr)(MwFxMwEIz+ + 最后得最后得kl = p p22crlEIFy 撓曲線方程撓曲線方程)/cos(1 2lxw d d推導(dǎo)如圖變截面壓桿臨界力推導(dǎo)如圖變截面壓桿臨界力Fcr的歐拉公式。的歐拉公式。思考題思考題 在臨界力作用下，此桿可在微彎狀態(tài)下在臨界力作用下，此桿可在微彎狀態(tài)下維持平衡，其撓曲線由維持平衡，其撓曲線由AD、DE、EB三段組三段組成。由撓曲線光滑連續(xù)條件可知：在相鄰成。由撓曲線光滑連續(xù)條件可知：在相鄰

14、兩段撓曲線的交界點(diǎn)，撓度相等，轉(zhuǎn)角亦兩段撓曲線的交界點(diǎn)，撓度相等，轉(zhuǎn)角亦相等。此外中點(diǎn)相等。此外中點(diǎn)C處的切線應(yīng)與處的切線應(yīng)與x軸平行。軸平行。 分段列撓曲線近似微分方程，最后求解分段列撓曲線近似微分方程，最后求解得到得到wFxMcr)( 22cr1.68lEIFy 思考題參考答案：思考題參考答案： 求壓桿臨界荷載的歐拉公式求壓桿臨界荷載的歐拉公式Fcr= p p2EI /( l )2只適只適用于壓桿失穩(wěn)時(shí)仍在線彈性范圍內(nèi)工作的情況，即所用于壓桿失穩(wěn)時(shí)仍在線彈性范圍內(nèi)工作的情況，即所研究的是線彈性穩(wěn)定，是壓桿穩(wěn)定中最基本的情況。研究的是線彈性穩(wěn)定，是壓桿穩(wěn)定中最基本的情況。應(yīng)注意：應(yīng)注意： 按

15、失穩(wěn)的概念，在臨界荷載作用下盡管壓桿的直線狀按失穩(wěn)的概念，在臨界荷載作用下盡管壓桿的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，但如果不受干擾，桿仍可在直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的，但如果不受干擾，桿仍可在直線狀態(tài)下保持平衡。態(tài)下保持平衡。課題課題11.3 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖 可以把臨界狀態(tài)下按直桿算得的橫截面上的正應(yīng)力可以把臨界狀態(tài)下按直桿算得的橫截面上的正應(yīng)力s scr=Fcr /A不超過(guò)材料的比例極限不超過(guò)材料的比例極限s sp作為歐拉公式適用作為歐拉公式適用范圍的判別條件，即范圍的判別條件，即式中的式中的s scr=Fcr /A稱為臨界應(yīng)力。引入稱為臨界應(yīng)力。引入F

16、cr的表達(dá)式，有的表達(dá)式，有式中式中I/A是一個(gè)只與截面形狀及尺寸有關(guān)的量，通常把是一個(gè)只與截面形狀及尺寸有關(guān)的量，通常把它的方根用它的方根用 i 表示，即表示，即pcrs ss s (1)()()(/2222crcrAIlEAlEIAF s s (2)AIi/ 稱稱 i 為截面慣性半徑。則為截面慣性半徑。則(2)式可表示為式可表示為式中式中l(wèi) l = l/i，為壓桿的柔度，亦稱長(zhǎng)細(xì)比。，為壓桿的柔度，亦稱長(zhǎng)細(xì)比。將式將式(3)代入代入(1)式，則有式，則有p2222cr)/(s sl l s s EilE或改寫為或改寫為p2s sl lE 2222cr)/(l l s sEilE (3)AI

17、i/ 上式表明，如果壓桿的柔度上式表明，如果壓桿的柔度l l大于或等于只與材料性大于或等于只與材料性質(zhì)有關(guān)的一個(gè)量質(zhì)有關(guān)的一個(gè)量那么歐拉公式適用。那么歐拉公式適用。 對(duì)于對(duì)于Q235鋼，如取鋼，如取E=2.06105 MPa，比例極限比例極限s sp=200 MPa, 則則l lp=100。p2s sl lE p2ps sl lE 右圖示出了細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界應(yīng)右圖示出了細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界應(yīng)力力s scr隨柔度隨柔度l l的變化情況，以及的變化情況，以及歐拉公式的適用范圍。歐拉公式的適用范圍。 應(yīng)該注意的是：應(yīng)該注意的是：“l(fā) ll lp時(shí)歐拉公式可用時(shí)歐拉公式可用”系按理系按理想中心壓桿得到的。事實(shí)上，

18、對(duì)于想中心壓桿得到的。事實(shí)上，對(duì)于l l比比l lp大得不太多的實(shí)大得不太多的實(shí)際壓桿，由于有偶然偏心等，就會(huì)在彎壓組合下因強(qiáng)度不際壓桿，由于有偶然偏心等，就會(huì)在彎壓組合下因強(qiáng)度不足而喪失承載能力，因此歐拉公式不適用。足而喪失承載能力，因此歐拉公式不適用。 我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)于由我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)于由Q235鋼制成的壓桿鋼制成的壓桿，根據(jù)試驗(yàn)資料規(guī)定，對(duì)于，根據(jù)試驗(yàn)資料規(guī)定，對(duì)于l ll lc ，而不是，而不是l ll lp的壓桿的壓桿才能用歐拉公式求臨界應(yīng)力，而才能用歐拉公式求臨界應(yīng)力，而)57. 0(s2cs sl lE 該規(guī)范還規(guī)定，對(duì)于該規(guī)范還規(guī)定，對(duì)于l ll lc的鋼壓桿，

19、臨界應(yīng)力的計(jì)算的鋼壓桿，臨界應(yīng)力的計(jì)算式采用拋物線型的半經(jīng)驗(yàn)公式式采用拋物線型的半經(jīng)驗(yàn)公式)/(1 2cscrl ll l s ss s 對(duì)于對(duì)于Q235鋼制成的壓桿，鋼制成的壓桿， = 0.43。)/(1 2cscrl ll l s ss s 臨界應(yīng)力總圖（臨界應(yīng)力總圖（s s l l）幾個(gè)概念：幾個(gè)概念：(1) 細(xì)長(zhǎng)壓桿（大柔度壓桿）能應(yīng)用歐拉公式求臨界應(yīng)細(xì)長(zhǎng)壓桿（大柔度壓桿）能應(yīng)用歐拉公式求臨界應(yīng)力的壓桿。力的壓桿。 (2) 短壓桿是指柔度特別小的（其臨界應(yīng)力接近于材料的短壓桿是指柔度特別小的（其臨界應(yīng)力接近于材料的強(qiáng)度）桿。強(qiáng)度）桿。 (3) 中長(zhǎng)壓桿是指柔度特別大的桿。中長(zhǎng)壓桿是指柔

20、度特別大的桿。課題課題11.4 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 要保證壓桿在荷載作用下不致失穩(wěn)且有一定的安全儲(chǔ)要保證壓桿在荷載作用下不致失穩(wěn)且有一定的安全儲(chǔ)備，其條件是備，其條件是式中的式中的nst為穩(wěn)定的安全因數(shù)。為穩(wěn)定的安全因數(shù)。stcrnFF 相應(yīng)地有相應(yīng)地有stcrns ss s 或或 sts ss s 式中式中s sst穩(wěn)定許用應(yīng)力，它是隨壓桿柔度穩(wěn)定許用應(yīng)力，它是隨壓桿柔度l l變化的一個(gè)變化的一個(gè)量。量。 在有些工程計(jì)算中，更把穩(wěn)定許用應(yīng)力在有些工程計(jì)算中，更把穩(wěn)定許用應(yīng)力s sst通過(guò)一通過(guò)一個(gè)隨壓桿柔度個(gè)隨壓桿柔度l l變化的穩(wěn)定系數(shù)變化的穩(wěn)定系數(shù)j j(l l)與桿材料的強(qiáng)度

21、許與桿材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力用應(yīng)力s s 加以聯(lián)系，即加以聯(lián)系，即 s sl lj js s )(st 一端固定，另一端鉸支的一端固定，另一端鉸支的空心圓截面鋼壓桿。已知：空心圓截面鋼壓桿。已知：l =5 m, D =100 mm, d =50 mm，E=2.0105 MPa，s sp=200 MPa， s ss=240 MPa，nst=2.5。求許求許用軸向壓力用軸向壓力F。例題例題 查得一端固定一端鉸支壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)為查得一端固定一端鉸支壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)為 = 0.7(1) 計(jì)算壓桿的柔度，判明歐拉公式是否可用計(jì)算壓桿的柔度，判明歐拉公式是否可用解：解：)/4-()/64-(4444dDAdDI

22、 慣性半徑慣性半徑AIi/ 則則125/ Il l l對(duì)于對(duì)于Q235鋼制作的壓桿，鋼制作的壓桿， l ll lc時(shí)可用歐拉公式時(shí)可用歐拉公式求臨界力。求臨界力。而有而有l(wèi) ll lc，故歐拉公式可用。，故歐拉公式可用。(2) 求臨界力求臨界力Fcr，再根據(jù)給定的穩(wěn)定安全因數(shù)再根據(jù)給定的穩(wěn)定安全因數(shù)nst，求許，求許用壓力用壓力 F 現(xiàn)現(xiàn)120)57. 0/(s2c s sl lE此壓桿橫截面對(duì)于形心軸的慣性矩為此壓桿橫截面對(duì)于形心軸的慣性矩為46-44m104.60)/64-( dDI故有臨界力故有臨界力741kNN1041. 7m)57 . 0(m1060. 4m/N100 . 2)(522