函數(shù)值域的十五種求法

1、 WORD 1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是：2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例2. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)x=-1時(shí)，故函數(shù)的值域是：4，83. 判別式法例3. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由求出的圍可能比y的實(shí)際圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)?。可以采取如下方法進(jìn)一步確定原

2、函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例4. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域?yàn)椋汗仕蠛瘮?shù)的值域?yàn)椋?. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。例5. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域?yàn)?. 函數(shù)單調(diào)性法例6. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x

3、=2時(shí)，當(dāng)x=10時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋豪?. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然y0，故原函數(shù)的值域?yàn)?. 換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作例8. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?0. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?。?

4、1. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。要學(xué)習(xí)網(wǎng),只做中學(xué)生最喜歡、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址手機(jī)版地址 例12. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），B(-8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線或反向延長線上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|AB|=10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋豪?

5、3. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(-2,-1)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?4. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)B(-2,1)到點(diǎn)P(x,0)的距離之差。即：y=|AP|-|BP|由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P，則構(gòu)成ABP，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河衫?3，14可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在

6、x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：例13的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3，2），(-2,-1)，在x軸的同側(cè)；例14的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，2），(2,-1)，在x軸的同側(cè)。9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例15. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)tanx=cotx即當(dāng)時(shí)，等號成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋豪?6. 求函數(shù)y=2sinxsin2x的值域。解：y=4sinxsinxcosx當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立。由可得：故原函數(shù)的值域?yàn)椋?0.

7、 映射法原理：因?yàn)樵诙x域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量圍，就可以求另一個(gè)變量圍。例17. 求函數(shù)的值域。解：定義域?yàn)橛傻霉驶蚪獾霉屎瘮?shù)的值域?yàn)?1最值法對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。要學(xué)習(xí)網(wǎng),只做中學(xué)生最喜歡、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址手機(jī)版地址 例18.已知,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：，上述分式不等式與不等式同解，解之得1x3/2，又x+y=1，將y=

8、1-x代入z=xy+3x中，得(-1x3/2),且x-1,3/2,函數(shù)z在區(qū)間-1,3/2上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時(shí)，z=5；當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。函數(shù)z的值域?yàn)閦5z15/4。點(diǎn)評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。12. 構(gòu)造法根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例19.求函數(shù)的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為作一個(gè)長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位正方形。設(shè)HK=x,則EK=2-x,KF=2+x,。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC

9、AC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號。原函數(shù)的知域?yàn)閥|y5。點(diǎn)評：對于形如函數(shù)(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。13 比例法對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。例20.已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函數(shù)的值域。點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))x=3+4k,y=1+3k,。當(dāng)k=3/5時(shí)，x=3/5,y=4/5時(shí)，。函數(shù)的值域?yàn)閦|z1.點(diǎn)評：本題

10、是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。14 利用多項(xiàng)式的除法例21.求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。1/(x+1)0，故y3。函數(shù)y的值域?yàn)閥3的一切實(shí)數(shù)。點(diǎn)評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。15. 多種方法綜合運(yùn)用例22. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當(dāng)t0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=-1時(shí)取等號，所以（2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ合?/p>