數(shù)學(xué)模型姜啟源初等模型學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)模型姜啟源數(shù)學(xué)模型姜啟源 初等初等(chdng)模型模型第一頁，共67頁。2.1 公平公平(gng png)的席的席位分配位分配系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問問題題(wnt)三個(gè)系學(xué)生三個(gè)系學(xué)生(xu sheng)共共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代），代表會(huì)議共表會(huì)議共20席，按比例分配，三

2、個(gè)系分別為席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為三系人數(shù)為103, 63, 34, 問問20席如何分配。席如何分配。若增加為若增加為21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加慣慣例例對(duì)對(duì)丙丙系系公公平平嗎嗎系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5

3、 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21第1頁/共67頁第二頁，共67頁?！肮焦?gng png)”分配方法分配方法衡量公平衡量公平(gng png)分配分配的數(shù)量指標(biāo)的數(shù)量指標(biāo) 人數(shù)人數(shù) 席席位位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當(dāng)當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配時(shí)，分配(fnpi)公平公平 p1/n1 p2/n2 對(duì)對(duì)A的的絕對(duì)不公平度絕對(duì)不公平度p1=150, n1=10, p1/n

4、1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對(duì)但后者對(duì)A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者雖二者的的絕對(duì)絕對(duì)不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì)對(duì) 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5第2頁/共67頁第三頁，共67頁。公平分配公平分配(fnpi)(fnpi)方案應(yīng)使方案應(yīng)使 rA , rB rA , rB 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加(zngji)1席，問應(yīng)分

5、給席，問應(yīng)分給A, 還還是是B不妨不妨(bfng)設(shè)分配開始時(shí)設(shè)分配開始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即，即對(duì)對(duì)A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 對(duì)對(duì)A的的相對(duì)不公平度相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義定義第3頁/共67頁第四頁，共67頁。1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，

6、應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算(j sun)rB(n1+1, n2)應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算(j sun)rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：問：p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B第4頁/共67頁第五頁，共67頁。當(dāng)當(dāng) rB(n1+1, n2) 車身的平均長度車身的平均長度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”與與“10英里英里/小時(shí)加一車身小時(shí)加一車身”規(guī)則不同規(guī)則不同剎剎車車距距離離反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。使汽車作

7、勻減速運(yùn)動(dòng)。車車速速常常數(shù)數(shù)反反應(yīng)應(yīng)距距離離制制動(dòng)動(dòng)距距離離司機(jī)司機(jī)狀況狀況制動(dòng)系統(tǒng)制動(dòng)系統(tǒng)靈活性靈活性常常數(shù)數(shù)第22頁/共67頁第二十三頁，共67頁。假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 剎車距離剎車距離 d 等于反應(yīng)等于反應(yīng)(fnyng)距離距離 d1 與制動(dòng)與制動(dòng)距離距離 d2 之和之和2. 反應(yīng)距離反應(yīng)距離(jl) d1與車速與車速 v成正成正比比3. 剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車作功等于汽車(qch)動(dòng)能的動(dòng)能的改變改變;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1為反應(yīng)時(shí)間為反應(yīng)時(shí)間21ddd且且F與車的質(zhì)量與車的質(zhì)量m成正比成正比22kv

8、d第23頁/共67頁第二十四頁，共67頁。 反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)(jngyn)估計(jì)值估計(jì)值為為0.75秒秒?yún)?shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)(shj)擬合擬合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法(chngf) k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速車速(英里英里/小時(shí)小時(shí)) (英尺英尺/秒秒)實(shí)際剎車距離實(shí)際剎車距離（英尺）（英尺）計(jì)算剎車距離計(jì)算剎車距離（英尺）（英尺）剎車時(shí)間剎車時(shí)間（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124

9、）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第24頁/共67頁第二十五頁，共67頁?！?秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則(zhnz)”應(yīng)修正為應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則(zhnz)”22106.075.0vvkvvtd模模 型型車速車速(英里英里/小時(shí)小時(shí))剎車時(shí)間剎車時(shí)間（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里車速（英里/小時(shí)）小時(shí)）010104040606080t（秒）（秒）1234第25頁/共67頁第二

10、十六頁，共67頁。2.5 劃艇比賽劃艇比賽(bsi)的成的成績績賽艇賽艇 2000米成績米成績 t (分分)種類種類 1 2 3 4 平平均均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇長艇長l 艇寬艇寬b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù)n 16.

11、3 13.6 18.1 14.7對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系(gun x)。試建立數(shù)。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系學(xué)模型揭示這種關(guān)系(gun x)。問問題題(wnt)準(zhǔn)準(zhǔn)備備調(diào)查賽艇的尺寸和重量調(diào)查賽艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不基本不變變第26頁/共67頁第二十七頁，共67頁。問題問題(wnt)分分析析 前進(jìn)前進(jìn)(qinjn)阻力阻力 浸沒部分與水的浸沒部分與水的摩擦力摩擦力 前進(jìn)前進(jìn)(qinjn)動(dòng)力動(dòng)力 漿手的劃漿漿手的劃漿功率功

12、率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿劃漿功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進(jìn)前進(jìn)動(dòng)力動(dòng)力前進(jìn)前進(jìn)阻力阻力漿手漿手?jǐn)?shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 運(yùn)用合適的物理定律建立模型運(yùn)用合適的物理定律建立模型第27頁/共67頁第二十八頁，共67頁。模型模型(mxng)假設(shè)假設(shè)1）艇形狀）艇形狀(xngzhun)相同相同(l/b為常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)是常數(shù)(chngsh)，阻力，

13、阻力 f與與 sv2成正比成正比符號(hào)：艇速符號(hào)：艇速 v, 浸沒面積浸沒面積 s, 浸沒體積浸沒體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻阻力力 f, 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率漿手功率 p, 漿手體重漿手體重 w, 艇重艇重 W艇的靜態(tài)特性艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特艇的動(dòng)態(tài)特性性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比漿手的特征漿手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績比賽成績 t n 1/9np fv第28頁/共67頁第二十九頁，共67頁。模型模型(mxng)檢驗(yàn)檢驗(yàn)n t1 7.212

14、6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次國際大賽冠軍的平均次國際大賽冠軍的平均成績對(duì)模型成績對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84與模型與模型(mxng)巧合！巧合！第29頁/共67頁第三十頁，共67頁。問問題題(wnt)甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方雙方(shungfng)為滿足更高的為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用用x,y分別表示分別表示(biosh)甲甲(乙乙)占有占有

15、X,Y的數(shù)量。設(shè)交的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有換前甲占有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙占有Y的數(shù)量為的數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對(duì)若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xo2.6 實(shí)物交換實(shí)物交換第30頁/共67頁第三十一頁，共67頁。xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無差別曲線甲的無差別曲線(qxin)(qxin)分析分析(fnx)與建模與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有具有同樣

16、的滿意同樣的滿意(mny)程度，即程度，即p1, p2對(duì)對(duì)甲是無差別的，甲是無差別的，MN將將所有與所有與p1, p2無差別的點(diǎn)連接無差別的點(diǎn)連接起來，得到一條起來，得到一條無差別曲線無差別曲線MN, 線上各點(diǎn)的滿意度相同線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對(duì)線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛程度，的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無差別曲線，在另一條無差別曲線M1N1上。上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。第31頁/共67頁第三十二頁，共67頁。yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1

17、無差別曲線無差別曲線(qxin)族族的性質(zhì)：的性質(zhì)： 單調(diào)單調(diào)(dndio)減減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點(diǎn)凸向原點(diǎn)) 互不相交互不相交(xingjio)在在p1點(diǎn)占有點(diǎn)占有x少、少、y多，寧多，寧愿以較多的愿以較多的 y換取較少換取較少的的 x;在在p2點(diǎn)占有點(diǎn)占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y。甲的無差別曲線族記作甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線）第32頁/共67頁第三十三頁，共67頁。xyOg(x,y)=c2c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同

18、性質(zhì)具有相同性質(zhì)(xngzh)（形狀可以不同）（形狀可以不同） 雙方的交換雙方的交換(jiohun)(jiohun)路徑路徑xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的無差別曲線乙的無差別曲線(qxin)族族 g=c2 (坐標(biāo)系坐標(biāo)系xOy, 且且反向）反向）甲的無差別曲線族甲的無差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)外的任一點(diǎn)p, (雙方雙方)滿意度低于滿意度低于AB上的點(diǎn)上的點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB第33頁/共67頁第三十四頁，共67頁。ABp 交換方案交換方案(fng n)

19、(fng n)的進(jìn)一步確定的進(jìn)一步確定交換交換(jiohun)方案方案 交換交換(jiohun)后甲的后甲的占有量占有量 (x,y)0 xx0, 0yy0矩形矩形(jxng)內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)交換路交換路徑徑AB雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族等價(jià)交等價(jià)交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線兩點(diǎn)的連線CDAB與與CD的的交點(diǎn)交點(diǎn)p設(shè)設(shè)X單價(jià)單價(jià)a, Y單價(jià)單價(jià)b, 則等價(jià)交換下則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0

20、 xo.x第34頁/共67頁第三十五頁，共67頁。2.7 核軍備競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽(jngsi) 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)核威懾戰(zhàn)略略(zhnl)”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束(jish)，雙方通過了，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。一系列的核裁軍協(xié)議。 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無限擴(kuò)張，而存在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精

21、度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。數(shù)量受哪些因素影響。背背景景第35頁/共67頁第三十六頁，共67頁。以雙方以雙方(shungfng)(戰(zhàn)略戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下假定雙方采取如下(rxi)同樣的核威懾戰(zhàn)略：同樣的核威懾戰(zhàn)略： 認(rèn)為對(duì)方認(rèn)為對(duì)方(dufng)可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基

22、地； 乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。方的防御能力決定。模模型型假假設(shè)設(shè)第36頁/共67頁第三十七頁，共67頁。圖圖的的模模型型(mxng)y=f(x)甲方有甲方有x枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈(dodn)，乙方所需的最少導(dǎo)彈，乙

23、方所需的最少導(dǎo)彈(dodn)數(shù)數(shù)x=g(y)乙方有乙方有y枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈(dodn)，甲方所需的最少導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈(dodn)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) x=0時(shí)時(shí) y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲安甲安全區(qū)全區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線乙安全線第37頁/共67

24、頁第三十八頁，共67頁。精細(xì)精細(xì)(jngx)模模型型乙方殘存乙方殘存(cncn)率率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率?；兀匚幢淮輾У母怕?。sx個(gè)基地個(gè)基地(jd)未摧毀，未摧毀，yx個(gè)基地個(gè)基地(jd)未攻擊。未攻擊。xy甲方以甲方以 x攻擊乙方攻擊乙方 y個(gè)基地中的個(gè)基地中的 x個(gè)個(gè),y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊2次，次，s2(xy)個(gè)未摧毀；個(gè)未摧毀；y (xy)=2y x個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊1次，次，s(2y x )個(gè)未摧毀個(gè)未摧毀y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssss

25、yy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2第38頁/共67頁第三十九頁，共67頁。yxasysyy/00 a交換比交換比(甲乙甲乙(ji y)導(dǎo)彈數(shù)量比導(dǎo)彈數(shù)量比)x=a y,精細(xì)精細(xì)(jngx)模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾威懾(wish)值值s殘存率殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平a變大，變大，y增加，曲線變陡增加，曲線變陡xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0第39頁/

26、共67頁第四十頁，共67頁。 甲方增加甲方增加(zngji)經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)心等目標(biāo)乙方威懾乙方威懾(wish)值值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動(dòng)甲方的被動(dòng)(bidng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。),(mmyxP（其它因素不變）（其它因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)PP 第40頁/共67頁第四十一頁，共67頁。 甲方將固定甲方將固定(gdng)核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架架乙安全線乙

27、安全線y=f(x)不變不變甲方殘存甲方殘存(cncn)率變大率變大威懾威懾(wish)值值x 0和交換比不變和交換比不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少PP 第41頁/共67頁第四十二頁，共67頁。 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立(dl)地摧毀目標(biāo)地摧毀目標(biāo)(x , y仍為雙方仍為雙方(shungfng)核導(dǎo)彈的數(shù)量核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值減小，

28、殘存雙方威懾值減小，殘存(cncn)率不變，交換比增率不變，交換比增加加y0減小減小 y下移且變平下移且變平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP a 變大變大 y增加且變陡增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x)?PP 第42頁/共67頁第四十三頁，共67頁。帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行的航行(hngxng)方向及帆的朝向方向及帆的朝向簡化簡化(jinhu)問題問題AB 風(fēng)向風(fēng)向北北航向航向帆船帆船海面上東風(fēng)勁吹海

29、面上東風(fēng)勁吹(jn chu)，設(shè)帆船要從設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東點(diǎn)駛向正東方的方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向航向，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.8 啟帆遠(yuǎn)航啟帆遠(yuǎn)航第43頁/共67頁第四十四頁，共67頁。模型模型(mxng)分析分析 風(fēng)風(fēng)(通過通過(tnggu)帆帆)對(duì)船對(duì)船的推力的推力w 風(fēng)對(duì)船體部分風(fēng)對(duì)船體部分(b fen)的阻的阻力力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假設(shè)假設(shè) w與帆迎風(fēng)面積與帆迎風(fēng)面積s1成正比，成正比，p與船迎風(fēng)面積與船迎風(fēng)面積s2成成正比，比例系數(shù)相同且正比

30、，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于 s2，f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力第44頁/共67頁第四十五頁，共67頁。w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 模型模型(mxng)假設(shè)假設(shè) wpw1w2f1f2p2p1 w2與帆面平行與帆面平行(pngxng)，可忽略可忽略 f2, p2垂直于船身垂直于船身(chun shn)，可，可由舵抵消由舵抵消模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v與力與力f=f1-p1成正比成正比v=k1(f1-p1)v1

31、v第45頁/共67頁第四十六頁，共67頁。2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 當(dāng)當(dāng)固定固定(gdng)時(shí)求時(shí)求使使f1最大最大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 時(shí)時(shí) f1=w(1-cos )/2最大最大= k1(f1-p1)cos f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最大最大模型模型(mxng)建立建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型模型(mxng)求解求解第46頁/共67頁第四十七頁，共67頁。60 75

32、1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12sstt備注備注(bizh) 只討論起航只討論起航(qhng)時(shí)的航向，是靜態(tài)模型時(shí)的航向，是靜態(tài)模型 航行過程中終點(diǎn)航行過程中終點(diǎn)B將不在正東方將不在正東方 記記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos s2第47頁/共67頁第四十八頁，共67頁。2.9 量綱分析與無量量綱分析與無量(wling)綱化綱化物物理理量量的的量量綱綱(lin n)長度長度(chngd) l 的量綱記的量綱記 L=

33、l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時(shí)間時(shí)間 t 的量綱記的量綱記 T=t動(dòng)力學(xué)中動(dòng)力學(xué)中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱221rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對(duì)無量綱量對(duì)無量綱量 ， =1(=L0M0T0)2.9.1 量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-2=L3M-1T-2第48頁/共67頁第四十九頁，共67頁。量綱量綱(lin n)齊次原則齊次原則等式兩端等式兩端(lin dun)的量綱一致的量綱一致量綱分析量綱分析利用利用(lyng

34、)量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系例：單擺運(yùn)動(dòng)例：單擺運(yùn)動(dòng))1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動(dòng)周期求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式的表達(dá)式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無量綱量為無量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達(dá)式的量綱表達(dá)式glt2對(duì)比對(duì)比33212TLMT12003321第49頁/共67頁第五十頁，共67頁。對(duì)對(duì) x,y,z的兩組測(cè)量的兩組測(cè)量(cling)值值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 =

35、 f( x2, y2,z2 )2121pppp為什么假設(shè)為什么假設(shè)(jish)這這種形式種形式321glmt 設(shè)設(shè)p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單位的量綱單位(dnwi)縮小縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp第50頁/共67頁第五十一頁，共67頁。0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy2010010101

36、00TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運(yùn)動(dòng)單擺運(yùn)動(dòng)(yndng)中中 t, m, l, g 的一般的一般表達(dá)式表達(dá)式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無量綱量為無量綱量0)(F第51頁/共67頁第五十二頁，共67頁。設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, ,

37、 qm) =0 等價(jià)等價(jià)(dngji), F未定未定Pi定理定理(dngl) (Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理是與量綱單位無關(guān)的物理(wl)定律，定律，X1,X2, , Xn 是基本量綱是基本量綱, nm, q1, q2, , qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rA rank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個(gè)基本解，記作個(gè)基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量, 且且則則第52頁/共67頁第五十三頁，共67頁。)()()()()()()(201002)(100100)(121311fs

38、vlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例量綱分析示例(shl)(shl)：波浪對(duì)航船的：波浪對(duì)航船的阻力阻力航船航船(hngchu(hngchun)n)阻力阻力 f fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒面積浸沒面積 s, 海水密度海水密度(md), 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqf第53頁/共67頁第五十四頁，共67頁。TTTyyy) 1, 0, 0() 0, 1, 0() 0, 0, 1(3

39、21flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個(gè)基本個(gè)基本(jbn)解解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個(gè)基本個(gè)基本(jbn)解解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個(gè)無量綱量個(gè)無量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg第54頁/共67頁第五十五頁，共67頁。 F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價(jià)等價(jià)flgslvl得到為得到(d do)阻力阻力

40、f 的顯式的顯式表達(dá)式表達(dá)式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià)221213,),(lsglvglf第55頁/共67頁第五十六頁，共67頁。量綱分析法的評(píng)注量綱分析法的評(píng)注(pngzh) 物理量的選取物理量的選取(xunq)(xunq) 基本量綱基本量綱(lin(lin nn) )的選取的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個(gè)數(shù)基本量綱個(gè)數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造

41、 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無量綱量未定和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識(shí)不需要特定的專業(yè)知識(shí)第56頁/共67頁第五十七頁，共67頁。2.9.2 量綱分析在物理量綱分析在物理(wl)模擬中的應(yīng)模擬中的應(yīng)用用 例例: 航船阻力航船阻力(zl)的物的物理模擬理模擬通過航船模型確定通過航船模型確定(qudng)原型船所受原型船所受阻力阻力gvlsf, 模型船的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111

42、,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同第57頁/共67頁第五十八頁，共67頁。2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定按一定(ydng)尺寸比例造模尺寸比例造模型船，量測(cè)型船，量測(cè) f，可算出，可算出 f1 物物理模擬理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf第58頁/共67頁第五十九頁，共67頁。2.9.3 無量無量(wling)綱化綱化例：火箭例：火箭(hujin)發(fā)射發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射星球表面豎直發(fā)射(fsh)。初速。初速v, 星星球半徑球半徑r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律t=0 時(shí)時(shí) x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬有引力定律牛頓第二定律，萬有引力定律)0( xgx grkm223個(gè)獨(dú)立參數(shù)個(gè)獨(dú)立參數(shù)第59頁/共67頁第六十頁，共67頁。用無量綱化方法減少獨(dú)立用無量綱化方法減少獨(dú)立(dl)參